Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО АЛГЕБРЕ

«Олимпиадные задачи по математике за 8−9 классы»

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ШКОЛЬНЫЕ ОЛИМПИАДЫ 8−9 КЛАССОВ

1.1 Числовые ребусы

1.2 Восстановление цифр натуральных чисел

1.3 Четное и нечетное число

1.4 Признаки делимости

1.5 Деление с остатком

1.6 Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

1.7 Простые и составные числа

1.8 Степень с натуральным показателем

1.9 Уравнения первой степени с двумя неизвестными в целых числах

1.10 Уравнения второй степени с двумя неизвестными в целых числах

1.11 Уравнения с несколькими неизвестными в натуральных числах

1.12 Неравенства в целых числах ГЛАВА 2. РАЙОННЫЕ ОЛИМПИАДЫ

2.1 Принцип Дирихле. Принцип крайнего

2.2 Инварианты и раскраски

2.3 Графы

2.4 Игры. Стратегии

2.5 Логические задачи

2.6 Элементы комбинаторики

2.7 Многочлены

2.8 Тождественные преобразования. Преобразования выражений

2.9 Функции

2.10 Планиметрия

2.11 Уравнения

2.12 Неравенства ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ математика задача олимпиада уравнение число

Олимпиады возникли в Древней Греции как состязания в ловкости, силе, красоте. Первая олимпиада состоялась 776 г. до н. э. Олимпиады проводились в Олимпии один раз в четыре года вплоть до 394 г. н. э., когда были запрещены в связи с распространением христианства. Вновь олимпиады возродились в 1896 г.

Различного рода состязания проводились не только в спорте. Хорошо известна любовь к состязаниям в решении задач как на Руси, так и во многих других странах мира. Математические соревнования по решению задач также называются олимпиадами, хотя они проводятся в настоящее время с периодом не в четыре года, а, как правило, ежегодно.

В России конкурсы по решению задач начали проводиться с 1886 г., в Венгрии и Румынии—с 1894 г., а в других странах значительно позже (в Беларуси — с 1950 г).

Развивающий потенциал олимпиадных задач неисчерпаем.

Несомненна польза занимательных заданий для того, чтобы сделать даже обычные уроки нескучными, душевно комфортными и при этом чрезвычайно насыщенными и эффективными. Бесспорна роль олимпиад в раскрытии творческого потенциала участника, в расширении его кругозора, развитии интереса к изучению предмета, в выявлении одаренных, творчески мыслящих учащихся.

Само словосочетание «одаренный ребенок» вызывает улыбку. В настоящее время ни у кого не вызывает сомнений важности и необходимости работы с одаренными детьми. Будущее страны зависит не столько от ее политических лидеров, сколько от наличия в данном обществе критической массы талантливых и одаренных людей, которые своей деятельностью обеспечивают общественный прогресс.

Хочется верить, что особая энергетика математических олимпиад всегда будет привлекать достаточное количество желающих в них участвовать. И любая квалифицированная помощь в этом направлении будет актуальна.

Решать самостоятельно и изучать решения других… Видимо, наивно полагать, что кто-то когда-то где-то даст окончательный универсальный рецепт решения любых олимпиадных нестандартных заданий. Если бы это произошло, само сочетание «нестандартная задача» потеряло бы смысл.

Говорить о методике подготовки к участию в олимпиадных соревнованиях можно только на основе обобщения собственного конкретного опыта, подкрепленного достаточно весомыми реальными результатами.

Решение олимпиадных задач служит хорошей подготовкой к будущей научной деятельности, заостряет интеллект. Роль олимпиад становится все более значимой.

Особенность олимпиадных задач состоит в том, что для их решения не требуется никаких знаний, выходящих за рамки школьной программы. Конечно, это верно лишь в некотором приближении — такие «нешкольные» методы, как принцип математической индукции, уже давно не смущают составителей вариантов. Но если олимпиадные задачи не требуют специальных знаний, то что же тогда отличает олимпиаду по математике от соревнования по разгадыванию головоломок? Наше убеждение состоит в том, что, в отличие от головоломок, хорошие математические задачи глубоко связаны с важными разделами современной математики, иллюстрируют основополагающие математические принципы.

Нестандартные задачи могут быть побочными результатами математических исследований на переднем крае современной науки. В этом отношении составителям задач работать значительно проще, чем тем, кто отваживается на поиск решения. Более того, некоторые признанные сегодня педагогические авторитеты просто принципиально не возьмутся за решение нестандартных задач, считая для себя это занятие пустой тратой времени. И каждый из них будет по-своему прав. Ведь на самом деле на блестящее, всесторонне безупречное решение иной нестандартной задачи может уйти довольно много времени, а никакого нового знания и умения лично для них такое решение не принесет. Но тот, кто берется за подготовку учащихся, должен, по крайней мере, иметь в своем арсенале такие задачи собственного решения, которыми он мог бы гордиться.

С точки зрения вышесказанного, возможно, умеющим решать олимпиадные задания можно назвать того, кто этим заниматься достаточно регулярно, имеет опыт самостоятельного решения некоторых из них и большое желание решить еще хотя бы несколько. Как отмечал Джордж Пойа, нет ничего ценнее собственного опыта решений.

Представляется возможность выделить семь основных взаимосвязанных факторов, способствующих успешному решению задач:

· объем фактических знаний;

· развитые воображение, фантазия, интуиция;

· опыт самостоятельных решений;

· навыки владения основными математическими операциями;

· знание основных классов нестандартных задач;

· постоянное совершенствование логических навыков;

· умение изучать, понимать и оценивать решения, предлагаемые другими.

Способность долго думать над задачей — одно из главных условий успешной работы в математике. В этой науке можно освоится, только если сам процесс учения, в частности решение задач, может доставить радость, несмотря на трудности и неудачи.

ГЛАВА 1. ШКОЛЬНЫЕ ОЛИМПИАДЫ 8−9 КЛАССОВ

1.1 ЧИСЛОВЫЕ РЕБУСЫ

Задачи на числовые ребусы—это те же знакомые вам задачи на восстановление записи при выполнении действий над натуральными числами, только цифры обозначаются не звездочками, а буквами. При этом добавляется важное условие: в одной и той же задаче одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы—разные цифры. Причем первая цифра каждого числа должна быть отлична от нуля. Если задача имеет не один ответ, требуется найти их все.

Пример 1:

Решить ребус:

Присмотримся к последнему столбцу: в нем стоит одна и та же цифра А. Чему же она равна? Только нулю.

