Прогнозирование среднего значения У

Пусть прогнозное значение x составляет 80% относительно максимального значения ():

Границы доверительного интервала прогноза:

Интервальный прогноз:

Нижняя граница прогноза.

Верхняя граница прогноза.

38,14 43,06.

Таким образом, с вероятностью 80% объем выпуска продукции (Y, млн. руб.) при ожидаемых объемах капиталовложений (X, млн. руб.), будет находиться в пределах от 38,14 млн руб. до 43,06 млн руб.

Представим графически модельные и фактические значения. Они изображены на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 — Модельные и фактические значения функции

Составление уравнений нелинейной регрессии.

Степенная модель: = a •.

Произведем логарифмирование данного уравнения:

Обозначим:

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения.

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализа модели (таблица 1.7).

Таблица 1.7 — Расчетные данные для построения степенной модели

t.	y.	x.	Y•X.	E=y;
			1,63.	1,52.	2,31.	2,48.	42,73.	0,27.	0,07.	0,63.
			1,43.	1,23.	1,51.	1,76.	27,6.	— 0,6.	0,36.	2,22.
			1,51.	1,36.	1,85.	2,05.	33,68.	— 1,68.	2,82.	5,25.
			1,46.	1,23.	1,51.	1,8.	27,6.	1,4.	1,96.	4,83.
			1,65.	1,56.	2,43.	2,57.	45,25.	— 0,25.	0,06.	0,56.
			1,54.	1,4.	1,96.	2,16.	35,58.	— 0,58.	0,34.	1,66.
			1,67.	1,59.	2,53.	2,66.	47,7.	— 0,7.	0,49.	1,49.
			1,51.	1,3.	1,69.	1,96.	30,72.	1,28.	1,64.
			1,34.	1,11.	1,23.	1,49.	23,13.	— 1,13.	1,28.	5,14.
			1,38.	1,08.	1,17.	1,49.	21,94.	2,06.	4,24.	8,58.
			15,12.	13,38.	18,19.	20,42.	335,93.	0,07.	13,26.	34,36.
ср.зн.	33,6.	23,5.	1,512.	1,338.	1,819.	2,042.

Вернемся к исходному уравнению через потенцирование:

Итак, составим уравнение степенной модели:

Рассчитаем индекс корреляции:

Можно считать, что связь между у и х весьма тесная и прямая.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Можно сказать, что вариация признака у на 98,0% объясняется вариацией признака х.

Коэффициент эластичности для степенной функции рассчитывается по формуле:

Таким образом, если увеличить объем капиталовложений на 1%, то объем выпуска продукции увеличится в среднем на 0,659%.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Т.к., то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения (отличаются от фактических значений (y) на 3,44%.

График фактических и модельных значений степенной функции представлен на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 — График фактических и модельных значений степенной функции.

Показательная модель:

Произведем логарифмирование данного уравнения:

Обозначим:

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения.

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализа модели (таблица 1.8).

Таблица 1.8 — Расчетные данные для построения и анализа показательной модели

Найдем параметры модели по формулам, используемым в первой (линейной) модели:

Составим уравнение показательной модели:

Рассчитаем индекс корреляции:

Можно считать, что связь между у и х весьма тесная и прямая.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Можно сказать, что вариация признака у на 96,2% объясняется вариацией признака х.

Коэффициент эластичности для показательной модели рассчитываем по формуле:

Таким образом, если увеличить объем капиталовложений на 1%, то объем выпуска продукции увеличится в среднем на 0,628%.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Т.к., то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения (отличаются от фактических значений (y) на 4,0%.

График фактических и модельных значений показательной функции представлен на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 — График фактических и модельных значений показательной функции.

Гиперболическая модель:

Обозначим: Х =.

Тогда уравнение примет вид линейного уравнения:

Составим таблицу исходных данных, а также расчетных данных, необходимых для построения и анализа модели (таблица 1.9).

Таблица 1.9 — Расчетные данные, необходимые для анализа гиперболической модели

t.	y.	x.	y•X.	E=y;
			0,03.	0,0009.	1,29.	41,88.	1,12.	1,25.	2,6.
			0,06.	0,0036.	1,62.	29,89.	— 2,89.	8,35.	10,7.
			0,04.	0,0016.	1,28.	36,34.	— 4,34.	18,84.	13,56.
			0,06.	0,0036.	1,74.	29,89.	— 0,89.	0,79.	3,07.
			0,03.	0,0009.	1,35.	42,95.	2,05.	4,2.	4,56.
			0,04.	0,0016.	1,4.	37,81.	— 2,81.	7,9.	8,03.
			0,03.	0,0009.	1,41.	43,84.	3,16.	9,99.	6,72.
			0,05.	0,0025.	1,6.	33,6.	— 1,6.	2,56.	5,00.
			0,08.	0,0064.	1,76.	22,28.	— 0,28.	0,08.	1,27.
			0,08.	0,0064.	1,92.	19,58.	4,42.	19,54.	18,42.
сумма.			0,5.	0,0284.	15,37.	338,06.	— 2,06.	73,5.	73,93.
ср.зн.	33,6.	23,5.	0,05.	0,284.	1,537.

Найдем параметры модели по формулам, используемым в первой (линейной) модели:

Составим уравнение гиперболической модели:

Рассчитаем индекс корреляции:

Можно считать, что связь между у и х весьма тесная.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Можно сказать, что вариация признака у на 89,5% объясняется вариацией признака х.

Оценим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера:

Т.к., то с вероятностью 95% данное уравнение регрессии значимо.

Рассчитаем среднюю относительную ошибку:

В среднем расчетные значения (отличаются от фактических значений (y) на 7,93%.

График фактических и модельных значений гиперболической функции представлен на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 — График фактических и модельных значений гиперболической функции.

Сравнение моделей. Сравним построенные модели по рассчитанным коэффициентам. Результаты сравнения представлены в таблице 1.10.

Таблица 1.10 — Сравнение моделей

	Индекс корреляции. r	Коэффициент детерминации.	F-критерий Фишера,. F	Сред. Относит. Ошибка.
Линейная.	0,991.	0,982.	436,44.	3,2.
Степенная.	0,990.	0,980.	392,0.	3,44.
Показательная.	0,981.	0,962.	202,53.	4,00.
Гиперболическая.	0,946.	0,895.	68,19.	7,93.

По данной таблице можно сделать вывод что, наилучшей является линейная модель, т.к. у нее наибольший коэффициент детерминации и наименьшая средняя относительная ошибка аппроксимации. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.