Дискретные случайные величины

В результате освоения материала данной главы студент должен: знать

• • основные понятия двумерных дискретных величин;
• • особенности стохастической зависимости;
• • ковариацию и корреляцию и их свойства;
• • приложения ковариации и корреляции в экономике; уметь
• • вычислять корреляцию и ковариацию случайных величин;
• • применять теоретические знания к вопросам хеджирования и оптимизации в экономике;

владеть

• • приемами расчета ковариационных матриц;
• • методами решения задач страхования и оптимизации .

Двумерные дискретные случайные величины

Пусть на дискретном вероятностном пространстве Q (cOy), где i = 1, 2, n;j = 1, 2, т, заданы две случайные величины ^ = {х_ь х₂, *"}.

и — {УъУ₂> •••>У_тЬ Упорядоченная пара Z, = (?_1} ?₂) называется двумерным случайным вектором, или двумерной случайной величиной.

Любое соотношение между возможными значениями (х" у_;) случайного вектора Е, = (q_u с,₂) и их вероятностями р_у— называется совместным законом распределения. Его удобно задать в виде таблицы.

Каждой паре значений (х_;, yj) соответствует вероятность р_п = Р (?,_х = = х,-, = yj), стоящая в таблице на пересечении соответствующих

столбца и строки. Последние столбец и строка в таблице получаются сложением вероятностей в соответствующих строках или столбцах. В ячейке, стоящей, например, на пересечении столбца Р^ со строкой х_; записана вероятность Р (^ = х,) = р_п + p_i2 + … + p_im. Но Р (^ = х_;) представляет собой вероятность случайной величине принять значение х, независимо от значений случайной величины Ъ,₂-

Соотношение между возможными значениями х, где i = 1, 2, …, п, случайной величины Ъ,_г и вероятностями Р (?_х =х,) называется частным законом распределения случайной величины Ъ,_х. Аналогично набор вероятностей Р(^₂ ⁼Yj), где) = 1, 2,…, т, вместе со значениями^ называется частным законом распределения случайной величины ₂. Очевидно, что суммы вероятностей последнего столбца и последней строки должны быть равны единице.

Случайные величины ^ и Е,₂ называются независимыми, если для любых пар (х" yj) выполняется условие

Пример 5.1. Совместный закон распределения случайных величин ^ и с,₂ задан с помощью таблицы. Вычислить частные законы распределения случайных величин и ?₂. Определить, являются ли случайные величины и ?,₂ зависимыми. Вычислить вероятность Р (^ + q₂ < 0).

Решение. Частные распределения для ^ и с,₂ получаются суммированием соответственно по строкам и столбцам:

Для определения зависимости случайных величин следует вычислить все произведения Р (?_г =х,)Р (^₂ =У_;) и сравнить их со значениями вероятностей р^- в соответствующих клетках. В случае несовпадения чисел хотя бы для одной ячейки случайные величины и ?₂ зависимы. Например, в ячейке для значений ^ = 0, ₂ ~ «1 стоит вероятность р_и = р (?_г = 0, ^₂ = -1) = —. Произведение

• 8
• 13 3

p (?i = 0) р (%₂ = -1) =—— —. Следовательно, случайные величины зависимы.

2 8 16.

Вероятность Р (?_а + ₂ < 0) вычисляется, как сумма вероятностей, стоящих в тех клетках, для которых выполнено условие ?_а + ?₂ < 0. Имеем р_п + р₂₁ = 1 2 3.

~ 8 ⁺ 8 ^_ 8.

Замечание 5.1. Понятие зависимости в теории вероятностей в отличие от математического анализа имеет более широкое значение. В математическом анализе две величины считаются зависимыми, если, зная значение одной из них, можно определить значение другой (так называемая функциональная зависимость). В теории вероятностей мы встречаемся с новым типом зависимости — со стохастической зависимостью.

Как пример, рассмотрим рост и вес случайно взятого человека. Эти случайные величины находятся в стохастической зависимости. Люди с большим ростом имеют вероятнее больший вес. Но какую бы общую формулу связи между ростом и весом мы не нашли, как правило, подстановка в нее значения измеренного роста отдельного человека не даст того значения веса, которое мы получим, взвесив этого человека.

Если случайные величины находятся в стохастической зависимости, то с изменением одной из них другая не изменяется строго определенным образом, например растет, а всего лишь имеет к этому тенденцию, т. е. принимает случайные значения, из которых можно заключить, что, в общем, да, растет. Случайные величины могут иметь разную природу. На обе случайные величины может влиять множество разных факторов, под действием которых в случае зависимости они имеют тенденции синхронно или с определенным временным лагом меняться. Говорят о существующей связи между поведением случайных величин. По мере увеличения связи между ними зависимость будет приближаться к своему предельному случаю — функциональной зависимости. Вычисление размера связи позволяет решать многие экономические задачи, например проблемы прогнозирования. Так, существует реальная возможность предсказывать поведение одного изучаемого случайного параметра на основе анализа поведения другого.

Перейдем к изучению количественной связи между случайными величинами, находящимися в стохастической зависимости.