Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором M_{i j} элемента a_{i j} определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента a_{i j} определителя d называется его минор M_{i j}, взятый со знаком (-1) ^{i + j}. Алгебраическое дополнение элемента a_{i j} будем обозначать A_{i j}. Таким образом,.

A_{i j} = (-1) ^{i + j} M_{i j}.

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки.

d = a_i 1 A_i 1 + a_i 2 A_i 2 +… + a_{i n} A_{i n} (i =).

или jго столбца.

d = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} +… + a_{n j} A_{n j} (j =).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Пример 2.4. Не вычисляя определителя.

.

показать, что он равен нулю.

Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель.

.

равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель.

.

в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.

Пример 2.5. Вычислить определитель.

D = ,.

разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

D = a₁₂A₁₂ + a₂₂A₂₂+a₃₂A₃₂=.

.

Пример 2.6. Вычислить определитель.

.

в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Решение. Разложим определитель, А по первой строке:

.

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:

.

И так далее. После n шагов придем к равенству.

A = а₁₁ а_22.. a_nn.

Пример 2.7. Вычислить определитель.

.

Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель:

.

равный исходному.

Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т. е. n! Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.