Математическая сущность золотого сечения

Рассмотрим рисунок 1. Отрезок прямой АВ можно разделить точкой C на две части следующими способами:

• · на две равные части АВ: АC = АВ: ВC;
• · на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют), таким образом, когда АВ: АC = АC: ВC.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Алгебраически «золотое сечение можно выразить следующим образом: AB: AC = AC: (AB — AC), откуда AC = AB: 2 (v5 — 1)? 0,62 AB. Число 0,62 обозначено буквой ц, в честь древнегреческого скульптора Фидия.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0,618…, если C принять за единицу, А = 0,382…

Золотое сечение тесно связано с числами Фибоначчи. Числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Рассмотрим взаимосвязь «золотого сечения с числами Фибоначчи.

Числа, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность — последовательностью Фибоначчи. Суть последовательности Фибоначчи в том, что начиная с 1, 1 следующее число получается сложением двух предыдущих.

Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61 803 398 875… и через раз то превосходящая, то не достигающая его.

Широкое распространение получили т.н. «золотые фигуры», имеющие в своей основе «золотое сечение».

Прямоугольник с «золотым» отношением сторон стали называть «золотым прямоугольником». Он также обладает интересными свойствами. Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.

«Золотой треугольник» — это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1.618.

Есть и «золотой кубоид» — это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.

В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются «золотыми треугольниками». Внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма — первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, её только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов — пентаграмма — стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

«Лотарингский крест», служивший эмблемой «Свободной Франции» (организация, которую в годы второй мировой войны возглавлял генерал де Голль), составлен из тринадцати единичных квадратов. Установлено, что прямая, делящая площадь «лотарингского креста» на две равные части, делит его в золотом отношении.

Последовательно отсекая от «золотых прямоугольников» квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, можно получить довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали. В настоящее время «спираль Архимеда» широко используется в технике. В гидротехнике по «золотой спирали» изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря этому напор воды используется с наибольшей производительностью.

Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил — тяготении и инерции. Золотая пропорция — это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте «золотого сечения».

«Золотую спираль» также можно заметить в созданиях природы.

Например, расположение семечек в корзине подсолнечника. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнечника закручено 13 спиралей, в другую — 21. Отношение 13: 21 — отношение Фибоначчи. У более крупных соцветий подсолнечника число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу .

Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. По золотой спирали свёрнуты раковины многих моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям.

Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом. По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы.

Одним из первых проявлений золотого сечения в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571−1630). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.

В 1850 г. немецкий учёный А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138°. Величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении.