Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии и основы математического анализа

ИНСТИТУТ СОЦИАЛЬНЫХ И ГУМАНИТАРНЫХ ЗНАНИЙ

МАТЕМАТИКА часть I

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Казань

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ ИНСТИТУТ СОЦИАЛЬНЫХ И ГУМАНИТАРНЫХ ЗНАНИЙ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В ЭКОНОМИКЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС МАТЕМАТИКА часть I

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Для студентов всех специальностей экономического факультета

УДК ББК М

Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом Института социальных и гуманитарных знаний Составитель:

Курзин С.П., доцент.

Рецензенты:

Фролов В.Ф., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физики и математики КГАУ.

Кит Ю.В., зав. кафедрой государственного и муниципального управления Института социальных и гуманитарных знаний, доцент.

М Математика: часть I. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии и основы математического анализа: Учебно-методический комплекс / Сост. Курзин С. П. — Казань: Изд-во ««, 2008. — с.

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математика» составлен в соответствии с требованиями федерального компонента к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста по циклу общих математических и естественнонаучных дисциплин государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования РФ и является обязательным для изучения.

УДК ББК

ISBN

© Составитель. Курзин С. П. 2008

© Институт социальных и гуманитарных знаний, 2008

1. Введение

2. Объем дисциплины

3. Рабочая программа

4. Краткий курс лекций

5. Тематический план занятий

6. Самостоятельная работа студентов

7. Контроль знаний студентов

8. Литература

ВВЕДЕНИЕ

Курс «Математика I» (линейная алгебра с элементами аналитической геометрии и основы математического анализа) является основным и входит в цикл общеобразовательных дисциплин для студентов всех экономических специальностей. На него опираются такие курсы, как теория вероятностей и математическая статистика, исследование операций, математические методы, микро-, макроэкономика и ряд других экономико-математических дисциплин.

Предмет курса — изучение основ математического анализа и линейной алгебры в объеме, необходимом для понимания методов, используемых в анализе экономических процессов и применения их при решении практических задач.

Цель курса — общематематическая подготовка студентов экономического факультета, необходимая в дальнейшем для освоения математических и статистических методов в экономике; воспитание у студентов математической культуры, развитие навыков логического мышления и формального обоснования принимаемых решений.

Задачи курса:

· ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач экономики и управления;

· привить умение самостоятельно изучать литературу по линейной алгебре и математическому анализу;

· развить логическое и алгоритмическое мышление;

· воспитать абстрактное мышление и умение строго излагать свои мысли;

· выработать у студентов навыки к математическому исследованию прикладных вопросов Особенностью курса является его прикладная экономическая направленность: рассматриваются простейшие приложения математики в экономике и управлении. Важнейшей чертой курса является многообразие тем с примерами и задачами экономического содержания, т. е. содержание курса адаптировано для студентов. К особенности курса также можно отнести то, что рассмотрение большинства тем начинается с постановки практической задачи, затем рассматривается соответствующий математический аппарат, решается поставленная задача.

В результате изучения курса студенты должны знать основы математического анализа и линейной алгебры с элементами аналитической геометрии, уметь применять полученные знания к решению прикладных задач экономики и управления.

ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА I» И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА I» (1-й курс) АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Первый семестр Тема 1. Матрицы. Действия над матрицами Понятие матрицы, виды матриц. Действия над матрицами и их свойства: сложение, умножение на число, произведение, возведение в целую степень, транспонирование. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы.

Тема 2. Определители Основные понятия. Вычисление определителей 2−3 порядка, правило Саррюса. Свойства определителей. Дополнительный минор, алгебраическое дополнение. Разложение определителей по элементам некоторого ряда.

Тема 3. Ранг матрицы Основные понятия: минор k-го порядка, ранг матрицы, базисный минор. Метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований для нахождения ранга матрицы.

Тема 4. Обратная матрица Невырожденная матрица. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Матричные уравнения.

Тема 5. Система n-линейных уравнений с nнеизвестными (СЛУ) Совместная, несовместная, определенная, неопределенная СЛУ. Матричный способ решения СЛУ. Формулы Крамера.

Тема 6. Произвольная система линейных уравнений (mуравнений с

n-неизвестными Метод Гаусса решения СЛУ. Понятие основной и расширенной матриц СЛУ. Теорема Кронекера-Капелли. Нахождение общего, частного и базисного решений.

Тема 7. nмерное векторное пространство Определение n-мерного вектора. Действия над векторами, свойства. Понятие n-мерного векторного пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.

Тема 8. Линейные операторы Определение. Действия над линейными операторами. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы) Тема 9. Квадратичные формы Определение. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы.

Тема 10. Векторы на плоскости и в пространстве Основные понятия. Линейные операции над векторами. Правила параллелограмма и треугольника. Проекция вектора на ось и ее свойства. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы. Действия над векторами, заданными проекциями.

Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Их основные свойства.

Тема 11. Прямая линия на плоскости Метод координат. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой, его исследование. Уравнение прямой в отрезках. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Расстояние от точки до прямой.

Тема 12. Кривые второго порядка Окружность. Каноническое уравнение окружности. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет и директрисы эллипса. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты, эксцентриситет и директрисы гиперболы. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Эксцентриситет и директрисы параболы.

Тема 13. Плоскость Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Исследование общего уравнения. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и через три данные точки. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

Тема 14. Прямая линия в пространстве Векторное уравнение прямой линии. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Общее уравнение прямой линии. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости.

Тема 15. Прямая и плоскость в аффинном пространстве Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости.

Тема 16. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения Цилиндрические, конические поверхности. Поверхности вращения. Эллипсоид. Гиперболоид.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Второй семестр Тема 1. Множества. Действительные числа Множества и подмножества, их свойства. Операции над множествами. Отношения между множествами. Выпуклые множества и их свойства. Числовые множества. Элементы логической символики. Числовые промежутки. Окрестность точки. Абсолютная величина вещественного числа. Свойства абсолютных величин.

Тема 2. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности Понятие о числовых последовательностях. Последовательности как функции на множестве натуральных чисел. Способы задания. Основные характеристики: монотонность, ограниченность. Предел последовательности: определение, геометрический смысл. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей. Операции над пределами последовательностей. Пределы и неравенства. Число e как предел последовательности. Натуральные логарифмы.

Тема 3. Функция одной переменной. Графики элементарных функций Понятие функции. Область определения, область изменения. Способы задания функции действительного аргумента. Основные характеристики: четные, нечетные, монотонные, периодические функции. Обратная функция. Сложная функция. Основные элементарные функции и их графики.

Тема 4. Предел функции одной переменной Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Теоремы о пределах. Признаки существования пределов. Замечательные пределы и их следствия. Эквивалентные бесконечно малые функции.

Тема 5. Непрерывность функции одной переменной Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в интервале и на отрезке. Точки разрыва и их классификации. Основные теоремы о непрерывных функциях (сумма, разность, произведение, частное). Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений, промежуточного значения.

Тема 6. Производная и дифференциал функции одной переменной Понятие производной, механический и геометрический смысл. Уравнение нормали и касательной к кривой. Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производная суммы, разности, произведения, частного. Производная сложной и обратной функции. Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Дифференцирование неявных функций. Производные высших порядков. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Основные теоремы о дифференциалах. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциалы высших порядков.

Тема 7. Свойства дифференцируемых функций Основные теоремы о дифференцируемых функциях (теоремы Ферма, Роля, Лагранжа, Коши). Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Формулы Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

Тема 8. Исследование функций Условия монотонности функции. Экстремум функции. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия максимума и минимума. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты. Построение графика функции.

Тема 9. Комплексные числа Основные понятия. Геометрическое изображение комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление. Извлечение корней из комплексных чисел.

Тема 10. Неопределенный интеграл Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования, метод замены переменной, метод интегрирования по частям, интегрирование рациональных дробей. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы.

Тема 11. Определенный интеграл Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический смысл интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения. Приближенное вычисление определенного интеграла.

Тема 12. Несобственные интегралы Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования. Интеграл от разрывной функции.

Тема 13. Дифференциальные уравнения Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике.

Тема 14. Ряды Понятие числового ряда. Числовые ряды с неотрицательными членами. Признаки их сходимости. Сходимость произвольных числовых рядов. Определение и свойства степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды.

Тема 15. Функции нескольких переменных. Основные понятия Область определения. Способы задания. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Частные производные. Дифференцируемость и полный дифференциал функции. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Условный экстремум. Метод Лагранжа

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ Первый семестр Линейная алгебра с элементами аналитичемкой геометрии ТЕМА 1. Матрицы. Действия над матрицами Основные понятия Матрицей размера m? n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:

Числа aij (i = 1, …, m, j = 1, …, n) называются элементами матрицы A. Первый индекс обозначает номер строки, второй — номер столбца, в которых находится данный элемент.

Матрицы можно обозначать также A = (aij) (i = 1, …, m, j = 1, …, n).

Элементы aii (i = 1, …, min{m, n}) называются диагональными, а их совокупность —главной диагональю матрицы A.

Матрица размера 1? n называется матрицей-строкой, а матрица размера m?1 называется матрицей-столбцом.

При m = n матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Квадратная матрица A = (a ij) называется диагональной, если все ее элементы, кроме диагональных, равны нулю, т. е. aij = 0? i?j.

