Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Задание № 1. Даны точки А, В, С: А (5;6), В (4;-5), С (-4;5).

Построить: векторы и .

Найти: 1) векторы и ;

2) модули векторов и ;

3) скалярное произведение .

Решение:

.

.

.

Ответ: 1); ;

2); ;

3) .

Задание № 2. Даны точки А, В, С: А (5;6), В (4;-5), С (-4;5).

Найти: а) уравнение прямой АВ;

б) уравнение высоты АD;

в) уравнение прямой, проходящей через точку, А параллельно прямой ВС.

Решение:

а) уравнение АВ:

.

б) уравнение высоты АD:

1. уравнение ВС:

.

2. угловой коэффициент :

.

3. угловой коэффициент :

.

4. уравнение AD:

.

в) уравнение прямой :

.

Ответ: а); б); в) .

Задание № 3. Дана система линейных уравнений:

Найти: а) определитель основной матрицы системы А;

б) обратную матрицу А-1;

в) решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Решение: а)

.

б) А-1:

, .

.

.

в)

.

.

Ответ: а); б); в), .

Задание № 4. Решить систему линейных алгебраических уравнений Пусть в 1-ом уравнении базисная, тогда элемент — разрешающий. Первая строка, третий столбец — разрешающие. Разделим элементы разрешающей строки на разрешающий элемент (). Запишем разрешающую строку после этого преобразования.

, , .

, , .

Пусть в 3-ем уравнении базисная, тогда элемент — разрешающий. Третья строка, первый столбец — разрешающие. Разделим элементы разрешающей строки на разрешающий элемент (). Запишем разрешающую строку после этого преобразования.

, .

, .

Запишем эквивалентную систему линейных уравнений:

Ответ:, , .

Задание № 5. Выполнить действия с матрицами:

а); б) .

Решение:

а) .

б) .

Ответ: а); б) .

Задание № 6. Решить задачу линейного программирования:

Предприятие планирует выпуск двух продукций I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В, С. Потребность на каждую единицуго вида продукцииго вида сырья, запас соответствующего вида сырья и прибыль от реализации единицыго вида продукции заданы таблицей:

Виды сырья	Виды продукции	Запасы сырья
	I	II
А
В
С
Прибыль
План, ед.

Для производства двух видов продукции I и II с планом и единиц составить целевую функцию прибыли и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее n единиц обоих видов продукции.

В условиях задачи 1 составить оптимальный план (,) производства продукции, обеспечивающей максимальную прибыль. Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс-методом).

Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путем. Определить соответствующую прибыль .

Решение:

Пусть предприятие производит единиц продукции I и единиц продукции II. Тогда задачу линейного программирования на максимум можно записать следующим образом:

> - целевая функция.

Ограничения по ресурсам:

А:

В:

С:

Введем в каждое неравенство дополнительную балансовую переменную со знаком «+», получим систему ограничений в виде системы линейных уравнений:

Для нахождения первоначального базисного решения разобьем переменные на основные (базисные) и неосновные (свободные):

Запишем расширенную матрицу системы размером .

На первом этапе за основные можно принять, ,. Если выбранные по этому правилу базисные переменные имеют те же знаки, что и соответствующие им свободные члены, то полученные базисные решения будут допустимыми.

Основные переменные:, , .

Неосновные переменные:, .

Выразим основные переменные через неосновные

Запишем первое базисное решение, приравняв неосновные переменные к 0, т. е., .

— это решение является допустимым.

Выразим целевую функцию через неосновные переменные

>

Функцию можно увеличить за счет увеличения любой из неосновных переменных, входящих в выражение для с положительными коэффициентами. Для определенности выберем. Исходя из условия неотрицательности переменных, из системы можно выбрать наиболее возможное значение переменной :

При переменная обращается в 0 и переходит в неосновные переменные, а — в основные.

Основные:, , .

Неосновные:, .

Выразим новые основные переменные через новые неосновные, начиная с разрешающего уравнения для :

Таким образом, получим новую систему:

Запишем второе базисное решение:

— допустимое решение.

Выразим целевую функцию через новые неосновные переменные:

>

Полученное базисное решение не является оптимальным, поскольку возможно дальнейшее увеличение целевой функции за счет переменной, имеющей положительный коэффициент. Из системы следует, что наиболее возможное значение для :

Второе уравнение системы является разрешающим, при этом переменная переходит в основные, а — в неосновные.

Основные:, , .

Неосновные:, .

Выразим новые основные переменные через новые неосновные, начиная с разрешающего для :

Таким образом получим систему.

Запишем третье базисное решение:

Выразим целевую функцию через новые неосновные переменные:

> .

Это выражение не содержит положительных коэффициентов при неосновных переменных, поэтому значение функции максимальное.

Экономический смысл полученного решения: прибыль предприятия максимальна при реализации единиц продукции I и единиц продукции II. Дополнительные переменные, , показывают остатки ресурсов. При оптимальном плане производства, т. е. остатки ресурсов, А и В равны 0, а остатки ресурса С равны 3 и 5 единицам соответственно.

3. Поскольку переменные,, то допустимые планы будут располагаться в I четверти координатной плоскости.

Ограничение определяет полуплоскость. Для ее определения построим прямую:. Определим координаты 2-х точек на этой прямой.

Т. 1
Т. 2

Для определения полуплоскости задаваемой неравенством возьмем произвольную точку не лежащую на прямой. Удобно взять точку О (0;0). Координаты этой точки удовлетворяют неравенству:. Таким образом, неравенство задает полуплоскость содержащую т. О (0;0).

Рассмотрим неравенство. Прямая: .

Т. 1
Т. 2

Для определения полуплоскости выберем т. О (0;0), которая удовлетворяет неравенству: .

Рассмотрим ограничение. Прямая: .

Т. 1
Т. 2

Для определения полуплоскости выберем т. О (0;0), которая удовлетворяет неравенству: .

Таким образом, получена замкнутая область, замкнутый четырехугольник ОАВС — область допустимых планов или область допустимых решений.

Рассмотрим целевую функцию. Известно, что данная функция задает прямую линию, а само выражение представляет собой скалярное произведение вектора и перпендикулярного ему вектора. Для всех точек какой-либо прямой перпендикулярной целевая функция имеет одно и то же значение. Возрастание целевой функции происходит в положительном направлении. Построим вектор и перпендикулярную ему прямую. Так как в задаче необходимо найти целевой функции, то последней общей точкой (точкой выхода) прямой из ОДР будет являться точка В. Таким образом, оптимальное решение находится в вершине В, находящейся на пересечении прямых и, т. е. координаты точки В определяются решением системы уравнений:

Решение этой системы,. При этом значение целевой функции. Таким образом, максимальная прибыль в размере денежных единиц может быть достигнута при производстве единиц продукции I и единиц продукции II.

Задание № 7. Решить транспортную задачу.

На складах, , хранится, , единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям, ,, заказы которых составляют, , единиц груза соответственно. Стоимости перевозок единицы груза сго складаму потребителю указаны в соответствующих клетках транспортной таблицы:

Суммарная мощность поставщиков равна:

Суммарный спрос потребителей равен:

Модель данной транспортной задачи — открытая. Введем фиктивного потребителя со спросом единиц. Стоимость перевозки единицы груза до фиктивного потребителя равна 0. Получаем закрытую модель.

Поставщики	Потребители

Решаем ее распределительным методом. Воспользуемся методом минимальной стоимости.

Шаг № 1. Заполняем клетку с нулевой стоимостью, например, клетку (1, 4).. Исключаем четвертый столбец.

Шаг № 2. Заполняем клетку (3, 2).. Исключаем третью строку.

Шаг № 3. Заполняем клетку (1, 1).. Исключаем первую строку.

Шаг № 4. Заполняем клетку (2, 1).. Исключаем первый столбец.

Шаг № 5. Заполняем клетку (2, 3).. Исключаем третий столбец и вторую строку.

Проверяем выполнение условия .

Тогда начальный опорный план имеет вид:

Поставщики	Потребители

Для этого плана находим оценки строк и столбцов.

Поставщики	Потребители
					— 4
					— 5
					— 5
			— 2	— 4	;

Затем получим матрицу оценок клеток:

План является неоптимальным, так как имеются клетки с отрицательными оценками. Выбираем клетку (3, 1), имеющую большую по абсолютной величине оценку, и строим для нее цикл пересчета: (3, 1) — (2, 1) — (2, 2) — (3, 2).

. Клетка (3, 1) становится отмеченной, а клетка (3, 2) становится пустой. Составим новый план поставок, для которого находим оценки строк и столбцов.

Поставщики	Потребители
					— 4
					— 5
					— 1
			— 2	— 4	;

Получим матрицу оценок клеток:

План является неоптимальным, так как имеются клетки с отрицательными оценками. Выбираем клетку (1, 2), имеющую большую по абсолютной величине оценку, и строим для нее цикл пересчета: (1, 2) — (1, 1) — (2, 1) — (2, 2).

. Клетка (1, 2) становится отмеченной, а клетка (1, 1) становится пустой. Составим новый план поставок, для которого находим оценки строк и столбцов.

Поставщики	Потребители
					— 2
					— 5
					— 1
			— 2	— 2	;

Получим матрицу оценок клеток:

План является неоптимальным, так как имеются клетки с отрицательными оценками. Выбираем клетку (2, 4), имеющую большую по абсолютной величине оценку, и строим для нее цикл пересчета: (2, 4) — (1, 4) — (1, 2) — (2, 2).

. Клетка (2, 4) становится отмеченной, а клетка (1, 4) становится пустой. Составим новый план поставок, для которого находим оценки строк и столбцов.

Поставщики	Потребители
					— 2
					— 5
					— 1
			— 2	— 5	;

Получим матрицу оценок клеток:

Матрица оценок не содержит отрицательных чисел. Таким образом, получен оптимальный план поставок, который окончательно можно представить в виде таблицы

Поставщики	Получатели
		2 100
	5 80	5 20	3 40
	1 110

Суммарные затраты на перевозку груза равны:

ден. ед.

При этом поставщик должен поставить 100 единиц груза потребителю. Поставщик должен поставить 80 единиц груза потребителю, 20 единиц груза потребителю, 40 единиц груза потребителю. Поставщик должен поставить 110 единиц груза потребителю. 60 единиц груза останется на складе у поставщика .

Задание № 8. Найти производные функций:

а)

.

б)

.

в)

.

Задание № 9. Для функции

Найти: а) интервалы монотонности, локальные экстремумы;

б) интервалы выпуклости вверх (вниз), точки перегиба;

в) построить эскиз графика;

г) написать уравнение касательной к графику в точке с абсциссой .

Решение:

Область определения функции Область значений функции Нули функции и интервалы знакопостоянства:

Определить четность, нечетность функции

— функция общего вида.

Непериодическая Исследование функции на монотонность Первая производная функции:

или

вектор матрица транспортный задача Исследование функции на выпуклость, вогнутость.

Вторая производная:

или или

Нет решений.

Выпуклая книзу при

Выпуклая кверху при .

уравнение касательной к графику в точке с абсциссой .

Эскиз графика

x
y	7,1	1,7	0,38	0,04		— 0,04	— 0,38	— 1,7	— 7,1	19,6	14,3	13,1
			— 2	— 3	— 4	— 5	— 6	— 7	— 8	— 9
13,01	13,3	13,9	— 19,6	— 14,3	— 13,1	— 13,01	— 13,3	— 13,9	— 14,52	— 15,26