А теперь обратим внимание на второй столбец: в нем аналогичное положение с цифрой О. Отсюда О равна нулю или 9. Но первая возможность отпадает; остается О = 9.

Для нахождения К рассмотрим первый столбец. Очевидно, К отлична от нуля и не превосходит 4. Тогда К принимает одно из значений 1, 2, 3, 4. Разберем четыре случая.

1) Пусть К =1.

Получаем, что в третьем столбце Л = 9, поскольку во втором столбце должно быть 9 + 9 + 1 = 19. Но тогда Д = 0, а это невозможно.

2) Пусть К = 2.

Подставим в ребус значения К = 2, А = О, О = 9.

Из третьего столбца 2 + Л=10 + Д, Л = 8 + Д.

Отсюда Д = 0 или Д = 1, соответственно Л = 8 или Л = 9. Но обе эти возможности исключаются.

3) Пусть К = 3.

Получаем:

Тогда 3 + Л=10 + Д, Л = 7 + Д, а значит, Д = 1, Л = 8. Кроме того, В = 7.

4) Пусть К = 4.

Следовательно, В = 9. Но последнее невозможно.

Итак, решение получается только в третьем случае.

Ответ:

3930 + 3980 = 7910

Пример 2.

Восстановите запись: АВ•АВ = АСС.

Давайте подумаем: когда произведение АВ * АВ начинается той же цифрой А, что и число АВ? Это возможно только при, А = 1.

А когда такое произведение оканчивается двумя одинаковыми цифрами? Это возможно в двух случаях: 10•10=100, 12•12=144.

Но первый вариант отпадает, так как тогда В = С = 0, а разные буквы должны обозначать разные цифры.

Ответ:

12•12= 144

Задачи

1.Восстановите записи:

Ответ:

а) 90 909+10101=101 010 б) 8126+8126=16 252

2.Ребус не имеет решения. Почему?

Ответ:

Всего различных цифр—10 (от 0 до 9), а в ребусе их 11

3.Решить числовой ребус

**5

1**

2**5

+13*0

***

4*77*

Ответ:

325*147=47 775

4.Решите ребусы Ответ:

а) 6823+6823=13 646 б) 18 969+18969=37 938 в) 649 750*3=1 949 250

5.Рассмотрим запись

Из какого наименьшего количества елок может состоять ЛЕСОК?

(Буквы Е и Ё обозначают одну и ту же цифру) Ответ:

Из трех

6.Восстановить запись: ТОРГ•Г=ГРОТ Ответ:

1089*9=9801

7.Решите ребус: СИ•СИ=СОЛЬ Ответ:

98*98=9604

8.Решите ребусы: а) СИГ²=СЕМГА б) СОМ²=ОГОГО Ответ:

а) 128²=16 384 б) 264²=69 696

9.Восстановите запись: ААА^А=********

Ответ:

333³=36 926 037

10.Решите ребусы: а) ЯП^О=НИЯ б) И^Н=ДИЯ в) С^О=РОКА Ответ:

а) 19²=361 б) 2⁷=128 в) 7⁴=2401

11.Решите ребус:

Ответ:

12.Число КУБ является кубом натурального числа, а число БУК простое. Какие это числа, если одинаковые буквы означают одинаковые цифры, а разные буквы—разные цифры?

Ответ:

125 и 521

13.Восстановить зашифрованные цифры: ТР^И=ИКС Ответ:

17²=289

14.Заменить буквы цифрами так, чтобы равенство БЕСЫ=(Б+Е+С+Ы)⁴ оказалось верным.

Ответ:

Б=2, Е=4, С=0, Ы=1

15. Решить ребусы:

а) АВ•А=ССС б) А•В•АВ=ВВВ в) АА•АВС•ВС=АВСАВС

Ответ:

а) 37•3=111 б) 3•7•37=777 в) 77•713•13=713 713

1.2 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЦИФР НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Здесь мы встретимся с задачами на арифметические действия над натуральными числами, где часть цифр чисел известна, а большая часть нет. Будем обозначать неизвестные цифры звездочками. Нужно найти все цифры, обозначенные звездочками; если ответов несколько, то требуется найти их все.

Любопытно проследить, как в задаче, где порой известны две-три, а то и одна цифра, а неизвестных цифр много, удается найти эти цифры — почти из ничего получить все.

В задачах этой темы предполагается, что первая цифра каждого числа отлична от нуля.

Пример 1.

Восстановить запись:

Сначала найдем вторую цифру делителя. Так как она при умножении на 7 дает число, оканчивающееся на 8, то эта цифра равна 4.

А чему равна первая цифра делителя? Очевидно, 1 или 2. Если первая цифра делителя 1, то 14 при умножении на 7 дает двузначное число 98, а должно давать трехзначное число. Значит, этот случай невозможен.

Пусть первая цифра делителя равна 2. Найдем первую цифру частного. Она равна 1, поскольку 24 при умножении на эту цифру дает число 2*. Наконец, делимое легко найти, умножая делитель 24 на частное 17.

Ответ:

408: 24 = 17

Пример 2.

Найдите неизвестные цифры в записи:

Первая цифра суммы может быть равна только 1. Тогда первая цифра второго слагаемого — 9. Отсюда первая цифра второго множителя равна 5, а следовательно, второе слагаемое — 95. Тогда первая цифра первого слагаемого равна 5. Поэтому вторая цифра второго множителя равна 3.

Ответ: 19•53 =1007.

Задачи:

1.Восстановите записи:

Ответ:

а) 97•11=1067 б) 23•34=782 в) 58•91=5278 г) 19•59=1121

2.Восстановите запись:

Ответ:

120•98=11 760 или 115•98=11 270

3.Восстановите запись:

Ответ:

а) 124•97=12 028 б) 19•53=1007 в) 505•101=51 005

4.Восстановите пример на умножение натуральных чисел, если известно, что сумма цифр у обоих сомножителей одинакова.

Ответ:

2231•26=58 006

5. Можно ли какие-либо десять чисел расставить в кружки данной фигуры так, чтобы сумма чисел в вершинах любого черного треугольника была равна 1996, а сумма чисел в вершинах любого белого треугольника была равна 1997?

Ответ:

Нельзя

6.Восстановите записи:

а) *1* б) **3

3*2 **3

*3* 3**

+3*2* +*3*

*2*5 **3

1*8*3* *****

Ответ:

а) 415•382=158 530 б) 113•133=15 029

7.Восстановить запись: *3•3*=3**

Ответ:

13•30=390

8.Восстановить запись **

**

** *1_

****

Ответ:

91•11=1001 или 13•77=1001

9.Восстановить запись 91•**=***

Ответ:

91•10=910

10.Восстановить записи: а) **•*-*=1 б) ***•9=***

Ответ:

а) 10•1−9=1 б) 101•9=909, 111•9=999

11.Сколько всех решений имеет задача ***•9=*** ?

