Архитектура математики и аксиоматические теории

Архитектура математики

Группа французских математиков, объединенных под псевдонимом Никола Бурбаки (о Н. Бурбаки читай: [23], [50], [92]), пишет (по некоторым сведениям — писала в 1938;68 годах) самый грандиозный трактат XX века — «НАЧАЛА МАТЕМАТИКИ» — «Elements de mathtmatique» par Nicolas Burbaki. Цель трактата — изложение всего математического знания с единой и достаточно оригинальной точки зрения. Первая книга трактата выпущена в 1939 году, но все ускоряющееся развитие математических дисциплин, лавинообразное увеличение объема специальной математической информации ставят под сомнение достижение поставленной цели. Тем не менее большинство книг трактата переведено на многие языки мира, в том числе и на русский язык. Одной из последних в этом ряду, 24-й по нашему подсчету, стоит «Алгебра. Гомологическая алгебра», изданная в 1987 году издательством «Мир».

В статье 2 «Архитектура математики» ([6], с. 245−259) автор Н. Бурбаки утверждает, что в развитии математической науки выкристаллизовалось направление, называемое аксиоматическим методом. Суть этого метода состоит в том, что каждая математическая дисциплина строится на базе теории множеств как на общем фундаменте посредством задания на множествах соответствующих структур.

Чтобы задать на множестве (на множествах) некоторую структуру X, определяют одно или несколько отношений, в которых находятся элементы множества (множеств). Свойства, которым удовлетворяют вводимые отношения, определяются аксиомами рассматриваемой структуры X. При этом у элементов исходных множеств нс предполагается никакой иной изначальной реликтовой природы. Аксиоматическую теорию структуры и составляют аксиомы структуры, логические следствия из аксиом и выводы таких следствий.

Следуя Н. Бурбаки (см. [6], с. 258−259), можно выделить три основных типа структур:

• 1) групповые;
• 2) топологические;
• 3) порядка.

Отношения, определяющие групповые структуры, называют законами композиции и задают на тройках (а, Ь, с) элементов а, b и с, когда один элемент однозначно определяется парой других. Например, закон, определяющий аддитивную группу (группу по сложению), записывают так: а + Ь = с. Закон мультипликативной группы (группы по умножению) записывают, как читатель уже догадался, в виде равенства а b = с. При этом элементы а, Ъ и с в каждом из этих равенств берутся из одного и того же множества. В более общем случае в закон композиции могут входить элементы из двух и трех оговоренных в аксиомах множеств.

Интуитивно ясные понятия непрерывности и разрывности линии, понятие окрестности точки числовой прямой и не так очевидное понятие предела находят точную абстрактную формулировку в аксиомах топологических структур.

Наконец, структура порядка ф, отношение порядка ф на множестве М (во множестве М) задается на парах (иногда не на всех парах) элементов из множества М. Свойства этого отношения ф описываются соответствующими аксиомами. Так, всем хорошо известное отношение «<�» неравенства на множестве действительных чисел дает пример отношения, определенного для всех пар (я, Ь) чисел а и Ь. Более сложный пример отношения порядка дает следующая «цепь включений»:

По Н. Бурбаки, «…в своей аксиоматической форме математика представляет скопление абстрактных форм — математических структур, и оказывается (хотя, по существу, и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм» ([6], с. 258−259).

Многие современные теории в математике используют идею расслоенного пространства, простейшим примером которого является прямое, в иной терминологии декартово, произведение X х Y двух множеств X и У, т. е. множество пар (х, у) (см. Определение 3.8):

В связи с этим профессор А. П. Норден (12.11.1905;15.06.1988) пришел к мысли, «…что в число основных структур Бурбаки не попала очень важная четвертая структура, которую мы предлагаем назвать структурой композиции» [55, с. 118]. Однако мы не будем явно использовать эту структуру, а также не будем обсуждать возможности причисления к основным других структур или сокращать число основных. Ибо, заменяя, например, групповую структуру подходящими отображениями множеств, мы лишь формально отказываемся от этой структуры при фактическом использовании аксиом, определяющих упомянутую структуру.

Академик А. Н. Колмогоров в лекции для учителей «Современные взгляды на природу математики», опубликованной в 1969 году, писал об архитектуре математики следующее: «Появляется много книг, излагающих начала „современной“ математики…». За «современную» при этом обычно выдается концепция, которая может быть охарактеризована следующими двумя тезисами:

А. В основе всей математики лежит чистая теория множеств.

Б. Специальные разделы математики занимаются структурами, принадлежащими к тем или иным родам структур. Каждый род структур определяется соответствующей системой аксиом, выраженной на языке теории множеств. … Современность этой концепции относительна" (см. [38, с. 227]).