Расчет вероятности наступления события
Дана схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом (рисунок 1). Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти… Читать ещё >
Расчет вероятности наступления события (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»
Факультет заочного обучения
Контрольная работа № 1
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Выполнил: студент 3 курса гр. 900 101
Бобровский С.Р.
Минск 2011
Номер задания | ||||||||||
Номер варианта | ||||||||||
Задача № 1.35
В урне 3 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают сразу 6 шаров. Найти вероятность того, что все шесть шаров черные.
Решение Событие, А — все шесть вынутых шаров черные.
Общее число шаров в урне равно 10. Число n всех равновероятных исходов опыта равно числу способов, которыми можно из 10 шаров вынуть 6:
Число благоприятствующих исходов, учитывая, что шары черные:
Вероятность того, что все шары черные:
Ответ: p=0,033
Задача № 2.28
Дана схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом (рисунок 1). Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Рисунок 1
Решение Введем события: A1 — элемент 1 исправен, A2 — элемент 2 исправен, A3 — элемент 3 исправен, A4 — элемент 4 исправен, A5 — элемент 5 исправен, Bсигнал проходит от точки a к точке b, Ссигнал проходит от точки b к точке c, Dсигнал проходит от точки a к точке c (со входа на выход).
Событие B произойдёт, если будут работать или элемент 1, или элемент 2, или элемент 3:
Вероятность наступления события B:
Событие C произойдёт, если будут работать и элемент 4 и элемент 5:
Вероятность наступления события С:
Соответственно, вероятность наступления события D:
Ответ:
Задача № 3.34
математический ожидание дисперсия величина Группа студентов состоит из пяти отличников, десяти хорошо успевающих и семи занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что студент получит отличную оценку.
Решение Обозначим через, А событие — студент получит отличную оценку Общее количество студентов, равно 22. Обозначим через:
вероятность вызова отличника;
вероятность вызова хорошиста;
вероятность вызова слабого студента.
Сделаем ряд предположений:
— вызван отличник. Получена отличная оценка:
— вызван хорошист. Получена отличная оценка:
— вызван хорошист. Получена хорошая оценка:
— вызван слабый студент. Получена хорошая оценка:
— вызван слабый студент. Получена удовлетворительная оценка:
— вызван слабый студент. Получена неудовлетворительная оценка:
Событие, А однозначно произойдёт при гипотезах H1, H2 и не произойдет в остальных случаях. Следовательно условные вероятности события A:
По формуле полной вероятности найдём вероятность события A:
Ответ:
Задача № 4.37
Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,5. Произведено десять бросков. Найти вероятность того, что будет 8 попаданий.
Решение
n = 10 — количество произведённых бросков
p = 0,3 — вероятность попадания при броске Вероятность того, что из n=10 бросков в корзину k=8 окажутся удачными, определим по формуле Бернулли:
Ответ: P (10,8)=0,04
Задача № 5.23
Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
Таблица 1 — Исходные данные
— 10 | — 4 | |||||
0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | ||
Решение
1) Математическое ожидание и дисперсия величины Х:
2) Построим ряд распределения СВ X:
Таблица 2 -Ряд распределения СВ X
— 10 | — 4 | >10 | |||||
0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | |||
0,00 | 0,20 | 0,40 | 0,60 | 0,80 | 1,00 | ||
Построим график функции распределения (рисунок 2):
Рисунок 2 — график функции распределения F (x)
Задача № 6.22
Случайная величина Х задана плотностью вероятности:
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.
Решение
1) Вычислим константу исходя из условия нормировки:
Отсюда константа :
2) Определим математическое ожидание СВ Х:
3) Определим дисперсию СВ Х:
4) Определим функцию распределения величины Х:
5) Определим вероятность попадания величины Х в заданный интервал :
Ответ:
Задача № 7.30
Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a, b]. Построить график случайной величины Y=(X) и определить плотность вероятности g (y).