Ответ:

12.В примере на умножение допущена ошибка. Откуда это видно?

Ответ:

Вторая цифра второго множителя ровна 9, но его первая цифра должна быть больше 9, а это невозможно

13.Восстановить запись Ответ:

11 868:12=989

14.На какое наименьшее натуральное число нужно умножить число 7 для того, чтобы получить число, записывающимися одними девятками.

Ответ:

На 142 857

15.На какое наименьшее натуральное число нужно умножить число 12 345 679 для того, чтобы получить число, состоящее из одних пятерок.

Ответ:

1.3 ЧЕТНОЕ И НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО

Обычно четные и нечетные числа связывают только с натуральными числами. Здесь мы распространим их на любые целые числа.

Целое число называется четным, если оно делится на 2, и нечетным, если оно на 2 не делится.

Например, число 6 — четное, число 0 — четное, 5 — нечетное, число —1 — тоже.

Любое четное число можно представить в виде 2а, а любое нечетное — в виде 2а + 1 (или 2а — 1), где число, а — целое.

Два целых числа называются числами одинаковой четности, если оба они четные или оба нечетные. Два целых числа называются числами разной четности, если одно из них четное, а другое нечетное.

Рассмотрим свойства четных и нечетных чисел, важные для решения задач.

1. Если хотя бы один множитель произведения двух (или нескольких) чисел четен, то и все произведение четно.

2. Если каждый множитель произведения двух (или нескольких) чисел нечетен, то и все произведение нечетно.

3. Сумма любого количества четных чисел — число четное.

4. Сумма четного и нечетного чисел — число нечетное.

5. Сумма любого количества нечетных чисел — число четное, если число слагаемых четно, и нечетное, если число слагаемых нечетно.

Пример

В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?

Обозначим число жителей на этажах соответственно через a₁, a₂, a₃, а₄, a₅, a число жителей в подъездах соответственно через b₁, b₂, b₃, b₄. Тогда общее число жителей дома можно подсчитать двумя способами — по этажам и по подъездам: а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + а₅ = b₁ + b₂+ b₃ + b₄.

Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части — четной. Следовательно, это невозможно.

Ответ: не могут

Задачи

1.Можно ли число 1 представить в виде суммы + + +, где a, b, c, d—натуральные числа?

Ответ:

Нельзя

2.Найдите все целые p и q при которых трехчлен f(x)=x²+px+q принимает при всех целых х: а) четные б) нечетные значения.

Ответ:

а) p нечетно q четно б) p и q нечетно

3. Дано 125 чисел, каждое из которых равно 1 или 3. Можно ли их разбить на

две группы так, чтобы суммы чисел, входящих в каждую группу, были равны?

Ответ:

Нельз

4.Страницы книги пронумерованы подряд, от первой до последней. Гриша вырвал из разных мест книги 15 листов и сложил номера всех 30 вырванных страниц. У него получилось число 800. Когда он сказал об этом Мише, тот заявил, что Гриша при подсчете ошибся. Почему Миша прав?

Ответ:

Сумма номеров всех страниц нечетна

5.По кругу сцепили несколько шестеренок. Смогут ли они одновременно

вращаться, если их: а) 5; б) 6?

Ответ:

а) не смогут б) смогут

6. В шести коробках лежат шарики: в первой — 1, во второй — 2, в третьей — 3, в четвертой — 4, в пятой — 5, в шестой — 6. За один ход разрешается в любые две коробки прибавить по одному шарику. Можно ли за несколько ходов уравнять количество шариков во всех коробках?

Ответ:

Нельзя

7.Числа a и b нечетные. Каким будет число a²+b+1?

Ответ:

Нечетное

8.Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1 м). Докажите, что он сделал четное число прыжков.

Ответ:

Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку, количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков четно.

9.Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз?

Ответ:

Не существует

10.Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы от 1 до 192. Его младший брат вырвал из тетради все листы и разбросал по комнате. Петя подобрал наугад с пола 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2006?

Ответ:

Нет

11.Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры четны?

Ответ:

12. Можно ли разменять 125 рублей при помощи 50 купюр достоинствами 1, 3, и 5 рублей?

Ответ:

Нельзя

13.Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?

Ответ:

Нет

14. Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограмм?

Ответ:

Нельзя

15. Сумма нескольких последовательных четных чисел ровна 100. Найти эти числа.

Ответ:

22+24+26+28=100, 16+18+20+22+24=100

1.4 ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

Вспомним известное из школьного курса математики определение: говорят, что целое число, а делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число m, что, а = bm.

Число, а называется делимым, число b — делителем, число m — частным. В этом случае говорят также, что число, а кратно числу b. Тот факт, что число, а делится на число b, будем обозначать так: аb.

А теперь вспомним признаки делимости натуральных чисел:

— делимость натурального числа на 2 равносильна тому, что его последняя цифра четная;

— делимость натурального числа на 5равносильна тому, что его последняя цифра — 0 или 5;

— делимость натурального числа на 10 равносильна тому, что оно оканчивается цифрой 0;

— делимость натурального числа на 25 равносильна делимости на 25 числа, образованного двумя его последними цифрами;

— остаток от деления натурального числа на 3 (на 9) совпадает с остатком от деления суммы его цифр на 3 (на 9);

— делимость натурального числа на 4равносильна делимости на 4 числа, образованного двумя его последними цифрами;

— делимость натурального числа на 8равносильна делимости на 8 числа, образованного тремя его последними цифрами;

— делимость натурального числа на 11 равносильна делимости на 11 разности между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах (другими словами, делимости на 11 знакочередующейся суммы всех его цифр).

Пример

К числу 43 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное четырехзначное число делилось на 45. Найдите все решения.

Обозначим неизвестные цифры через, а и b. Тогда четырехзначное число можно записать в виде.

По признаку делимости на 5 b = 0 или b = 5. Рассмотрим оба случая.

1) Пусть 6 = 0. Полученное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, равная, а + 7, делится на 9. Отсюда, а =2.

2) Пусть b = 5. Аналогично находим, что, а = 6.

Ответ:

четырехзначное число равно 2430 или 6435

Задачи

1.Найдите все значения цифр, обозначенных звездочками, если число 4•8•2 делится на 88.