Матрицы A = (aij) и B = (bij) называются равными, если они одного и того же размера m? n и? i = 1, …, m, ?j = 1, …, n aij = bij.

Матрица B = (bij) размера n? m называется транспонированной по отношению к матрице A = (aij) размера m? n, если?? i = 1, …, m и? j = 1, …, n имеем bij = aji, т. е.

Транспонированная матрица обозначается символом AT.

Квадратная матрица A называется симметричной, если AT = A.

Сложение матриц Суммой матриц A = (a ij) и B = (b ij) одного и того же размера m? n называется матрица того же размера C = (cij), элементы которой определяются формулой То, что матрица С является суммой матриц, А и В, записывается в виде С=А+В. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой (0).

Матрица X такая, что X + A = O, называется противоположной матрице A и обозначается символом? A. Пусть A и B — матрицы размера m? n.

Матрица C = A + (?B) называется разностью матриц A и B и записывается в виде C = A? B.

Для любых матриц A, B и C одного и того же размера m? n:

· A + B = B + A;

· (A + B) + C = A + (B + C);

· если O — нулевая матрица размера m? n, то A + O = A; A + (?A) = O.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы A = (aij) размера m? n и вещественного числа б называется матрица того же размера C = (cij), элементы которой определяется формулой

cij = бaij (i = 1, …, m, j = 1, …, n)

То, что матрица C является результатом умножения матрицы A на число б, записывается в виде C = бA.

Для любой матрицы A и любых чисел б, в R:

· 1· A = A;

· б (вA) = (бв)A.

Для любых матриц A и B одного и того же размера и любых чисел б, в R:

· (б + в) A = бA + вA;

· б (A + B) = бA + бB.

Операции сложения и умножения на число называют линейными операциями.

Умножение матриц Произведением матрицы A = (aij) размера m? n и матрицы B = (bij) размера n? l называется матрица C = (cij) = A · B размера m? l, элементы которой определяются формулой:

.

То, что матрица C является произведением матриц A и B, записывается в виде C = A· B.

Заметим, что произведение матриц A и B определено только, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Вообще говоря, A· B? B·A (даже для квадратных матриц одного и того же размера).

Если A· B = B· A, то матрицы называются перестановочными или коммутативными.

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие на главной диагонали, равны единице, а остальные — нулю, т. е. матрица вида называется единичной матрицей.

Для любой квадратной матрицы A

A· E = E· A = A ,

где E — единичная матрица того же порядка, что и A.

· Умножение матриц ассоциативно, т. е. выполняется равенство

(A· B)·C = A· (B· C)

· Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению, т. е. если определено выражение A· (B + C), то

A· (B + C) = A· B + A · C.

Возведение матрицы в натуральную степень. Многочлен от матрицы Натуральная степень квадратной матрицы вычисляется по формуле:

An = A· A·…·A n раз (nN).

Следовательно, если f (x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anx n — многочлен n-ой степени (n N) относительно x, то

f (A) = a0E + a1A + a1A2 + … + an An,

где A — квадратная матрица порядка n и E — единичная матрица того же порядка.

ТЕМА 2. Определители Основные понятия Пусть A = (aij) (i, j = 1, …, n) — квадратная матрица порядка n.

Определителем (или детерминантом) матрицы A называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и может быть вычислено по ее элементам. Обозначается определитель матрицы A символами Определитель матрицы n? n называется определителем n-го порядка.

Правило вычисления определителей

1. Определителем матрицы 1?1, состоящей из одного числа, будем считать само это число.

2. Определитель матрицы 2?2 вычисляется по формуле:

3. Определитель матрицы 3?3

вычисляется по правилу Саррюса: приписать к определителю справа два первых столбца, не меняя их порядка, и составить сумму произведений элементов главной диагонали и элементов, параллельных ей, из которой затем вычесть сумму произведений элементов побочной диагонали и элементов параллельных ей.

Чтобы сформулировать общее правило вычисления определителя, введем понятия дополнительного минора и алгебраического дополнения элемента матрицы:

Дополнительным минором Mij элемента матрицы n-го порядка aij (i, j = 1, …, n) называется определитель матрицы n?1-го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Алгебраическим дополнением Aij элемента матрицы n-го порядка aij (i, j = 1, …, n) называется число (?1)i + j Mij, где Mij — дополнительный минор.

Определитель матрицы A n-го порядка может быть вычислен по любой из формул:

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin (i = 1, …, n)

разложение по i-ой строке или

det A = a1jA1j + a2jA2j + … + anjAnj (j = 1, …, n)

разложение по j-ому столбцу.

Свойства определителей

1. При транспонировании матрицы величина ее определителя не меняется, т. е.

det AT = det A.

