Основные линии обогащения ментального (умственного) опыта учащихся в курсе математики 5—9

В качестве обоснования «обогащающей модели» выступают положения онтологической теории интеллекта как особой формы организации ментального (умственного) опыта личности (Холодная, 1997; 2002). Соответственно, психологической основой интеллектуального воспитания учащихся является обогащение основных форм ментального (умственного) опыта — в том числе компонентов когнитивного (понятийного), метакогнитивного и интенционального (эмоционально-оценочного) опыта за счет разработки и использования разных типов учебных математических текстов (Гельфман, 2004; Концепция и программа проекта «Математика. Психология. Интеллект». Математика 5—9 классы, 2002; Холодная, Гельфман, 2014; Холодная, Гельфман, 2016).

Чтобы уточнить, каким образом изменяется и выстраивается содержание математического образования в «обогащающей модели» обучения, следует выделить и коротко охарактеризовать основные линии обогащения умственного опыта учащихся в процессе обучения математике в основной школе. Подробное обсуждение возможностей разных типов учебных текстов в обогащении основных форм умственного опыта учащихся будет проведено в трех последующих главах.

Обогащение когнитивного (понятийного) опыта учащихся

Когнитивный (понятийный) опыт — это ментальные структуры, отвечающие за эффективную переработку информации (в том числе способы кодирования информации, когнитивные схемы, семантические структуры и понятийные структуры как результат интеграции этих компонентов когнитивного опыта).

В ходе изучения математики учащиеся должны прибрести опыт использования разных способов кодирования информации.

Овладению словесно-символическим способом кодирования информации служат учебные тексты, которые:

• • стимулируют использование и сравнение разных словесно-символических форм описания математических объектов;
• • мотивируют самостоятельный поиск учащимися формулировок определений, правил, теорем;
• • предполагают осуществление перевода информации с родного языка на язык математики и наоборот;
• • ориентируют на работу со справочниками, словарями и т. д.

Визуальный способ кодирования информации учащиеся осваивают с помощью учебного материала, требующего:

• • использования нормативных образов и работы с ними;
• • передачи в образных формах существенных характеристик математических объектов;

• • активного преобразования наглядного или мысленного образа (вычленения его отдельных элементов, перестройки исходного образа в соответствии с требованиями задачи);
• • развития образа в ходе рассуждения;
• • самостоятельного создания учениками визуальных моделей тех или иных математических объектов и т. д.

Предметно-практический способ кодирования информации представлен в учебных текстах в виде:

• • лабораторных работ, предполагающих выполнение определенных предметных действий;
• • заданий, обеспечивающих подключение житейских впечатлений учащихся.

Сенсорно-эмоциональный способ кодирования информации развивается благодаря наличию в учебном материале:

• • вопросов, стимулирующих учащихся к эмоциональным оценкам изучаемого материала;
• • метафор;
• • невозможных («волшебных») ситуаций, в которых ученик может дать волю воображению и фантазии.

Особое внимание уделяется отработке умения пользоваться разными способами кодирования информации и осуществлять обратимые переводы информации с одного языка кодирования на другой.

Когнитивные схемы — обобщенные и стереотипизированные формы хранения прошлого опыта относительно математических объектов и их свойств, а также алгоритмов и планов решения математических проблем.

П. Я. Гальперин пишет, что только в том случае, если в учебном процессе создаются реальные условия для формирования тех обобщенных схем действительности, которые становятся объединяющими схемами отдельных действий, «новыми структурами мышления», можно говорить о том, что это тип учения, при котором приобретение знаний приводит к пониманию и развитию (Гальперин, 1976). Таким образом, учебные тексты должны создавать условия для формирования соответствующих когнитивных схем как основы понимания математических фактов, идей, теорий, способов действий.