Ответ:

0,3 или 7,7

2.Найдите все значения цифр х и у, при которых число делится на 198.

Ответ:

х=1, у=0

3.Из натурального числа вычли сумму его цифр, а затем у полученной разности вычеркнули одну цифру. Сумма оставшихся цифр разности равна 131. Какую цифру вычеркнули?

Ответ:

4. У трехзначного числа, делящегося на 45, разность между второй и первой цифрами равна разности между третьей и второй. Найдите все такие трехзначные числа.

Ответ:

135, 630 или 765

5.Найдите все трехзначные числа, делящиеся на 11, у которых сумма цифр делится на 11.

Ответ:

209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902

6.Найдите все значения цифр, а и b, при которых число делится на 99.

Ответ:

a=9, b=4

7.Найдите все значения цифры а, если число делится на 11.

Ответ: 4

8.Найдите наименьшее натуральное число, которое записывается одинаковыми цифрами и делится на 18.

Ответ:

9.Найдите наименьшее натуральное число, которое записывается

одинаковыми цифрами и делится на: а) 72, б) 693.

Ответ:

а) 888 888 888 б) 333 333

10.Пятизначное число делится на 72, причем три его цифры — единицы.

Найдите все такие числа.

Ответ:

41 112, 14 112, 11 016, 11 160

11.Пятизначное число делится на 315, причем три его цифры — четверки.

Найдите все такие числа.

Ответ:

12.Найдите значения х и у в числе 12×3у4, если оно кратно 599.

Ответ:

х=9, у=8

13.Какие две цифры можно приписать к числу 1313 справа, чтобы полученное шестизначное число делилось на 53?

Ответ:

5, 4 или 8, 7

14.Найти наименьшее натуральное число вида n³+3n²-4, делящееся на 19.

Ответ:

19²•16=5776

15.Сколько существует двузначных чисел, делящихся на произведение своих цифр?

Ответ:

5 чисел: 11, 12, 24, 36, 15

1.5 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ

При решении многих задач на делимость деление с остатком используется часто.

Теорема о делении с остатком читается следующим образом.

Для любых натуральных чисел, а и b существует, и притом единственная, такая пара целых неотрицательных чисел q и r, где r(1)

При этом число, а называется делимым, b — делителем, q — частным (неполным частным), г — остатком.

В случае, когда натуральное число a делится на натуральное число b:

a = bq (qN), (2) можно считать, что получилось равенство вида (1), когда г = 0, т. е. равенство (2) — частный случай равенства (1).

Сформулируем равенство (1) словами: делимое равно произведению делителя на частное, сложенному с остатком.

Пример 1.

Найдите все натуральные числа, при делении которых на 6 в частном получится то же число, что и в остатке.

Обозначим искомое число через а, частное и одновременно остаток через q. Тогда, а = 6q + q = 7q.

Казалось бы, ответом являются все натуральные числа, делящиеся на 7. Однако это не так, поскольку остаток q должен удовлетворять неравенству

0 < q < 6. Полагая q = 1, 2, 3, 4 и 5, находим все возможные значения а.

Ответ:

7, 14,21,28,35

Пример 2.

Докажите, что два различных натуральных числа при делении на их

разность дают одинаковые остатки.

Обозначим эти числа через, а и b, где, а > b. Тогда

a = (a-b)q₁+r₁

b = (a-b)q₂ + r₂

Вычтем почленно эти равенства: a-b=(a-b) (q₁-q₂)+(r₁-r₂)

Отсюда разность r₁— г₂ делится на a-b.

Но r₁< a-b, r₂< a-b, поэтому разность г₁— г₂ по модулю меньше а-b. Следовательно, она может делиться на а-b только в одном случае, когда г₁-г₂ = 0, г₁=г₂.

Задачи

1.При делении натурального числа, а на 2 в остатке получается 1, а при делении на 3 — остаток 2. Какой остаток получится при делении, а на 6?

Ответ:

2. Натуральное число n при делении на 6 дает остаток 4, а при делении на 15 — остаток 7. Найдите остаток отделения n на 30.

Ответ:

3. Натуральное число, а — четное, не делящееся на 4. Найдите остаток от деления а² на 32.

Ответ:

4. Какой остаток дает 5¹⁰⁰⁰ при делении на 11?

Ответ:

5. Чему равен остаток от деления числа на 6?

Ответ:

6. Найдите остаток от деления: а) 2¹⁰⁰⁰ на5; б) З¹²⁸ на 11; в) 4⁹³ на 13.

Ответ:

а) 1 б) 5 в) 12

7.Найдите остаток от деления 2003•2004•2005+2006³ на 7.

Ответ:

8.Найдите остаток от деления 9¹⁰⁰ на 8.

Ответ:

9.При делении чисел 1108, 1453, 1844 и 2281на натуральное число, а получится один и тот же остаток. Найти все значения а.

Ответ:

10.Если числа 826 и 4373 разделить на одно и тоже натуральное число, то получатся соответственно остатки 7 и 8. Найти все значения делителя.

Ответ:

11.Частное от деления трехзначного числа на сумму его цифр равно 13, а остаток 15. Найти все такие трехзначные числа.

Ответ:

106, 145, 184

12.Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 1997 дает в остатке 97, а при делении на 1998—остаток 98.

Ответ:

13.Четырехзначчное число делится на 7 и 29. После умножения на 19 и деления нового числа на 37 получится остаток 3. Найти все такие четырехзначные числа.

Ответ: 5075

14.Двузначное число при делении на цифру единиц дает в частном цифру единиц, а в остатке цифру десятков. Найти все такие двузначные числа.

Ответ:

15.Когда трехзначное число, у которого две первые цифры одинаковые, а третья равна 2, разделили на однозначное число, то в остатке получили 8. Найти делимое, делитель и частное. Укажите все решения.

Ответ:

332, 9, 36

1.6 НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ

Вспомним определения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Наибольшим общим делителем двух или нескольких натуральных чисел называется наибольшее из натуральных чисел, на которое делится каждое из данных чисел.

Обозначение наибольшего общего делителя чисел, а и b: НОД (а, d).

В частном случае, когда наибольший делитель двух чисел равен 1, эти числа называются взаимно простыми.

Наименьшим общим кратным двух или нескольких натуральных чисел называется наименьшее из натуральных чисел, которое делится на каждое из данных чисел.

Обозначение наименьшего общего кратного двух чисел, а и b: НОК (а, b).

Пример 1:

Найдите наибольший общий делитель всех девятизначных чисел, в записи которых каждая из цифр 1, 2, 3,…, 9 встречается по одному разу.