2. Отсюда следует, что любое утверждение, справедливое для столбцов определителя, справедливо также и для строк.

3. При перестановке двух столбцов (или строк) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

4. Если матрица имеет два одинаковых столбца (или две одинаковые строки), то ее определитель равен нулю.

5. Если все элементы какого-нибудь столбца (или строки) матрицы умножить на одно и то же число, то ее определитель умножится на это число.

6. Если матрица содержит столбец (строку), состоящую из нулей, то ее определитель равен нулю.

7. Если элементы какого-нибудь столбца (строки) матрицы представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель этой матрицы можно представить в виде суммы двух определителей.

8. Если соответствующие элементы двух столбцов (строк) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

9. Если к элементам какого-нибудь столбца (строки) матрицы прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится.

10. Сумма произведений элементов любого столбца (строки) матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю.

ТЕМА 3. Ранг матрицы Основные понятия Минором к-го порядка произвольной матрицы, А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких-либо к строк и к столбцов.

Рангом матрицы, А (rang A или r (A)) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Базисным минором называется любой из миноров матрицы А, порядок которого равен r (А).

Свойства ранга матрицы а) если матрица, А имеет размеры mn, то rang A min (m;n);

б) rang A =0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы, А равны 0;

в) если матрица, А квадратная порядка n, то rang A = n тогда и только тогда, когда, А 0.

Элементарные преобразования Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:

а) отбрасывание нулевой строки (столбца);

б) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;

в) изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

г) прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

д) транспонирование матрицы.

С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:

где

Ранг ступенчатой матрицы равен r.

Строки (столбцы) матрицы e1, e2,…, em называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1, 2,…, m, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: 1e1 + 2e2 +… +mem = 0, где 0 = (0,0,…, 0). В противном случае строки матрицы называются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов.

Метод окаймляющих миноров Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы, А состоит в следующем:

1) Найти какой-либо минор М1 первого порядка (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица, А нулевая и r (A) = 0

2) Вычислять миноры 2-го порядка, содержащие М1 (окаймляющие М1) до тех пор, пока не найдется минор М2, отличный от нуля. Если такого минора нет, то r (A) = 1, если есть, то r (A) 2 и т. д.

3) Вычислять (если они существуют) миноры к-го порядка, окаймляющие минор Мк-1 0. Если таких миноров нет или они все равны нулю, то r (А) = k-1; если есть хотя бы один такой минор Мк 0, то r (A) k, и процесс продолжается.

При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор к-го порядка, причем искать его только среди миноров, содержащих минор Мк10 .

ТЕМА 4. Обратная матрица Определение обратной матрицы. Условие существования Матрица A? 1 называется обратной к квадратной матрице A nго порядка, если

A · A? 1 = A? 1 · A = E ,

где E — единичная матрица nого порядка.

Условие существования обратной матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т. е. det A? 0 .Если обратная матрица существует, то она единственная.

Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений Задана квадратная матрица 3-го порядка

Для вычисления обратной матрицы методом алгебраических дополнений:

1. Вычисляем определитель матрицы A. Если det A? 0, то матрица A имеет обратную.

2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы A

3. Находим транспонированную матрицу:

=

3. Разделив матрицу AТ на определитель, получаем искомую обратную матрицу:

5. Проверяем, что A · A?1 = E, и записываем ответ.

Аналогично вычисляется обратная матрица для невырожденной матрицы любого порядка.

Матричные уравнения

1. Рассмотрим матричное уравнение

A · X = B ,

где A— квадратная невырожденная (det A? 0) матрица порядка n, B — матрица размера n? m и X — неизвестная матрица.

Так как матрица A — невырожденная, то существует обратная матрица A?1. Умножим обе части уравнения слева (операция умножения матриц некоммутативна) на матрицу A?1. По определению обратной матрицы, получим

(A?1 · A) · X = A?1 · B E · X = A?1 · B X = A?1 · B .

Таким образом, искомое решение матричного уравнения определяется формулой:

X = A?1 · B

Отметим, что количество строк матрицы B должно быть равно порядку матрицы A .

2. Рассмотрим матричное уравнение

X · A = B ,

где A — квадратная невырожденная (det A? 0) матрица порядка n, B — матрица размера m? n и X — неизвестная матрица.

Так как матрица A — невырожденная, то существует обратная матрица A?1. Умножим обе части уравнения справа на матрицу A?1. По определению обратной матрицы, получим

X · (A · A?1) = B · A?1 X · E = B · A?1 X = B · A?1 .

Таким образом, искомое решение матричного уравнения:

X = B · A?1 .

Отметим, что количество столбцов матрицы B должно быть равно порядку матрицы A .

ТЕМА 5. Система n линейных уравнений с n-неизвестными (СЛУ) Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений называется система вида:

(1)

где aij, i = 1,…, m, j = 1,…, n называются коэффициентами системы, bi свободными членами. xn неизвестные.

Систему (1) можно записать в матричной форме

AX = B.

А матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей:

вектор-столбец из неизвестных хj,

вектор-столбец из свободных членов bi.

Решением системы называется n значений неизвестных х1 =с1, х2 = с2,…, хn = cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Две системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же общее решение.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены в системе (1) равны нулю.

Однородная система всегда совместна, так как х1 = х2 =…= xn = 0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Матричный способ решения СЛУ Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными или в матричной форме АХ = В.

Основная матрица, А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае 0.

Умножив обе части уравнения АХ = В слева на матрицу, получимАХ =В. Поскольку, А = Е и ЕХ = Х, то Х =В. (2)

Отыскание решения системы по формуле (2) называется матричным способом решения системы.

Матричное равенство (2) запишем в виде

=

то есть

=

Отсюда следует, что х1 =

…

xn =

Но есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель 1 получается из определителя путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Итак,

Аналогично: где 2 получен из путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов;

Формулы

(i = 1, 2,…, n) (3)

называются формулами Крамера.

ТЕМА 6. Произвольная система линейных уравнений

(m уравнений с n неизвестными) Решение систем линейных уравнений Пусть дана произвольная система m линейных уравнений с n неизвестными

(1)

— основная матрица системы.

Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов Ответ на вопрос о совместности системы дает теорема Кронекера — Капели.

Теорема. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Правила практического разыскания всех решений совместной системы вытекают из следующих теорем.

Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Правило решения произвольной системы линейных уравнений

1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r (A) r (), то система несовместна.

2. Если r (A) = r () = r, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные n r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.

3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных.

Таким образом, можно найти частные решения исходной системы уравнений.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Пусть дана система уравнений (1). Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

a11×1 + a12×2 +…+a1kxk +…+a1nxn = b1,

a22×2 +…+a2kxk +…+a2nxn = b2, (2)

…

akkxk +…+aknxn = bk ,

где k n, aii 0, i =1,2,…, k. Коэффициенты аii называются главными элементами системы. Если в процессе приведения системы (1) к ступенчатому виду появляются нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0 = 0, их отбрасывают. Если же появляются уравнения вида 0 = bi, а bi 0, то это свидетельствует о несовместности системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы. В последнем уравнении системы (2) выражаем первое неизвестное хк через остальные неизвестные (хк+1,…, хn). Затем подставляем значение хк в предпоследнее уравнение системы и выражаем хк-1 через (хк+1,…, xn), затем находим хк-2,…, х1. Придавая свободным неизвестным (хк+1,…, xn) произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.

Замечания: 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. к =n, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим xn, из предпоследнего уравнения xn-1, далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (xn-2,…, x1).

На практике удобнее работать не системой (1), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент а11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на а11 1).

ТЕМА 7. n мерное векторное пространство Определение nмерного вектора

nмерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел х = (х1, х2,…, хn), где хi — i-я компонента вектора x (i = 1,…, n).

Векторы x = (х1,х2,…, хn) и y = (у1,у2,…, уn) равны, т. е. х = у, если xi = yi, (i = 1,2,…, n).

Произведением вектора х = (х1, х2,…, xn) на число называется вектор u = x, если ui = xi (i = 1,2,…, n).

Суммой двух векторов x = (х1,х2,…, хn) и y = (у1,у2,…, уn) называется вектор z = x + y, если zi =xi + yi (i = 1,2,…, n).

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1. x +y = y + x — коммутативное (переместительное) свойство суммы;

2. (x+y)+z=x + (y +z) -ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;

3. (x) = ()x — ассоциативное относительно числового множителя свойство;

4. (x+y)=x+y-дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;

5. (+)x = x + x — дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство.

Понятие n-мерного векторного пространства Векторным (линейным) пространством называется множество векторов (элементов) с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножение вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше свойствам (рассматриваемым как аксиомы).

Линейная зависимость и независимость векторов

1. Вектор аm называется линейной комбинацией векторов a1, a2,…, am-1, если am = 1a1 + 2a2 +…+m-1am-1,

где 1,2,…, m-1 какие-то числа.

2. Векторы a1, a2,…, am называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1,2,…, m, не равные одновременно нулю, что

1a1 + 2a2 +…+m-1am = 0. (1)

Если равенство (1) выполняется только при 1 = 2 =…= m = 0, то векторы a1, a2,…, am называются линейно независимыми.

3. Размерность пространства максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Базисом nмерного пространства называется совокупность n линейно независимых векторов.