Работа над когнитивными схемами предполагает активное привлечение и реорганизацию прошлого опыта учащихся для усвоения нового материала, формирование у них умения видеть устойчивые, типичные, обобщенные характеристики изучаемых математических понятий и операций. Этому способствуют тексты, в которые включены:

• фокус-примеры, в которых в яркой концентрированной форме воспроизводятся типичные и в то же время существенные свойства математического понятия в виде схематизированного образа или знаковой конструкции;

• • освоение процедур опознания математических объектов, а также алгоритмов математических действий;
• • работа с когнитивными схемами в направлении развития их динамичности и структурированности и т. д.

В данном случае речь идет не только о развитии способности к визуализации математического знания (в частности, за счет использования различных визуальных моделей), но и о возможности одновременной работы в режиме взаимоперевода двух основных субъективных способов кодирования информации — словесного и образного — как базового механизма мышления (Веккер, 1976; 1998).

Формированию семантических структур, то есть системы значений вводимых математических терминов, способствуют учебные тексты, которые:

• • раскрывают различные значения термина;
• • показывают историю возникновения терминов;
• • определяют предметную область использования того или иного математического термина;
• • обеспечивают наличие контекста (контекстов), позволяющего создавать семантические сети по отдельным терминам и систематизировать значения разных терминов (за счет культурно-исторических материалов, игровых ситуаций, альтернативных интерпретаций и т. д.).

Работа, направленная на овладение способами кодирования информации, создание у учащихся когнитивных схем, развитие семантических структур, способствует формированию понятийных структур (понятий).

С психологической точки зрения, образование понятий — это сложный и длительный процесс превращения определенных единиц объективно существующего знания в субъективные ментальные структуры, существующие уже «внутри» опыта человека в качестве психических новообразований (Веккер, 1976; Холодная, 1983; 2012). Следовательно, овладеть понятием путем простого заучивания невозможно. Необходимо постепенное выстраивание в ментальном опыте ученика понятийных психических структур как психологических носителей понятийного знания.

Понятийные психические структуры — это интегральные когнитивные образования: их психическим материалом являются четыре модальности опыта (словесно-речевая, визуальная, предметно-практическая и чувственно-сенсорная); в их основе должны лежать адекватные когнитивные схемы, отвечающие требованиям структурированности, динамичности и обобщенности; их формирование связано с процессом обобщения значений знаков (терминов).

Особое значение имеет работа средствами учебного текста с признаками понятий: выделение множества возможных признаков изучаемого понятия, соотнесение различных признаков по степени их значимости и степени обобщенности, систематизация наиболее существенных признаков, понимание того, что мера существенности или несущественности признака может меняться в зависимости от цели деятельности. Не менее важным является учебный материал, обеспечивающий включение отдельного понятия в систему родо-видовых, генетических, причинно-следственных, межпредметных связей с другими понятиями.

Соответственно, конструкция учебного текста (в том числе форма предъявления учебной информации) должна инициировать основные компоненты понятийного опыта.

В свою очередь, образование понятий связано с освоением определенных мыслительных операций, таких как анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстрагирование. В текстах учебных книг МПИ-проекта математические операции становятся самостоятельным объектом изучения. Субъективной мерой овладения мыслительными операциями являются такие их качества, как системность, рефлексивность, обратимость, гибкость (Ксенева, 2004). Кроме того, образование понятий предполагает освоение общих интеллектуальных умений — комбинирование, выдвижение и обоснование гипотез, планирование своих действий, выбор наиболее рационального способа решения, контроль результата решения и т. д.

Таким образом, следует говорить о единстве декларативных и процедурных знаний в процессе образования понятий (то есть знаний о том, что, и знаний о том, как).

Далее, содержательное, осмысленное овладение понятием — это развернутый во времени процесс. Актуализируя и развивая те компоненты ментального опыта учащихся, которые выступают в качестве основы процесса образования понятий, мы, кроме того, должны «собрать» их воедино, с тем чтобы можно было говорить о действительной сформированное™ понятийных структур «внутри» опыта ученика. Этому способствует такая форма организации текста, которая позволяет последовательно выстраивать субъективный образ содержания понятия. В частности, в разработанных нами учебных текстах были учтены следующие основные фазы образования понятия: мотивировка, категоризация, обогащение, перенос, свертывание (Гельфман, Холодная, Демидова, 1993; Gelfman et al., 1996).