Решение
1) Построим график случайной величины для в интервале значений и определим диапазон значений (Рисунок 3): [0; 2]
2) В зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы для :
обратных функций не существует
обратных функций не существует
3) Вычислим модули производных обратных функций:
Рисунок 3 — график функции
Так как случайная величина Х распределена равномерно на интервале
[-1;16], то её плотность вероятности равна:
Определим плотность вероятности величины :
Задача № 8.15
Двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рисунок 4 области B. Двухмерная плотность вероятности f (x, y) одинакова для любой точки этой области B:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.
Рисунок 4
Таблица 3 — Исходные данные
Вариант | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | y1 | y2 | |
8.15 | |||||||||
Решение
1) Построим область B согласно координатам из таблицы 3 и рисунка 4.
Рисунок 5
Проанализируем рисунок 5: область B на промежутке ограничена сверху прямой, снизу, слева прямой справа прямой
Следовательно, совместная плотность вероятности примет вид:
2) Найдём константу из условия нормировки:
с=1/16
Таким образом:
Проверим полученный результат геометрически. Объём тела, ограниченного поверхностью распределения В и плоскостью xOy равен 1, т. е.:
Следовательно, константа с рассчитана верно.
3) Вычислим математические ожидания:
4) Вычислим дисперсии:
Вычислим корреляционный момент:
5) Вычислим коэффициент корреляции между величинами X и Y:
Ответ: с=1/16; Mx = 6; My = 1; Dx = 110/3; Dy = 1/3; Kxy = -2/3; Rxy = -0,191
Задание № 9.2
Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а так же определить их коэффициент корреляции Ruv :
U= a0+ a1X1+ a2X2
V= b0+ b1X2+ b2X3
Исходные данные:
a0 = -8 a1 = 4 a2 = 8 | b0 = 3 b1 = -4 b2 = 4 | m1 = 1 m2 = 0 m3 = 2 | D1 = 1 D2 = 4 D3 = 16 | K12 = 0 K23 = 4 K13 = 2 | |
Решение:
Математическое ожидание величины U:
mu= a0+ a1 m1+ a2 m 2= -8+4Ч1+8Ч0= -4
Математическое ожидание величины V:
mv= b0+ b1 m2+ b2 m 3= 3−4Ч0+4Ч2=11
Дисперсия величины U:
Du = Ч D1 +Ч D2+2Ч a1Ч a2 Ч K12= 16Ч1+64Ч4+2Ч4Ч8Ч0= 16+256+0=272
Дисперсия величины V:
Dv = Ч D2 +Ч D3+2Ч b1Ч b2 Ч K23= 16Ч4+16Ч16+2Ч-4Ч4Ч4= 192
Математическое ожидание между величинами U и V:
muv = -4Ч11+ 4(-4Ч0+4Ч2)+8(-4Ч4+4Ч4)= -44+32=-12
Корреляционный момент между величинами U и V:
Kuv = -12-(-4) Ч11=-12+44=32
Коэффициент корреляции между величинами U и V:
Ruv =
Математическое ожидание величины x2 x2:
m x2x2= 0*0+4=4
Математическое ожидание величины x1x2:
m x1x2= 1*0+0=0
Математическое ожидание величины x1x3:
m x1x3= 1*2+2=4
Математическое ожидание величины x2x3:
m x2x3= 0*2+4=4
Литература
1) Волковец А. И., А. Б. Гуринович А.Б. Конспект лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов всех специальностей и форм обучения БГУИР. — Мн.: БГУИР, 2003. 82 с.
2) Жевняк Р. М., Карпук А. А., Унукович В. Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж.-экон. спец. — Мн.: Харвест, 2000.-384 с.
3) Письменный Д. Т Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистики. — М.: Айрис-пресс, 2004. 256с.
4) Волковец А. И., А. Б. Гуринович А.Б. Практикум по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов всех специальностей очной формы обучения БГУИР. — Мн.: БГУИР, 2003. 68 с.
5) Аксенчик А. В., Волковец А. И., Гуревич А. В., Гуринович А. Б. Сборник задач по типовому расчету по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов всех специальностей и форм обучения БГУИР. — Мн.: БГУИР, 2007. 76 с.
6) Волковец А. И., Гуринович А. Б. Аксенчик А.В. Методические указания по типовому расчету по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов всех специальностей заочной формы обучения БГУИР. — Мн.: БГУИР, 2009. 65 с.