Вопросы и задания для повторения

• 1. Что называется функцией распределения двумерной непрерывной случайной величины?
• 2. Указать свойства функции распределения.
• 3. Каков вероятностный смысл совместной плотности распределения?
• 4. Перечислить свойства совместной плотности распределения.
• 5. Что называется начальным и центральным моментами случайного вектора?
• 6. Сформулировать условный закон распределения для дискретного и непрерывного типов распределения.
• 7. Дать определение условного математического ожидания для дискретного и непрерывного типов распределения.
• 8. Перечислить свойства условного математического ожидания.
• 9. Что характеризует функция регрессии?

Примеры решения задач

Задача 7.1. Случайный вектор (^, г|) равномерно распределен на множестве {(х, у): 0 <�х < 1, 0 <�у < 2 }. Найти плотности р^(х) и р_п(у) случайных величин Ъ, и г|, математические ожидания М?, Мг, М (?г|), дисперсии DL, Dr|, cov (^, Г|). Исследовать вопрос о зависимости случайных величин.

Решение. Совместная плотность двух равномерно распределенных случайных величин имеет вид.

Частные плотности р^(х) и р_л(у) можно найти, взяв интегралы.

+00 +эс.

Pi,^x, y) dy и lp^(x, y) dx:

— оо —X.

Математические ожидания:

Дисперсии:

Ковариация может быть найдена по выведенной ранее формуле:

Случайные величины независимы, поскольку выполняется равенство р^ _п(х, у) = pjU) p,(y).

Задача 7.2. Найти вероятность того, что зависимые случайные величины ~ JV (1, 4) и Ь,₂ ~ N (2, 9) с коэффициентом корреляции г, принимающим различные значения, примут значения 4i < 1, В,₂ ^< 2.

Решение. Вероятность такого события равна двойному интегралу по области D — {лг_х е (—оо; 1), х₂ е (-⁰⁰; 2)}:

Расчет, проведенный для разных коэффициентов корреляции, приведен в таблице.

При г = 0 (случайные величины независимы) вероятность случайным величинам оказаться меньше своих математических ожиданий равна 0,250, что очевидно. С ростом стохастической зависимости между ними вероятность растет, приближаясь к величине 0,5. Это ожидаемый результат, поскольку случайные величины начинают действовать как одна случайная величина, для которой разыскивается вероятность Р (^ < Му. На рис. 7.5 по данным задачи для двух случайных величин приведена зависимость от коэффициента корреляции совместной вероятности того, что каждая из них меньше своего математического ожидания. При r (?j, ?₂) ~ 0,7 линейная зависимость Р (^ < МЪ,_Ь

< М^₂) ~ 0,167 г (^_1; ?₂) преобразуется в показательную вида 1.

Р (^<�М^Д₂<�М^₂)~_е 1-г².

Задача 7.3. Случайный вектор (^, р) имеет совместную плотность распределения, равную.

Рис. 7.5. Зависимость вероятности от коэффициента корреляции для двух случайных нормально распределенных случайных величин

Найти частные плотности распределения р^Сх) и р_п(у), условные плотности распределения p^Uly) и р_п^(у |х), функции регрессии с|ь_|Г|(у) и ср_Л|?(х), условные функции распределения Л|_П(х|у) и Р_Л|;(у|х). Решение. Имеем.

при 0 <�у < 1.

Убедимся, что (х) и р_п(у) представляют собой плотности:

Найдем условные плотности:

Перейдем к функциям регрессии:

Графики функций регрессии (p^_n(y) и ф_п!?(х) приведены на рис. 7.6 и 7.7.

Рис. 7.6. Функция регрессии фя,(у).

Рис. 7.7. Функция регрессии «р^М.

Найдем условные функции распределения:

Графики условных функций распределения F^_n(y|y) и F_n^(y |х) при разных значениях стоящей в условии случайной величины приведены на рис. 7.8 и 7.9.

Рис. 7.8. Условная функция распределения F=|,(x|y) при разных значениях ц.

Рис. 7.9. Условная функция распределения F_n|^(y|x) при разных значениях %.