• 1. Мотивировка — создание условий для осознания учащимися необходимости нового способа описания своего предыдущего опыта (житейского, физического, арифметического, алгебраического), например, за счет создания эффекта «невозможности» разрешения ситуации в силу отсутствия на данный момент адекватных понятийных средств ее анализа.
• 2. Категоризация — введение знаково-символического и визуального обозначения понятия с последующим постепенным увеличением степени обобщенности знаково-символической и визуальной форм представления его содержания, а также ориентация учащихся на выделение отличительных частных и общих (несущественных и существенных) признаков соответствующего понятия.
• 3. Обогащение — накопление и дифференциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания (за счет включения разных вариантов его интерпретации, увеличения числа варьирующих по степени существенности признаков, наращивания межпонятийных связей, использования альтернативных контекстов его анализа и т. д.).
• 4. Перенос — применение усваиваемого понятия в разных ситуациях, в том числе в условиях самостоятельного выстраивания отдельных аспектов его содержания.
• 5. Свертывание — экстренная реорганизация всего множества имеющихся у ученика сведений относительно данного понятия и превращение их в обобщенную единицу знания. Иными словами, развернутый на предыдущих фазах субъективный образ понятия на этой фазе должен быть представлен в сжатой, концентрированной форме, что на уровне учебного текста может обеспечиваться такими приемами, как создание «бессмысленных» ситуаций (например, вынужденное выполнение длительных, громоздких вычислений), работа с открытыми заданиями типа «Составь рекламу для изучения обыкновенных дробей», составление конспектов, введение жесткого ограничения времени на выполнение определенных заданий, специально составленный список вопросов в конце главы или темы.

Фаза «свертывания», по сути, завершает процесс образования понятийного знания. Этот уровень организации понятийного опыта мы склонны считать основой компетентности как одного из критериев интеллектуальной зрелости. Отметим, что аналогичной точки зрения придерживаются В. А. Крутецкий, рассматривающий эффект «свертывания» как ключевой признак математических способностей (Крутецкий, 1968), а также Дж. Уолтерс и X. Гарднер, объясняющие экстраординарные интеллектуальные достижения эффектом «кристаллизации» индивидуального опыта (Walters, Gardner, 1986).

Наконец, необходимо иметь в виду, что образование понятий осуществляется не только за счет усвоения некоторой нормативной системы знаний об окружающей действительности, но и на основе интеллектуальной самодеятельности ученика. Учебный текст должен «отпускать» ученика вперед, давать ему возможность самостоятельно формулировать правила, выделять существенные признаки понятий, искать области применения понятий и т. п. И тогда выясняется, что дети гораздо умнее, чем нам кажется (Михалькова, 2002).

Следовательно, в учебном тексте должны быть предусмотрены такие формы организации учебной информации, которые позволяют ученику самостоятельно участвовать в процессе рождения нового понятия, пересматривать его содержание по мере углубления представлений о соответствующих математических объектах вплоть до самостоятельна ного выстраивания нового понятия на базе некоторых исходных понятийных знаний.

Таким образом, при конструировании учебных текстов в «обогащающей модели» учитывались четыре аспекта процесса образования понятий:

• • формирование основных компонентов понятийных психических структур (способов кодирования информации, когнитивных схем, семантических структур, признаков понятий и межпонятийных связей);
• • представленность в тексте декларативных и процедурных знаний;
• • последовательность предъявления учебного материала, которая выстраивается с учетом требования пофазового формирования субъективного образа содержания понятия;
• • предоставление учащимся возможности самостоятельно участвовать в процессе усвоения понятий.