Разложение вектора х по базису (e1,e2,…, en):

x =x1e1 + x2e2 + …+xnen,

где х1, х2,…, хn координаты вектора.

Евклидово пространство Евклидовым пространством называется линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определенным свойствам.

Скалярным произведением двух векторов x = (х1,х2,…, хn) и y = (у1,у2,…, уn) называется число

(x, y) =x1y1 +x2y2 +…+xnyn =

Скалярное произведение имеет свойства:

1. (х, у) =(у, х)

2. (x, y+z) = (y, x) + (x, z)

3. (x, y)= (x, y)

4. (x, x) 0, если х-ненулевой вектор; (х, х) = 0, если х — нулевой вектор.

Длиной (нормой) вектора х в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

Имеют место следующие свойства длины вектора:

1. х = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;

2. х =х, где действительное число;

3. (х, у) ху (неравенство Коши — Буняковского);

4. х +у х +у (неравенство треугольника).

ТЕМА 8. Линейные операторы Определение Если задан закон, по которому каждому вектору х пространства ставится в соответствие единственный вектор у пространства., то говорят, что задан оператор А (х), действующий из в: у = А (х). Рассматриваем случай, когда пространства и совпадают.

Оператор, А называется линейным, если для любых векторов х и у пространства и любого числа верны соотношения:

А (х + у) = А (х) +А (у),

А (х) = А (х).

Вектор у = А (х) называется образом вектора х, а сам вектор х прообразом вектора у .

Связь между вектором х, и его образом у = А (х) может быть представлена в виде: у = Ах, где, А матрица линейного оператора; х = (х1, х2,…, хn), у = (у1, у2,…, уn) векторы, записываемые в виде вектор-столбцов.

Действия над линейными операторами Сумма и произведение линейных операторов, а также произведение линейного оператора на число определяются равенствами:

Нулевым О (х) и тождественным Е (х) называются операторы, действующие по правилу: О (х) = 0, Е (х) = х.

Матрицы, А и линейного оператора в в базисах (e1, e2, …, en) и связаны соотношением:

где С матрица перехода от старого базиса к новому.

Собственные векторы и собственные значения оператора (матрицы)

1. Вектор х 0 называется собственным вектором линейного оператора (или матрицы А), если найдется такое число, что

(х) = х или Ах = х. (1)

Число называется собственным (характеристическим) значением (числом) оператора (или матрицы А), соответствующим вектору х.

Определение (1) может быть записано в виде:

(А Е) х = 0.

2. Характеристическим уравнением оператора (или матрицы А) называется уравнение:

где определитель, А Е называется характеристическим многочленом оператора (или матрицы А).

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

3. Матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов с собственными значениями 1, 2,…, n, является диагональной:

И обратно. Если матрица, А линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса собственные векторы оператора с собственными значениями 1, 2 …, n.

ТЕМА 9. Квадратичные формы Определение Квадратичной формой F, зависящей от n переменных x1, x2, …, xn называется функция вида

F = a11×12 + 2a12×1×2 + a22×22 + … + ann xn2 = ,

где aij = aji (i, j = 1, …, n) — вещественные числа.

Симметричная матрица A = (aij) (i, j = 1, …, n) называется матрицей квадратичной формы F .

Если переменные x1, x2, …, xn интерпретировать как координаты переменного вектора x в некотором ортонормированном базисе e1, e2, …, en n-мерного евклидова пространства, то матрица A есть матрица некоторого самосопряженного оператора в этом базисе. Тогда

aij xi xj = (x, x).

Действительно, пусть x =xi ei и его образ y = x. Тогда i-я координата образа yi = (x)i = aijxj. Подставляя это выражение в формулу для скалярного произведения в ортонормированном базисе, получим

(x, x) = xi yi = aij xi xj = F

Приведение квадратичной формы к каноническому виду Если рассматривать матрицу квадратичной формы как матрицу некоторого самосопряженного оператора, то, очевидно, ее вид будет зависеть от выбора базиса.

Базис, в котором квадратичная форма F имеет вид:

F = лi (xi')2 (1)

называется каноническим базисом, а выражение (1) —каноническим видом квадратичной формы.

У всякого самосопряженного оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов f1, f2, …, fn, соответствующих собственным значениям л1, л2, …, лn (среди которых могут быть равные). В этом базисе f1, f2, …, fn квадратичная форма относительно новых переменных x1', x2', …, xn' имеет канонический вид.

Замечание. Одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами, поэтому канонический вид определен неоднозначно.

Теорема. Квадратичную форму F = aij xi xj можно привести к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования координат.

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы.

Если Rg A = n, квадратичная форма называется невырожденной.

Если Rg A

Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденном линейном преобразовании базиса и равен а) количеству отличных от нуля коэффициентов в любом каноническом виде квадратичной формы;

б) количеству ненулевых собственных значений матрицы квадратичной формы с учетом их кратности.

Закон инерции квадратичных форм.

Число слагаемых с положительными и отрицательными коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы постоянно и не зависит от способа приведения формы к каноническому виду (т.е. от выбора собственного базиса).

ТЕМА 10. Векторы на плоскости и в пространстве

Основные понятия

Геометрическим вектором называется направленный отрезок, который можно перемещать параллельно ему самому.

Направленный отрезок с началом в точке A и концом в точке B обозначается. Векторы обозначаются также строчными латинскими буквами со стрелками, например, .

Длиной (или модулем) вектора называется расстояние между точками A и B. Модуль вектора обозначается символом. Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается символом .

Вектор, равный по длине вектору и противоположно направленный, называется противоположным и обозначается .

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора, называется ортом вектора .

Векторы, лежащие на параллельных или совпадающих прямых, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в параллельных или совпадающих плоскостях, называются компланарными. Если угол между векторами равен р/2, то векторы называются ортогональными.

Сложение векторов и умножение вектора на число

Суммой векторов и называется вектор = + с началом в точке A и концом в точке C (правило треугольника) (рис.1).

Произведением вектора и действительного числа б называется вектор б·, модуль которого равен |б|·, направление совпадает с направлением вектора при б> 0 и противоположно направлению вектора при б < 0 (рис.2).

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями.

Свойства линейных операций с векторами.

Для любых векторов, , и любых чисел б, в:

1.

2.

3. (- нулевой вектор)

4. (— противоположный вектор);

5.

6.

7.

Условие коллинеарности векторов: два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. существует число б? 0 такое, что

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое () и равное произведению их модулей и косинуса угла? между ними, т. е.

Свойства скалярного произведения векторов Для любых векторов и любых чисел б, в:

1.

2.

3.

4.

Из определения скалярного произведения следует, что угол между ненулевыми векторами определяется формулой

(1)

Из формулы (1) следует условие ортогональности векторов:

два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Если; то координаты перемножаемых векторов; орты координатных осей.

Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов называется вектор, который обозначается и удовлетворяет следующим трем условиям:

1., гдеугол между векторами ;

2.

3. Векторы образуют правую тройку, т. е. из конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден против часовой стрелки (рис.1).

Замечание. Это определение однозначно определяет векторное произведение ненулевых векторов. Если хотя бы один из сомножителей — нулевой вектор, то векторное произведение считается равным нулевому вектору.

Из определения векторного произведения следует, что для любого вектора .

Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Свойства векторного произведения векторов Для любых векторов и любых чисел б, в:

1. ;

2. ;

3. ;

Условие коллинеарности векторов: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е.

(нулевой вектор можно считать коллинеарным любому вектору).

Если заданы координаты перемножаемых векторов, то векторное произведение можно представить в виде:

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов называется число, обозначаемое и определяемое равенством т. е. векторное произведение двух векторов (или, что тоже самое) умножается скалярно на третий вектор (рис.1).

Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах, взятому со знаком «+», если тройка векторов — правая, и со знаком «?», если тройка векторов — левая.

Свойства смешанного произведения векторов

1. Условие компланарности векторов: три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

2.

3.

4. .

Если координаты векторов заданы, то смешанное произведение можно представить в виде:

Разложение вектора по базису. линейные операции в координатной форме

Тройка векторов называется базисом в трехмерном пространстве геометрических векторов V3, если любой вектор V3 может быть единственным образом представлен в виде где б, в, г — некоторые числа, называемые координатами вектора в базисе

.

Справедливы следующие утверждения:

В трехмерном пространстве V3 любая тройка некомпланарных векторов образует базис.

В двумерном пространстве V2 любая пара неколлинеарных векторов образует базис.

Из свойств линейных операций с векторами следуют утверждения:

В фиксированном базисе для любых векторов

имеем

;

Т.е. при сложении векторов их координаты складываются, при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Условие коллинеарности векторов в координатной форме: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

ТЕМА 11. Прямая линия на плоскости. Системы координат на плоскости: декартовы и полярные координаты

Декартова система координат на плоскости определяется некоторой ее точкой O и базисом из двух векторов, параллельных плоскости. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенные через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Они лежат в плоскости и называются осями абсцисс и ординат. Каждая ось координат является числовой осью с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора.

Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус-вектора) (см. рис. 1).

Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

На плоскости часто употребляется также полярная система координат (рис. 2).

Она определяется точкой O, называемой полюсом, и лучом, исходящим из полюса, называемым полярной осью. Полярными координатами с и точки M называются расстояние с от полюса до точки M (с = |OM|) и угол между полярной осью и вектором OM (рис. 2). Угол называется полярным углом, измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярные координаты точки O: с = 0, угол не определен. У остальных точек с > 0 и угол определен с точностью до 2р. Обычно полагают 0? < 2 р или? р <? р.

Если полюс совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, а полярная ось — с положительной частью оси абсцисс, то декартовы координаты x и y точки M выражаются через ее полярные координаты с и формулами

x = сcos y = сsin .

Полярные координаты с и точки M выражаются через ее декартовы координаты x и y формулами:

;; .

Прямая на плоскости

В декартовой системе координат на плоскости каждая прямая определяется уравнением 1-й степени и, обратно, каждое уравнение 1-й степени определяет прямую.

Уравнение вида Ax + By + Cz = 0 (A2 + B2? 0) называется общим уравнением прямой.

Угловым коэффициентом k прямой называется число k = tgб, где б — угол наклона прямой к оси OX (0? б < р).

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (b — ордината точки пересечения прямой с осью OY).

Уравнение прямой

называется уравнением прямой в отрезках (a — абсцисса точки пересечения прямой с осью OX, b — ордината точки пересечения прямой с осью OY).

Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2), имеет вид

.

Угол между прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2 определяется формулой:

Условие параллельности прямых: k1 = k2

Условие перпендикулярности прямых: k1k2 = ?1

ТЕМА 12. Кривые второго порядка

Окружность

Окружностью называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением

где R>0 — радиус окружности. Это уравнение называется каноническим уравнением окружности, а система координат, в которой окружность описывается каноническим уравнением, называется канонической. В канонической системе начало координат является центром окружности (рис. 1).

Уравнение

(x? a)2 + (y? b)2 = R2

определяет окружность радиуса R с центром в точке O'(a, b).

Эллипс

Эллипсом называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением:

где a>0, b>0 — параметры эллипса. Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса, а система координат, в которой эллипс описывается каноническим уравнением, называется канонической.

В канонической системе оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Следовательно, мы можем ограничиться исследованием функции

(1)

при x? 0, y? 0, т. е. рассматривать часть эллипса, лежащую в первой четверти, а затем полученную кривую отразить симметрично относительно осей координат.

Область определения функции (1): 0? x? a, область значений функции (1): 0? y? b, т. е. весь эллипс лежит внутри прямоугольника |x|? a, |y|? b. Вычислив производные y' и y'', легко убедиться в том, что функция (1) в интервале x (0, a) убывает от b до нуля и ее график является выпуклым вверх (рис.1).

Отразив полученный график функции (1) симметрично, относительно осей координат, получаем искомый эллипс (рис. 2):

Точки пересечения эллипса с осями координат (± a, 0) и (0, ± b) называются вершинами эллипса, а соответствующие отрезки a и b —полуосями эллипса. Пусть a>b. Положим:

.

Точки F1(?c, 0) и F2(c, 0) называются фокусами эллипса (если a

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами 2с к большой оси 2а:

(1, т.к. са).

В частном случае a = b = R (=0) эллипс является окружностью с уравнением

x2 + y2 = R2.

Гипербола

Гиперболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением:

,

где a>0, b>0 — параметры гиперболы. Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола описывается каноническим уравнением, называется канонической.

Заметим, что в канонической системе оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии. Следовательно, мы можем ограничиться исследованием функции:

(2)

при a? x< + ?, y? 0, т. е. рассматривать часть гиперболы, лежащую в первой четверти, а затем полученную кривую отразить симметрично относительно осей координат.

Область определения функции (2): a? x< + ?, область значений функции (2): 0? y< + ?. Вычислив производные y' и y'', легко убедиться в том, что функция (2) в интервале x (a, + ?) возрастает от нуля до +? и ее график является выпуклым вверх. Прямая y = bx/a является асимптотой гиперболы при x > +? (рис.1).

Отразив полученный график функции (2) симметрично, относительно осей координат, получаем искомую гиперболу (рис. 2)

Точки пересечения гиперболы с осью OX (± a, 0) называются вершинами гиперболы (с осью OY гипербола не пересекается), отрезки a и b —полуосями гиперболы (а-действительная, -мнимая). Положим

.

Точки F1(?c, 0) и F2(c, 0) называются фокусами гиперболы. = (1)эксцентриситет гиперболы.

Замечания. 1) Если а=в, то гипербола называется равносторонней. Ее уравнение принимает вид:

.

2) если фокусы гиперболы лежат на оси Оу, то уравнение гиперболы имеет вид

3) уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид:

где координаты центра гиперболы.

Парабола

Параболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением: