Примеры решения задач

6.1.1. Зависимость смещения пружинного маятника от времени дг (/) = Asin (7tf+ я/4) Найти частоту, период, амплитуду скорости и ускорения, а также смещение, скорость и ускорение в момент t = 1 /2 с при А = 2 см. Решение. Циклическую частоту определяем, сравнивая данную зависимость с общим решением (раздел 6.1.2):

Период и частоту колебаний найдем из их связи с циклической частотой.

Амплитуда скорости и ускорения определяются из выражений для них. приведенных в конце того же раздела.

Смещение, скорость и ускорение в момент / = ½ с вычисляем, подставляя этот момент в формулы для указанных величин.

Знак «минус» перед ускорением и скоростью означает, что они направлены в сторону, противоположную положительному направлению оси х.

6.1.2. Найти моменты времени, когда кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся системы одинаковы. Начальная фаза <�р₀ = 0. Решение. Приравняем друг другу выражения для кинетической и потенциальной энергии пункта 6.1.4. Тогда для искомых моментов получаем.

Сокращая общие слагаемые и сомножители, получим тригонометрическое уравнение.

решение которого имеет вид.

Первый момент после начала колебаний, когда два вида энергии станут одинаковыми /о = я/4соо.

6.1.3. Найти собственную частоту вертикальных колебаний льдины в форме параллелепипеда с высотой Н.

Решение. Когда льдина находится в равновесии, сила тяжести компенсируется силой Архимеда (см. рисунок). Направим ось х вертикально вверх и поместим нуль отсчета в центр масс льдины.

Если ее отклонить от положения равновесия, погрузив на дополнительную глубину х, сила Архимеда превысит силу тяжести на величину р_BSgx_y где р_в — плотность воды, S — площадь основания льдины, g — ускорения свободного падения. Массу льдины можно представить в виде т = р_nSH, где р_л — плотность льда. Следовательно, второй закон Ньютона для этой льдины имеет вид.

Но это уравнение в точности совпадает с уравнением свободных гармонических колебаний, причем роль собственной частоты играет величина.

Именно с такой частотой льдина колеблется в вертикальной плоскости.

6.1.4. Найти частоту колебаний жидкости в сообщающихся сосудах. Высота столбиков жидкости в состоянии равновесия /?.

Решение. Возвращающая сила при колебаниях жидкости в сообщающихся сосудах возникает потому, что вес одного из столбиков превышает вес другого. Как видно из рисунка, эту силу можно представить в виде.

где Am — разность масс столбиков, р — плотность жидкости, S — площадь горизонтального сечения каждой трубки, х — отклонение верхнего столбика от равновесного уровня, принятого за нуль (нижнего соответственно -.г). Следовательно, второй закон Ньютона для жидкости в сосудах.

Если теперь учесть, что массу жидкости в обоих сосудах можно записать в форме т = 2рSh, то уравнение преобразуется к обычному для свободных колебаний виду.

из которого сразу следует, что циклическая частота колебаний жидкости.

6.1.5. Зависимости смещения от времени для тела, участвующего в двух колебательных процессах, имеют вид.

Написать эту зависимость для суммарного процесса и построить векторные диаграммы всех процессов.

Решение. Циклическая частота обоих колебаний одинакова и равна 4л. Согласно разделу 6.1.4, сумма одинаково направленых колебаний одинаковой частоты — колебание гой же частоты, так что.

и осталось определить амплитуду и начальную фазу суммарного процесса. Эти величины, согласно разделу 6.1.5, определяются сдвигом фаз складываемых колебаний Д (р. Чтобы его найти, уравнения колебаний необходимо привести к единообразному виду. Для этого, например, можно преобразовать уравнение 2-го процесса

Видим теперь, что Д (р = 2тс/3 — л/6 = л/2. Строим векторные диаграммы складываемых и суммарного процессов (см. рисунок). Удобно принять фазу, соответствующую горизонтальной оси, за начальную фазу первого колебания. Тогда вектор первого колебания совпадет с горизонтальной. а второго — с вертикальной осью, так что амплитуда суммарного колебания определится просто по теореме Пифагора.

Из треугольника 0А41 на том же рисунке видно, что суммарное колебание опережает первое по фазе на, а = arctg (2/4) % л/7. Следовательно, начальная фаза результирующего колебания.

Разумеется, те же результаты для А и ф можно было получить, непосредственно применяя формулы раздела 6.1.6, но метод векторных диаграмм обладает несомненным преимуществом наглядности. Итак, результат сложения исходных колебаний.

6.1.6. Материальная точка участвует в двух колебательных процессах во взаимно ортогональных направлениях, смещения в которых имеют вид.

Найти траекторию точки.

Решение. Подобно предыдущему разделу, для определения разности фаз приводим уравнения колебаний к единому виду.

Теперь с помощью формулы раздела 6.1.7 заключаем, что уравнение траектории точки имеет вид.

т.е. это прямая, расположенная во 2-й и 4-й четвертях под углом 45° к оси абсцисс.

6.1.7. Математический маятник длиной (. за время t совершил N полных колебаний. Определить коэффициент и логарифмический декремент затухания, а также время релаксации системы. За какое время энергия колебаний уменьшится в 100 раз?

Решение. Период колебаний маятника составляет Т = t/N, а частота собственных колебаний, согласно разделу 6.1.3, соо = fgjl. Используя выражение раздела 6.1.8 для частоты затухающих колебаний, получаем.

— коэффициент затухания. Время релаксации.

а логарифмический декремент затухания.

Для определения времени затухания колебаний пользуемся формулой для энергии из того же раздела.

Таким образом, время уменьшения энергии в НК) раз не слишком отличается от времени релаксации. Поэтому при простых оценках полагают, что время затухания колебаний равно времени релаксации.

6.1.8. Через сколько полных периодов колебания затухнут, если их частота на 1 % меньше частоты свободных колебаний той же системы? Решение. Согласно предыдущей задаче считаем, что время затухания колебаний — это время релаксации t = 1/р. По условию, о, = 0,99соо.

так что из формулы для частоты затухающих колебаний раздела 6.1.7 получаем для коэффициента затухания р² = 0.02о>о => р = 0,141 сооЗа время релаксации амплитуда уменьшается в е раз, так что.

• — т. е. колебания затухнут практически сразу, за время, чуть большее одного периода.
• 6.1.9. Масса деревянного моста т, жесткость мостовых опор к, длина шага марширующих солдат L При какой скорости v передвижения солдат мост раскачивается особенно сильно, если затухание пренебрежимо мало?

Решение. Как следует из раздела 6.1.8, при малом затухании резонансное усиление амплитуды колебаний происходит при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой системы. Ясно, что частота вынуждающей силы, т. е. число шагов в секунду v_B = v/i, а собственная частота колебаний моста Vo = yjk/m/ln. Приравнивая частоты. получаем для скорости.

Отметим, что в истории известен случай, когда марширующая в ногу рота солдат обрушила деревянный мост.

6.1.10. Сравнить воздействие на систему постоянной и переменной внешних сил, если коэффициент затухания в 1000 раз меньше собственной частоты системы.

Решение. Результат воздействия постоянной силы на колебательную систему определим из выражения для амплитуды раздела 6.1.8, полагая частоту вынуждающей силы со_в равной нулю.

Переменная сила оказывает на систему наибольшее воздействие при резонансе. Формула для резонансной амплитуды того же раздела дает (пренебрегаем величиной р² на фоне coq).

Таким образом видим, что Л_р/Ло = о>о/2р = 500. Отсюда можно понять, насколько циклические нагрузки на промышленные изделия и геологические объекты опаснее и разрушительнее стационарных.

Задачи для самостоятельного решения

6.1.11. Смещение материальной точки при гармоническом колебании.

Найти его фазу.

a) 5;

b) 4л/;

c) 4л/ + л/6;

d) л/6;

e) sin (47c/ -Ьл:/6).

6.1.12. Как изменится полная энергия колебаний пружинного маятника при уменьшении массы груза в 4 раза?

a) увеличится в 4 раза;

b) увеличится в 2 раза;

c) не изменится;

d) уменьшится в 2 раза;

e) уменьшится в 4 раза.

6.1.13. Сила тяжести на Марсе примерно в 2,5 раза меньше, чем на Земле. Как будут идти на Марсе маятниковые часы?

a) будут спешить;

b) будут идти правильно;

c) будут отставать;

d) вообще остановятся;

e) однозначного ответа дать нельзя.

• 6.1.14. Из колебаний с приведенными зависимостями смещения от времени
• 1) x® = 2sin (2/ + л/3),
• 2) x (/) = 2sin (/ + n/3),
• 3) *(/) = 4sin (2/ + л),
• 4) *(/) = 2sin (3/ -1- л) когерентными являются

a) 1 и 2;

b) 1 и 3;

c) 1 и 4;

d) 2 и 3;

e) 2 и 4.

6.1.15. Частота вынуждающей силы 4. а частота собственных колебаний 2. Уравнение вынужденных колебаний может иметь вид.

a) x (t) = 2 sin 21;

b) jt (f) = 2sin (2/-f-rc/6);

c) x (t) = 2sin2f + 3sin4f;

d) x (t) = 3exp (-0.01/)sin4/;

e) x (t) = 3 sin (4/ + n/6).

6.1.16. Энергия затухающих колебаний за 2 c уменьшилась в 5 раз. За сколько времени она уменьшится в 25 раз?

a) за 4 с;

b) за 5 с;

c) за 8 с;

d) за 10 с;

e) за 25 с.

6.1.17. Какая пара векторов на рис. 6.9 изображает синфазные колебания?

a) 1 и 2;

b) 1 и 3;

c) 1 и 4;

d) 2 и 3;

e) 2 и 4.

6.1.18. Какая пара векторов на рис. 6.9 изображает колебания в противофазе?

a) 1 и 2;

b) 1 и 3;

c) 1 и 4;

d) 2 и 3;

e) 2 и 4.

Рис. 6.9.

6.1.19. Смещение колеблющейся точки х (г) = 4sin (2;t/-rc/6). Ускорение в момент 2 секунды составит.

a) 2;

b) 8л;

c) 4 Узк;

d) 8л²:

e) -16л².

6.1.20. Смещения материальной точки, участвующей в двух одинаково направленных колебаниях имеют вид x (t) = 4 sin л/ и Х2(/) = 3sin (7ir + л/2). Определить смещение суммарного колебания.

a) *(/) = ят (л/ + arctg¾);

b) х(/) = 3 sin (л/-f arctg¾);

c) *(/) = 4sin (Tt/ -Ь arctg¾);

d) *(/) = 5 sin^/ -h arctg¾);

e) *(/) = 7sin (7tf + arctg¾).