Уравнения Максвелла в интегральной форме

Теорема Остроградского — Гаусса для электрического поля

Физический смысл этого выражения таков: поток электрической индукции (D) через произвольную замкнутую поверхность s равен суммарному заряду, заключенному внутри этой поверхности (q). Заметим, что похожее выражение мы уже встречали, когда говорили о теореме Остроградского — Гаусса для электрических полей (6.4).

Теорема о циркуляции магнитного поля.

Выражение фI) ds = у, продифференцируем по времени. Получим.

Если поверхность s не деформируется, то справедливо.

Далее вводится понятие тока смещения (/_ol) и плотности тока смещения 0'_сн = dl_cjdt). Ток смещения — это физическая величина, равная потоку вектора плотности тока смещения (j_m) сквозь поверхность .v, он является источником вихревого магнитного поля. Можно сказать, что ток смещения — физическая величина, прямо пропорциональная скорости изменения электрической индукции. Строго говоря, ток смещения не является электрическим током, но измеряется в тех же единицах, что и электрический ток.

В природе можно выделить два вида токов: ток связанных зарядов и ток проводимости. Ток связанных зарядов — это перемещение средних положений связанных электронов и ядер, составляющих молекулу, относительно центра молекулы. Ток проводимости — это направленное движение зарядов на большие расстояния. Сумма тока связанных зарядов и быстроты изменения потока электрического поля была названа током смещения.

Считая, что ток смещения.

и воспользовавшись законом полного тока (6.20), можно записать следующее уравнение Максвелла

Физический смысл последней записи в следующем: циркуляция вектора напряженности магнитного поля (Я) по произвольному неподвижному контуру I равен алгебраической сумме тока проводимости и тока смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур. Вспомним, что циркуляцией называется криволинейный интеграл по замкнутому контуру вида Ydx.

3. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Опираясь на закон Фарадея (6.22), можно записать.

Физический смысл записанного выражения: циркуляция вектора напряженности электрического поля (?') по произвольному неподвижному замкнутому контуру / равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через поверхность s, натянутую на этот контур.

4. Теорема Остроградского — Гаусса для магнитного поля (6.19) говорит об отсутствии в природе магнитных зарядов и формулируется так: магнитный поток через произвольную неподвижную замкнутую поверхность равен нулю.

Таким образом, мы сформулировали четыре уравнения Максвелла. Теперь, добавив к ним так называемые материальные уравнения (6.3) и (6.15), можно записать систему уравнений Максвелла в интегральной форме.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Аналогично предыдущим, можно записать уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

1. Теорема Остроградского — Гаусса для электрического поля

где р = q/V — объемная плотность заряда, т. е. заряд, приходящийся на единицу объема. Последнее выражение читается так: дивергенция вектора индукции электрического поля равна объемной плотности заряда. Физический смысл этого уравнения такой же, как и аналогичного в интегральной форме. Можно сформулировать его следующим образом: электрический заряд является источником электрической индукции.

Здесь впервые в этом курсе встречается понятие дивергенции. Разберем его подробнее. Дивергенция — это дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (т.е. в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Оператор дивергенции, примененный, например, к векторному полю обозначают как div^ или V^F, где V — оператор Лапласа. Например, в трехмерном декартовом пространстве дивергенция определяется выражением.

Если изображать векторное поле стрелками (рис. 6.55), то ненулевая дивергенция показывает область, откуда стрелки расходятся (см. рис. 6.55, б, ё).

Дивергенция может присутствовать в неявном виде. Например, если дивергенция не равна нулю, то векторное поле везде направлено в одну сторону и в этом направлении становится все сильнее и сильнее. Тогда для изображения линий поля их изображают стрелками, все большей и большей длины.

Можно сказать, что дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля:

• • divT > 0 — точка поля является источником (см. рис. 6.55, б),
• • divT < 0 — точка поля является стоком (см. рис. 6.55, е),
• • divT = 0 — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга (см. рис. 6.55, а).

Примером может служить озеро: родники, бьющие со дна озера, будут давать положительную дивергенцию ноля скоростей течения, а подводные стоки — отрицательную дивергенцию.

Рис. 6.55. Ротор и дивергенция векторных полей.

Читается выражение следующим образом: ротор вектора напряженности магнитного поля равен сумме токов смещения и проводимости. Физический смысл записи, помимо указанного для интегрального уравнения, можно сформулировать так: электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное ноле.

Теперь мы встретили понятие ротора, разберем его более подробно. Ротор (или вихрь) — это векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Его обозначают как rot или VX (или VX), где последнее — векторное произведение оператора набла (V) на функцию. Применительно к некоторой векторной функции Т можно записать.

Ненулевой ротор показывает, вокруг чего закручиваются линии векторного поля (см. рис. 6.55, а, д, е).

Ротор может присутствовать в неявном виде. Если ротор не равен нулю, то векторное иоле везде направлено в одну сторону, но при этом в поперечном направлении становится все сильнее и сильнее. Если, выбрав прямоугольный контур, мы вычислим циркуляцию, то увидим, что две стороны контура не скомпенсированы, циркуляция не равна нулю, следовательно, присутствует ротор (вихрь).

Например, в смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор в центральной области. Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, то ротор на границе между полосами был бы ненулевым.