Обозначим этот наибольший общий делитель через d.

Из всех девятизначных чисел указанного вида возьмем только два — 123 456 798 и 123 456 789.

Так как эти числа делятся на d, то и их разность, которая равна 9, делится на d:

9:d. Отсюда d = 1, d = 3 или d = 9.

Какой из этих случаев дает ответ? Для выяснения истины определим с помощью признаков делимости на 3 и на 9, делится ли каждое из девятизначных чисел на 3 или 9. С этой целью найдем сумму цифр любого из них: 1 + 2 + 3+…+ 9 = 45.

Поскольку 45 делится на 9, то каждое из девятизначных чисел делится на 9. Из предыдущего следует, что 9 является их наибольшим делителем.

Ответ:

Пример 2:

Найдите наименьшее общее кратное натуральных чисел п и п + 3.

Ответ зависит от того, чему равен наибольший общий делитель чисел n и n + 3.

Он равен 1, если n не делится на 3, и 3, если n делится на 3.

Ответ:

n (n + 3), если п не делится на 3, и (n + 3), если n делится на 3.

Задачи:

1.Найти наибольший общий делитель чисел 111 111 и 111 111 111.

Ответ:

2.Найдите все пары натуральных чисел, сумма которых ровна 288, а наибольший общий делитель—36.

Ответ:

252, 36, 180, 108

3. Найти наибольший общий делитель чисел 121 212 и 121 212 121 212.

Ответ: 121 212

4.Среди первых ста натуральных чисел найти 3 различные числа, наименьшее общее кратное которых наибольшее из всех возможных.

Ответ:

97, 99, 100

5. Три теплохода заходят в порт после каждого рейса. Первый теплоход совершает рейс за 4 дня, второй — за 6, третий — за 9. Однажды они встретились в порту все вместе. Через какое наименьшее число дней они снова встретятся в порту все вместе?

Ответ:

Через 36 дней

6. Отец и сын шли по занесенной снегом дороге друг за другом. Длина шага отца — 80 см, сына — 60 см. Их шаги совпали 601 раз, в том числе в самом начале и в конце пути. Какое расстояние они прошли?

Ответ:

1 км 440 см

7. Покупатель хотел купить у продавщицы все имеющиеся у нее яйца и спросил, сколько у нее яиц. Та ответила, что не помнит, но знает, что если яйца раскладывать по 2, 3, 4, 5 или 6, то каждый раз в остатке остается одно яйцо. Какое наименьшее число яиц могло быть у продавщицы?

Ответ:

8. Найдите все пары натуральных чисел, если их сумма равна 60, а наименьшее общее кратное — 72.

Ответ:

24 и 36

9. Найдите все пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 24, а наименьшее общее кратное — 360.

Ответ:

24 и 360, 72 и 120

10. Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей — и

получаются натуральные числа.

Ответ:

11. Два школьника вышли одновременно из пункта, А и отправились друг за другом по занесенной снегом тропинке. Шаг одного из них равен 75 см, другого — 65 см. В первый раз их шаги совпали через 18 сек. после начала движения, а после 10 мин. движения их шаги совпали впервые в пункте В. Найдите расстояние АВ.

Ответ:

331,5 м

12.Найдите наибольший общий делитель чисел 2¹⁹⁹⁵ -1 и 2¹⁹⁹⁸ -1.

Ответ: 7

13.На какое число и при каких натуральных n сократим дробь? Найдите все решения.

Ответ:

На 2 при всех нечетных n

14. Пусть, а и b — натуральные числа, а > b и числа, а + b и а-b взаимно просты. Найдите все значения наибольшего общего делителя чисел, а и b.

Ответ:

15. Натуральные числа аи b взаимно просты. Найдите все значения наибольшего общего делителя чисел 11а + 2b и 18а + 5b.

Ответ: 1 и 19

1.7 ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Вспомним соответствующие определения.

Натуральное число, большее 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя. Натуральное число называется составным, если оно имеет больше двух различных делителей.

Принято считать, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Отсюда следует, что множество натуральных чисел можно разбить на такие три подмножества: множество простых чисел, множество составных чисел и множество, содержащее единственный элемент 1.

Справедлива следующая теорема.

Любое натуральное число, большее 1, можно, и притом единственным образом, представить в виде произведения простых чисел.

Это предложение называется основной теоремой арифметики натуральных чисел.

Среди простых делителей натурального числа могут быть равные, и их произведение можно записать в виде степени. Тогда разложение натурального числа, а на простые множители можно представить в следующем виде:

гдеразличные простые числа, -натуральные.

Пример 1:

Натуральные числа, а и b таковы, что 31a=54b. Докажите, что число, а + b составное.

Так как число 31а делится на 54 и числа 31 и 54 — взаимно простые, то, а делится на 54: а = 54n, где nN. Тогда 31•54•n = 54b, b= 31n.

Отсюда a+b=54n+31n=85n, а следовательно, число, а + b является составным.

Пример 2:

Найдите все натуральные n, при которых число а²— 10a + 21 простое.

Разложим этот квадратный трехчлен на линейные множители:

а²— 10a + 21=(a-3)(a-7)

Отсюда видно, что данное число, вообще говоря, составное. А когда оно простое? Когда один из множителей равен 1, а другой — простому числу или когда один из них равен — 1, а другой равен —p, где число р — простое. Переберем все случаи.

1)Пусть a-3= 1.

Тогда, а = 4, откуда, а -7 = -3. Получилось, что число а² — 10a + 21 отрицательно. Значит, этот случай невозможен.

2)Пусть a-7= 1.

Тогда, а = 8, а — 3 = 5, где 5 — число простое. Следовательно, значение, а = 8 удовлетворяет требованию задачи.

3) Положим а-3 = -1.

В этом случае, а = 2, а-7 = -5. Так как число 5 — простое, то значение, а = 2 также

подходит.

4) Пусть а-7 = -1.

Тогда, а = 6, а-3 = 3. Поскольку здесь (а — 3)(а — 7) < 0, то этот случай невозможен.

Ответ:

8, 2

Задачи:

1.Простое число разделено на 21 с остатком. Найдите все значения остатка, являющиеся составными числами.

Ответ:

4, 8, 10, 16, 20

2.Может ли быть составным числом остаток от деления простого числа на а) 30 б) 60

Ответ:

а) не может б) может, если остаток равен 49

3.Простое или составное число 2⁸⁰+3⁸⁰?

Ответ:

составное

4.Натуральные числа a, b, c, d таковы, что ab=cd. Может ли число a+b+c+d быть простым?

Ответ:

не может

5.Является ли число 4⁹+6¹⁰+3²⁰ простым?

Ответ:

является

6.Найти такое простое число p, что p²+9 тоже простое.

Ответ:

р=2

7.Простым или составным является число 20²⁰⁰⁷+1?

Ответ:

составным

8.Найти все целые n, при которых модуль числа n²-7n+10—число простое.

Ответ:

3, 4

9. Найти все натуральные n, при которых число n⁴+4 составное.

Ответ:

все n?1

10.Найти все целые х, для которых 8•3−12•2+6х-217 простое число.

Ответ:

при х=4

11.На какое наибольшее число натуральных слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?

Ответ:

на 7

12.Доказать, что для любого натурально n найдется такое число а, что an+4 составное.

Указание:

достаточно взять а=n+4

13.P и Q—различные простые числа. Сколько делителей у числа а) PQ б) P²Q в) P²Q² г) PⁿQ^m?

Ответ:

а) 4 б) 6 в) 9 г) (n+1)(m+1)

14.P—простое число. Сколько существует натуральных чисел а) меньших P и взаимно простых с ним б) меньших P² и взаимно простых с ним Ответ:

а) условия выполняются для Р-1 числа б) выполняются для Р (Р-1) числа

15.Натуральные числа, а и b удовлетворяют условию 15а=32b. Может ли число а-b быть простым?

Ответ:

Может, если а=32, b=15

1.8 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Здесь мы встретимся с задачами на степени целых, главным образом натуральных чисел с натуральными показателями.

Назовем точной степенью степень целого числа с натуральным показателем, большим 1. В частности, квадрат и куб целого числа будем называть точным квадратом и точным кубом.

Пример 1:

Сумма двузначного числа и его обращенного — точный квадрат. Найдите все такие числа.

Сложим двузначное число ab с его обращенным:

+ = (10а + b) + (10b + а) = 11(а + b)

Так как число 11(а + b) — точный квадрат, то сумма, а + b делится на 11. Но поскольку, а и b являются цифрами, то она равна 11: а + b = 11.

Далее нетрудно перебрать все возможные случаи, связанные с, а и b.

Ответ:

29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92

Пример 2:

Натуральное число записывается с помощью 10 шестерок и нескольких нулей. Может ли оно быть точной степенью?

Сумма цифр этого числа равна 60. Тогда на основании признаков делимости на 3 и на 9 число делится на 3, но не делится уже на 3²= 9. Следовательно, оно не является ни точным квадратом, ни точным кубом, ни вообще точной степенью с каким-либо натуральным показателем, большим 1.

Ответ:

не может

Задачи:

1.Какой точный квадрат равен произведению четырех последовательных нечетных чисел?

Ответ:

9=(-3)•(-1)•1•3

2.Может ли произведение n (n+1) при каком-либо натуральном n быть точной степенью?

Ответ:

не может

3. Четырехзначное число — точный квадрат, причем две первые его цифры одинаковы и две последние тоже одинаковы. Найдите все такие числа.

Ответ:

7744=82²

4. Натуральное число оканчивается на 316. Может ли оно быть точным кубом?

Ответ:

не может

5.Найдите наибольшее значение n, при котором последовательность с общим членом х_n=n²-n+19 является точным квадратом?

Ответ:

n=19

6.Разность между трехзначным числом и суммой его цифр есть полный квадрат. Найти все такие числа.

Ответ:

для у² возможны значения 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Из этих значений всего получим 70 чисел

7.Найдите двузначное число, если сумма его цифр состоит из одинаковых чисел, а сумма квадратов его цифр, увеличенная на 10, равна самому числу.

Ответ:

8.При каких значениях a и b многочлен х⁴+ах³+bx²-8x+1 обращается в точный квадрат?

Ответ:

а₁=-8, а₂=8, b₁=18, b₂=14

9. Какие остатки могут давать при делении на 4: а) сумма; б) разность двух точных квадратов?

Ответ:

а) 0, 1 или 2 б) 0, 1 или 3

10. Существует ли такое натуральное n, что 6n — точный куб, а 8n — точная четвертая степень?

Ответ:

существует, например n=209 952

11. Наборщик рассыпал часть набора — набор пятизначного числа, являющегося точным квадратом, записывающимся цифрами 1, 2, 5, 5 и 6. Найдите все такие пятизначные числа.

Ответ: 125²=15 625

12.Верно ли, что число 2004•2005•2006•2007+1 является точным квадратом?

Ответ:

верно

13.Доказать, что выражение является целым числом—квадратом.

Ответ:

А=4=2²

14.Показать, что многочлен (х+а)(х+2а)(х+3а)(х+4а)+а⁴ есть квадрат трехчлена.

Указание:

показать, что данный многочлен имеет вид (х²+Вх+Са²)². Далее раскрыть скобки.

15.Существует ли четырехзначное число-квадрат, у которого сумма цифр равна числу, образованному первыми двумя цифрами, причем, первые два и последние два числа, также являются квадратами.

Ответ:

1.9 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

В данной теме мы займемся решением уравнений первой степени с двумя неизвестными в целых числах. Общий вид такого уравнения:

ах + by = с, где а, b, с — данные целые числа, х и у — неизвестные, принимающие только целые значения.

Пример:

Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг и 160 кг. Сколько было контейнеров первого и сколько второго вида, если вместе они весят 3 тонны? Укажите все решения.

Обозначим количество контейнеров первого вида через х, второго — через у.

Получаем уравнение

130х + 160у = 3000, 13х+ 16у = 300.

Попробуем воспользоваться делимостью на 13. Для этого 16у представим в виде

13у + 3у, а 300 разделим на 13 с остатком:

13х+13у + 3у=13•23+ 1, 13у- 1 = 13•23−13х-13у.

Правая часть последнего уравнения делится на 13, следовательно, и левая его часть должна делиться на 13. Для того чтобы найти значения у, при которых разность 13у — 1 делится на 13, применим перебор. При этом проще не придавать у последовательные значения 1, 2, 3 и т. д., а приравнивать 13у — 1 к числам, делящимся на 13: 13, 26, 39, 52, 65 и т. д., выясняя каждый раз, является ли корень соответствующего уравнения целым или дробным. Целые корни получаются в следующих случаях:

Зу-1 = 26, у = 9; Зу-1 = 65, у = 22

и др. Но уже значение у = 22 слишком велико, так как в этом случае 16у=16•22 = 352>300.

При у = 9 из уравнения можно найти х: 13х+16•9 = 300, 13х=156, х=12.

Ответ:

12 контейнеров по 130 кг и 9 по 160 кг

Задачи:

1.Решите в целых числах уравнения: а) ху — Зх + 2у = 13; б) ху = 5х + 4у + 3; в)

Ответ:

а) (5, 4), (-1, 10), (-9, 2), (-3, 4)

б) (5, 28), (3, -18), (27, 6), (-19, 4)

в) (6, 30), (30, 6), (4, -20), (10, 10), (-20, 4)

2.Длины сторон прямоугольника выражаются целыми числами, а периметр численно равен площади. Найдите все такие прямоугольники.

Ответ:

длины сторон прямоугольника равны 6, 3 или 4, 4

3.Решите в целых числах уравнение 3ху+у=7х+3

Ответ:

(0, 3), (-1, 2)

4. Решите в целых числах уравнения:

а) х + у = 2ху б) х + 2у = 3ху + 1.

Ответ:

а) (1, 1), (0, 0) б) (1, 0)5.Решите в натуральных числах уравнение

Ответ:

(999, 999•1997), (999•1997, 999), (1997, 1997)

6.На базе имеются несколько грузовых автомобилей одинаковой грузоподъемности, выражающейся целым числом тонн. Для перевозки груза каждый автомобиль сделал одно и то же число рейсов, а затем 7 машин сделали еще по 12 рейсов каждая. Если бы каждая машина сделала на 6 рейсов больше, то для перевозки в два раза меньшего груза потребовалось бы на 7 машин меньше. Сколько автомобилей было на базе?

Ответ:

7.Решить систему уравнений

+=7

3х+2у=23

Ответ:

(5, 4), (-9, 25)

8.Решить уравнение в целых числах х+у=ху Ответ:

(0, 0), (2, 2)

9. Определите день и месяц рождения некоего человека, если у него сумма произведений числа месяца на 12 и номера месяца на 31 равна 436.

Ответ:

26 апреля

10. При стрельбе по мишени стрелок выбивает только по 8, 9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, выбил 100 очков. Сколько выстрелов сделал стрелок, и какие были попадания?

Ответ:

12 выстрелов, 9 попаданий по 8 очков, 2—по 9, 1—10 очков

11. Решите в целых числах х и у уравнения:

а) 11х + 7у = 1; б) 11x-60у = 7; в) 81х+25у=1

Ответ:

а) х=2−7t, y=11t-3 (t)

б) x=60t+17, y=11t+3 (t)

в) x=25t-4, y=13−81t (t)

12.Найдите все решения уравнения 5х-7у=3 в целых числах х и у.

Ответ:

x=7t-12, y=5t-9, где t—любое целое число

13.Сколько точек с целочисленными координатами, удовлетворяющими условию х > 0,

у > 0 лежит на прямой:

а) Зх + 4у = 133; б) 7х + 24у = 1408?

Ответ:

а) 11 б) 8

14. Пол шириной 3 м нужно устлать досками шириной 11 и 13 см так, чтобы между ними не оставалось промежутков. Сколько нужно досок того и другого размера?

Ответ:

19 досок первого размера, 7—второго или 6 досок первого размера, 18—второго

15. Требуется проложить трассу газопровода на участке длиной 450 м. В распоряжении строителей имеются трубы длиной 9 и 13 м. Сколько труб той и другой длины нужно взять для прокладки трассы, чтобы число сварных швов было минимальным? Трубы резать не следует.

Ответ:

11 девятиметровых и 27 тринадцатиметровых труб

1.10 УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Общий вид уравнения второй степени с двумя неизвестными —

ах² + bxy + су² + dx + ey +f= 0,

где а, b, с, d, e, f— данные числа, причем среди коэффициентов a, b и с по меньшей мере один отличен от нуля.

Пусть все эти шесть коэффициентов — числа целые. Будем заниматься решением таких уравнений в целых числах х и у.

Пример:

Докажите, что уравнение 3х²=16у²+ 8у+ 5 не имеет решений в целых числах.

Дополним сумму 16х²+ 8у в правой части уравнения до квадрата суммы:

Зх² = (16у²+ 8у + 1) + 4, Зх² = (4у + 1)² + 4.

Отсюда видно, что сумма 4у + 1 не делится на 3. Тогда (4у + 1)² при делении на 3

дает в остатке 1: (4у+1)² = Зk+1, где k — целое неотрицательное число. Получаем:

Зх² = 3k + 1 + 4, Зх² = Зk + 5.

Но последнее равенство невозможно ни при каких целых х и k, так как его левая

часть делится на 3, а правая не делится.

Задачи:

1.Решите в целых числах уравнение 2х²-2ху + 9х + у = 2.

Ответ:

(1, 9), (2, 8), (0, 2), (-1, 3)

2. Имеет ли уравнение х² + 2ху = 2002 решение в целых числах?

Ответ:

не имеет

3.Решить в целых числах уравнение ху²-7(х+у²)=1

Ответ:

(32, -3), (32, 2)

4.Решить уравнение (у-2х)=х²+у²+

Ответ:

х=-, у=

5.Решить систему уравнений

49х²+36у²-14ху-266х-102у+501=0

7х²-3у²+11ху+73х-93у+135=0

Ответ:

(3, 2)

6.Решить уравнение х²=у^у+2у+13

Ответ:

(4, 1), (4, -3), (-4, 3), (-4, -1)

7. В шахматном турнире в один круг участвовали два ученика 9 класса и несколько учащихся 10 класса. Два девятиклассника набрали вместе 8 очков, а все десятиклассники набрали по одинаковому числу очков. Сколько десятиклассников участвовали в турнире? Приведите все ответы.

Ответ: 7 или 14

8. Приведите пример уравнения вида: ах² + bху + сх + dy + е = 0, где а, b, с, d, е — данные целые числа, а?0, которое имеет бесконечное множество решений в целых числах х и у.

Ответ:

например, (х-у-1)(х+3)=0

9. Решите в целых числах уравнение х² -у² =1997.

Ответ:

(999, 998), (999, -998), (-999, -998), (-999, 998)

10. Решите в целых числах уравнения:

а)х²-Зху + 2у= 11; б) Зх² + 4ху- 7у²= 13

Ответ:

а) (21, 10), (9, 10), (-21, -10), (-9, -10)

б) (2, 1), (-2, 1).

11. Найдите натуральное число, которое становится точным квадратом, если к нему прибавить любое из чисел 145 и 98. Укажите все такие числа.

Ответ:

12. Решите в целых числах уравнение 5х² + 4ху + у² = 121

Ответ:

(0, 11), (0, -11), (11, -22), (-11, 22)

13.Решите в целых числах уравнение х²-ху+у²=х+у Ответ:

(1, 2), (2, 2), (0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 1)

14. Решите в целых числах уравнение у²=х²-х+1

Ответ:

(0, 1), (0, -1), (1, 1), (1, -1)

15. Решите в целых числах уравнения:

а) х² — ху + х — 2у + 3 = 0; б) х + у² = ху; в) у² + 2ху = 2х + 2; г) х² — 2ху + 4х + 3у — 2 = 0.

Ответ:

а) (-1, 3), (-3, -9), (3, 3), (-7, -9)

б) (4, 2), (0, 0)

в) (-1, 2), (-1, 0)

г) (2, 10), (1, -3), (4, 6), (-1, 1), (14, 10), (-11, -3)

1.12 НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Иногда приходится решать в целых числах не уравнения, а неравенства. Так, при решении уравнений первой степени с двумя неизвестными в натуральных числах мы нередко решали эти уравнения в целых числах, а затем для выделения решений в натуральных числах решали систему двух неравенств первой степени с одним

неизвестным в целых числах. Необходимость в этом возникает и при решении некоторых других уравнений в целых числах. Например, при решении в натуральных числах уравнения z — х + у — ху приходится решать в натуральных числах неравенство

х + у — ху > 0. Наконец, встречаются текстовые задачи, решение которых сводится к решению в целых (а чаще натуральных) числах неравенств или систем неравенств.

Пример:

Решите в целых числах x, y и z неравенство

Соберем все члены неравенства в левой части: х² +у² + z² -ху — 3у — 2z + 3 < 0.

Заменим это неравенство следующим: х² + у² + z² -ху — 3у — 2z + 4? 0.

Полученное неравенство при целых х, у и z равносильно предыдущему. Теперь выделим в левой части квадраты сумм. Полезно предварительно умножить неравенство на 4.

Ясно, что сумма в левой части последнего неравенства отрицательной быть не

может, она может только равняться нулю. Тогда Находим отсюда х, у и z: у = 2, х=1, z=l.

Ответ:

(1, 2, 1)

Задачи:

5. Решите в целых числах х и у систему неравенств Ответ:

(0, 0), (2, 0), (1, 1)

6. Решите систему неравенств в натуральных числах х и у.

Ответ:

(1, 2)

7. Сколько решений в целых числах х и у имеет неравенство

Ответ:

8. Три одноклассника купили 13 пирожков, причем Костя купил в два раза меньше Толи, а Володя — больше Кости, но меньше Толи. Сколько пирожков купил каждый из них?

Ответ:

3, 4, 6

9. В гараже 40 автомобилей разных типов: грузовые, легковые и автобусы. Автобусов меньше, чем легковых машин, а легковых машин в 12 раз меньше, чем грузовых. Найдите число автомобилей каждого типа.

Ответ:

36 грузовых, 3 легковых, 1 автобус

10. На одинаковых грузовиках перевезли 10 560 кг груза. Легковых автомобилей было на 6 меньше, чем грузовиков, и они перевезли 560 кг груза. Сколько было легковых автомобилей, если каждый из них перевозил груза меньше, чем грузовик, более чем на 1 т и машины грузились равномерно?

Ответ:

11. В отчете о лыжных соревнованиях говорится, что процент участников, прошедших дистанцию до конца, заключен в пределах от 94,2% до 94,4% участников. (Некоторая неопределенность этих данных объясняется неясностью с выступлениями отдельных участников.) Каково наименьшее число участников соревнований?

Ответ:

12. Найдите два натуральных числа, если их произведение заключено между 200 и 240, а отношение — между 20 и 24. Укажите все решения.

Ответ:

(67, 3), (68, 3), (69, 3), (70, 3), (71, 3)

13. Сколько решений в целых числах имеет неравенство

Ответ:

14. Найдите два натуральных числа, если их произведение заключено между 120 и 130, а отношение — между 2 и 3. Укажите все решения.

Ответ:

18 и 7

15. Решите в целых числах х, у и z систему неравенств

Ответ:

(0, 0, 0), (1, 1, 1)

ГЛАВА 2: РАЙОННЫЕ ОЛИМПИАДЫ

2.1 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. ПРИНЦИП КРАЙНЕГО

Принцип крайнего.

Особые, крайние объекты часто служат «краеугольным камнем» решения.

Так, например, рассматривают наибольшее число, ближайшую точку, угловую точку, вырожденную окружность, предельный случай. Поэтому полезно сразу рассматривать особые, крайние объекты. В задачах на метод крайнего работает метод минимального контрпримера: допустим, утверждение задачи неверно. Тогда существует минимальный в некотором смысле контрпример. И если окажется, что его можно уменьшить, то получится искомое противоречие.

Принцип Дирихле.

Принцип Дирихле (по имени П.Г.Л.Дирихле) принцип ящиков—предложение удовлетворяющее, что в случае m>n при отнесении каждого из m предметов к одному из n классов хотя бы в один класс попадет не менее двух предметов. Это чрезвычайно простое предложение применяется при доказательстве многих важных теорем теории чисел, относящихся к приближению иррациональных чисел рациональными, в доказательстве трансцендентных чисел и других вопросах.

Пример:

В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Доказать, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

25 ящиков-«кроликов» рассадим по трем клеткам-сортам. Так как 25 = 3 · 8 + 1, то применим «обобщенный принцип Дирихле» для N= 3, k = 8 и получим, что в какой-то клетке-сорте не менее 9 ящиков.

Задачи

1.Дано 8 различных натуральных чисел, каждое из которых не больше 15. Докажите, что среди их положительных попарных разностей есть три одинаковых.

Указание:

Здесь необходимо использовать дополнительное соображение: в клетке с номером 14 может сидеть не более одного кролика, ведь число 14 может быть записано только как разность двух натуральных чисел, не превосходящих 15, лишь одним способом: 14 = 15−1

2. Вшколе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года.

3.На Земле океан занимает больше половины площади поверхности. Докажите, что в мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки.

Указание:

Отразите океан симметрично относительно центра Земли. Сумма площадей океана и его образа превышает площадь земной поверхности

4. На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольные работы. За каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2, 3, 4 или 5. Верно ли, что найдутся два школьника, получившие одинаковые оценки на всех контрольных?

Ответ:

верно

5. В каждой клетке шахматной доски записано число. Оказалось, что любое число равно среднему арифметическому чисел, записанных в соседних (по стороне) клетках. Докажите, что все числа равны.