Формула полной вероятности

Пусть событие А может быть реализовано при условии осуществления одного из событий Н_ь Н₂,…, Н_п (назовем их гипотезами), которые образуют полную группу событий. Это означает, что события:

• 1) попарно несовместны: H_tHj = 0 при i A j;
• 2) в сумме образуют достоверное событие: Н_г + Н₂ + … + Н_п = Q. Теорема 2.2. Вероятность события, А при наличии гипотез вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе:

Представим событие Л в виде.

Так как гипотезы Н_ь Н₂, …, Н_п несовместны, то и произведения АН₁/Л₂, ЛН_П также несовместны. Применяя к ним формулу сложения несовместных событий, получим.

что и доказывает теорему. ?

Выведенная формула называется формулой полной вероятности.

Пример 2.6. Компания имеет три источника поставки комплектующих — фирмы Н_ь Н₂, Н₃. На долю фирмы Н₁ приходится 50% общего объема поставок, Н₂ — 30%, Н₃ — 20%. Из практики поставок известно, что среди поставляемых фирмой Нj деталей 10% бракованных, фирмой Н₂ — 5% и фирмой Н₃ — 6%. Какова вероятность, что взятая наугад деталь окажется годной?

Решение. Обозначим теми же буквами H_lt Н₂, Н₃ гипотезы, состоящие в том, что деталь поставлена фирмой Н_ь Н₂ или Н₃ соответственно. Тогда P (Hj) = 0,5, Р (Н₂) = 0,3, Р (Н₃) = 0,2. Имеем равенство.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Пусть событие А — появление годной детали. Условные вероятности получения годной детали от фирм равны соответственно По формуле полной вероятности получаем.

При решении подобных задач часто используют так называемое дерево вероятностей. Вероятности гипотез — основные ветви дерева, которые в свою очередь разветвляются на условные вероятности (рис. 2.4).

Рис. 2.4. К примеру 2.6.

Для нахождения вероятности события А вероятности, стоящие на одной ветви и ее продолжении, перемножаются, а полученные произведения складываются.

Формула Байеса (теорема гипотез)

Формула Байеса, или теорема гипотез, позволяет уточнить величину вероятности изучаемого нами события, принимая во внимание в добавление к уже имеющимся сведениям информацию, появившуюся в результате нового произошедшего события, связанного с изучаемым.

Пусть имеется полная группа несовместных событий (гипотез) Н_ь Н₂, …, Н_п. Вероятности этих событий до испытания известны и равны Р (Н_Х), Р (Н₂), …, Р (Н"). В результате испытания произошло некоторое событие А. Как следует изменить вероятности этих гипотез в связи с получением новой информации — появлением события А?

Теорема 2.3 (Байеса). Вероятность Р (Я, |А) гипотезы Н, при условии, что событие А произошло, связана с вероятностью P (H_t) этой гипотезы до испытания следующей зависимостью:

?Из теоремы умножения имеем Р (АЯ_;) = Р (А)Р (Н₍ | А) — Р (Н₍)Р (А |Я,), откуда.

Данную формулу называют формулой Байеса. Безусловную вероятность справедливости гипотезы Р (Я,) называют априорной, а условную Р (Я,|А) — с учетом факта произошедшего события — апостериорной.

Замечание 2.1. Выражая Р (А) с помощью формулы полной вероятности, имеем.

Замечание 2.2. Перепишем формулу в другом виде:

и рассмотрим ее физический смысл. Априорная вероятность Р (Я,) гипотезы Я, есть первоначальный уровень доверия предположению Я,. Апостериорная вероятность Р (Я,|А) гипотезы Я, при наступлении события, А — изменившийся уровень доверия после принятия во внимание новых обстоятельств. Коэффициент показывает, как событие.

А помогает изменить уровень доверия к предположению Я,. Таким образом, по формуле Байеса можно более точно пересчитать вероятность по результатам испытания, беря в расчет как ранее известную информацию, так и данные новых наблюдений.

Теорема Байеса названа в честь ее автора Томаса Байеса (1702— 1761). Он первый предложил использование теоремы для корректировки убеждений, основываясь на обновленных данных.

Пример 2.7. Ученые разработали метод предсказания землетрясений по предвестникам. В случае землетрясения его предвестники появлялись с вероятностью 0,80. Однако в 10% случаев, когда землетрясение не готовится, предвестники также могут возникнуть. Найти вероятность того, что произойдет землетрясение, если появились предвестники. Вероятность крупного землетрясения на Зелие, сопровождающегося разрушениями, составляет 0,03 сут.-¹.

Решение. Пусть событие А — выдан прогноз при наличии предвестников, Н] — землетрясение происходит, Н₂ — не происходит. Вероятность того, что будет выдан прогноз:

Уточненная вероятность того, что произойдет землетрясение, если был выдан прогноз, равна.

Таким образом, вероятность осуществления землетрясения при наличии прогноза примерно равна 0,2. В этом кроется одна из причин, по которым власти часто не предпринимают дорогостоящих мер защиты на сейсмоактивных территориях при выдаче учеными-сейсмологами прогноза землетрясения.