Оснoвныe пoнятия вeктopнoгo aнaлизa

Западно-Казахстанский Аграрно-Технический Университет имени Жангир хана Кафедра «Математики»

Реферат Тема: Ocнoвныe пoнятия вeктopнoгo aнaлизa

Уральск 2011

1. Скалярное поле

2. Векторное поле

3. Дивергенция. Вихрь

1. Скалярное поле

Вектор — функция скалярного аргумента.

Будем говорить, что имеем вектор-функцию скалярного аргумента t, если каждому значению аргумента t из векторного множества T ставится в соответствие определенное значение .

В декартовой системе координат :

эквивалентно заданию трех скалярных функций Непрерывно дифференцируемая кривая в каждой точке которой называется гладкой

В каждой точке гладкой кривой существует касательная и производная — направлена по касательной в сторону возрастания параметра t.

Производная вектор функции:

а дифференциал:

— модуль дифференциала

— дифференциал длины дуги.

Пусть единичный вектор

углы вектора с осями ox, oy, oz направляющие косинусы единичного вектора касательной

Поверхность; Нормаль поверхности.

Поверхность будем рассматривать как образ замкнутой плоской области при непрерывном отображении.

Отображение можно задать следующим образом в векторном виде:

где x, y, z, — непрерывные в замкнутой ограниченной плоскости

В каждой точке гладкой поверхности существует нормаль векторное произведение касательных к кривым в т M₀, к касательным, кривым равным ₁, ₂

Единичная нормаль

;

в случае, когда поверхность задается уравнением в явном виде касательные к поверхности в точке M

важно знать, что нормаль к поверхности определяется:

направляющие косинусы нормали к поверхности z=f(x;y) имеют вид Говорят, что в системе задано поле, если каждой точке этот области соответствует определённое значение некоторой величины числовой или векторной. Если в каждой точке рассматриваемой области заданная величина принимает числовое значение, то поле скалярное, а если в каждой точке области задан вектор, то поле называется векторным.

Задание скалярного поля означает, что в каждой точке, имеющей радиус вектор определенна скалярная функция. Задание векторного поля характеризуется заданием векторной функции .

Примеры скалярных полей:

Если каждой точке М нагретого тела поставить в соответствие её температуру T (M), то она образует поле температур внутри нагретого тела

— какой либо источник света создаёт скалярное поле освещённости и каждой точке М ставится в соответствие — освещенность в этой точке;

— каждой точке М области, в которой непрерывно распределены электрические заряды можно поставить в соответствие Плотность электрических зарядов — и получить скалярное поле плотности электрических зарядов;

— непрерывно распределенная масса в области образует скалярное поле плотности массы: каждой точке М — ставиться в соответствие плотность в этой точке.

Примеры векторных полей:

— поле скоростей движущейся жидкости;

— гравитационное поле;

— электростатическое поле.

— Если в какой-то области, заполненной жидкостью, текущей с некоторой скоростью, каждой точке М можно поставить в соответствие векторное поле скорости, то получим векторное поле скоростей текущей жидкости.

— Электрические заряды, распределенные в некоторой области, действуют с определённой силой на единичный электрический заряд, помещённый в точку М. Эти силы образуют векторное поле называемое электрическим полем.

Важными характеристиками скалярного поля являются:

— производная по направлению,

— gradient градиент.

Пусть в области определёно скалярное поле. Возьмем в точке М фиксированное направление производная по направлению характеризует скорость изменения поля в направлении

— где — углы с осями координат.

Градиент скалярного поля определяется как вектор.

Производная по направлению достигает своего наибольшего значения в направлении;

И наконец одно из важнейших свойств вектора градиента:

Вектор направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции

2. Векторное поле

Работа векторного поля

Геометрической характеристикой векторного поля служат векторные (силовые) линии.

Векторной линией (силовой линией) поля называется кривая, у которой касательная в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке векторного поля.

Пусть векторное поле:

Тогда вектор направлен по касательной к линии и по определению векторной линии коллинеарен — векторному полю

Дадим физическую трактовку криволинейного интеграла. Если в некоторой области задано некоторое силовое поле то при перемещении материальной точки M вдоль кривой поле L совершает некоторую работу A.

При сплошная В случае когда F (M) — скалярное поле, то

Поток векторного поля.

Поверхностный интеграл I рода:

Пусть — кусочно — гладкая поверхность, U (x; y; z) — скалярное поле на .

Тогда поверхностным интегралом I рода называется:

— определяет поверхность; D — проекция на плоскость xoy;

Поверхностный интеграл II рода — называют потоком векторного поля через поверхность. Его можно интерпретировать как количество жидкости или газа протекающего за единицу времени через поверхность ;

Пустьповерхность:

— скорость течения жидкости или газа — векторное поле;

— единичная нормаль к поверхности ;

Количество жидкости или газа (поток векторного поля) протекающее через в направлении равно объему цилиндра с основанием _i, образующей .

где D₁, D₂, D₃ — проекции на координатные плоскости.

Теперь можно приступить к решению задач на применение векторного анализа.

Вычислить поток векторного поля где — радиус вектор, через прямой круговой цилиндр с высотой h, радиусом основания R и осью OZ

Решение: поверхность состоит из боковой поверхности ₁ верхнего основания ₂ и нижнего основания цилиндра ₃

Искомый поток П=П₁+П₂+П₃, где П₁, П₂, П₃ — потоки поля через ₁, ₂, ₃.

1) на боковой поверхности ₁ цилиндра внешняя

() = () =

Поток векторного поля через боковую поверхность ₁; П₁

_,

где 2ПRh — площадь боковой поверхности цилиндра.

2) на верхнем основании цилиндра ₂ нормаль

;

где — площадь круга ₁ радиуса R.

3) на нижнем основании ₃ векторы

Поток поля векторов через поверхность цилиндра в направлении внешней нормали П:

П=П₁+П₂+П₃=2R²h+R²h=3R²h.

3. Дивергенция. Вихрь

Дивергенция.

Величина потока вектора через замкнутую поверхность является глобальной характеристикой векторного поля в области и очень приблизительно позволяет судить о наличии источников и стоков в области. Поток П представляет собой избыток жидкости, протекающей в сторону положительной нормали n^o, а не абсолютное количество жидкости, прошедшее через поверхность независимо от направления течения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределения стоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке) означает что поверхностьстягивается в точке М₀.

Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля, исходящего из точки М₀, т. е. мощность источника (при)>0) или стока (при div F (M₀)<0), находящегося в точке М₀.

В трехмерном евклидовом пространстве

где

Теорема Остроградского — Гаусса.

Если вектор функция вместе с частными производными — непрерывна в замыкании простой области, то имеет место формула Остроградского — Гаусса:

где поверхностные интегралы берутся по внешней стороне поверхности .

Т. Стокса. Ротор. Вихрь.

Циркуляция характеризует завихренность векторного поля вдоль всего контура ?.

Локальной характеристикой поля, связанной с завихренностью является ротор.

Ротором векторного поля в т. М₀ называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контору? плоской области, перпендикулярной этому направлению, к величине площади S этой области, когда S стягивается в т. М₀, т. е.

Пр.

(S

Теорема Стокса: Пусть? — поверхностно-односвязная область,

? — кусочно-гладкий контур в? и? — кусочно-гладкая поверхность, натянутая на контур? и лежащая в ?.

Пусть в области? задано векторное поле, такое, что ,

rot — непрерывен в области ?.

Тогда циркуляция поля F по контору? равна потоку rot через поверхность ?, т. е.

причём направления контура и поверхности согласованы

=

Физический смысл циркуляции и rotora. Пусть F=V (M) — скорость текучей жидкости. Поместим в это поле колёсико с лопастями, расположенными по окружности? этого колёсика.

Частицы жидкости, действуя на эти лопасти, будут создавать вращательные моменты, суммарное действие которых приводят колёсики во вращение вокруг своей оси. Вращательное действие поля скоростей жидкости будут в каждой точке М характеризоваться проекцией вектора V (M) на на касательную ?⁰ к окружности ?, т. е. скалярным произведениям (V ?⁰). Суммирование вращательных действий жидкости по всему контуру приводит к понятию циркуляции вектора =V. Абсолютная величина вектора будет определять угловую скорость вращения колёсика, а знак циркуляции покажет, в какую сторону вращается колёсики относительно оси. Чем меньше угол

)/

?, тем больше циркуляция, а значит и завихренность поля в этом направлении. скалярный векторный поле поток стокс Следовательно:

Угловая скорость принимает в точке М наибольшее значение

w= rot, когда направлен по rot, отсюда следует вихрь-вектор направлен по оси вращения с наибольшей угловой скоростью и по длине равен удвоенной величине максимально угловой скорости.

Для направлении rot ?(F, n)=0, в этих направлениях колёсико совсем не будетвращаться.

Для остальных направлении оси

Ефимов А. В. Математический анализ (специальные разделы). — М. Высшая школа, 1980

Ильин В.А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, I, II ч. М. Издательство МГУ, 1987

Шилов Г. Е. Математический анализ функции нескольких вещественных переменных. ч. 1 — 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.

Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа I, II ч. М. Наука 1981.