Использование законов и свойств арифметических действий при формировании вычислительных навыков

ДипломнаяПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Рассматриваемый прием вычислений настолько прост, что обычно не вызывает затруднений у детей. Однако при возникновении затруднений у отдельных учащихся необходимо вернуться к соответствующим устным пояснениям, а если понадобится, то и к иллюстрации. Работа над рассматриваемыми случаями сложения и вычитания служит делу закрепления знания нумерации в пределах 100, табличного сложения и вычитания… Читать ещё >

Использование законов и свойств арифметических действий при формировании вычислительных навыков (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Министерство образования и науки РФ
Комитет по образованию Администрации Волгоградской области
ГОУ СПО «Михайловкой профессионально-педагогический колледж»
Специальность «Преподавание в начальных классах»
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗАКОНОВ И СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ
Выпускная квалификационная работа
Выполнила:
Студентка группы 42 н
Горбунова Е.С.
Руководитель:
Макарова Л.М.
г. Михайловка, 2011
Оглавление
Введение
Глава 1. Теоретический аспект изучения законов и свойств арифметических действий в начальной школе
1.1 Проблема формирования вычислительных навыков младших школьников в современных условиях
1.2 Теоретические основы законов и свойств арифметических действий
1.3 Методика изучения законов и свойств арифметических действий в традиционной и вариативных программах обучения начальной школы
Выводы по 1 главе
Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по формированию вычислительных навыков при изучении законов и свойств арифметических действий в начальной школе
2.1 Диагностика уровня сформированности вычислительных навыков младших школьников при изучении законов и свойств арифметических действий
2.2 Методические приемы, направленные на изучение законов и свойств арифметических действий
Выводы по 2 главе
Заключение
Список литературы
Приложение
Введение
вычислительный навык арифметический школьник
Одной из целей федерального компонента государственного стандарта начального образования является «освоение системы знаний, умений и навыков, опыта осуществления разнообразных видов деятельности».
Содержание, система и основные методические направления работы, связанной с изучением арифметических действий в начальных классах, определены программой. Из требований программы вытекают следующие задачи:
· Довести до сознания детей смысл рассматриваемых действий, научить их правильно выбирать нужное арифметическое действие при решении различных простых задач.
· На доступном для младших школьников уровне и в доступной для них форме познакомить их с теми свойствами рассматриваемых действий, которые являются теоретической основой изучаемых приёмов устных и письменных вычислений. Научить применять изученные свойства в разнообразных условиях, используя соответствующие знания в целях рационализации вычислений, а также в целях отыскания наиболее рационального способа решения задач.
· Обеспечить сознательное и прочное усвоение детьми основных приёмов устных и письменных вычислений, умение сознательно выбирать такие из известных приёмов вычислений, которые более всего отвечают особенностям каждого конкретного примера.
· Сформировать у детей сознательные и прочные навыки быстрых и правильных вычислений.
Для успешного решения каждой из этих конкретных задач курса необходимо не только определить содержание и систему соответствующих упражнений, но целесообразно использовать различные методы обучения.
Приём вычисления над числами складывается из ряда последовательных операций, выполнение которых приводит к нахождению результата требуемого арифметического действия над этими числами; причём выбор операций в каждом приёме определяется теми теоретическими положениями, которые используются в качестве теоретической основы.
Приобрести вычислительный навык — значит, для каждого случая знать какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро. В качестве сформированности полноценного вычислительного навыка можно выделить следующие критерии: правильность, осознанность, рациональность, обобщённость, автоматизм и прочность. Вместе с тем, учитывая, что ученик при выполнении вычислительного приёма должен отдавать отчёт в правильности и целесообразности каждого выполненного действия, то есть постоянно контролировать себя, соотнося выполняемые операции с образцом — системой операций, относится к основным критериям и степень овладения умением контролировать себя при выполнении вычислительного приёма.
Проблема формирования у учащихся вычислительных умений и навыков всегда привлекала особое внимание психологов, дидактов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования Е. С. Дубинчук, А. А. Столяра, С. С. Минаевой, Н. Л. Стефановой, Я. Ф. Чекмарева, М. А. Бантовой, М. И. Моро, Н. Б. Истоминой, С. Е. Царевой и др.
Формирование у младших школьников вычислительных навыков остаётся одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы при изучении арифметических действий.
Действующие на сегодняшний день программы по математике обеспечивают достаточный уровень формирования вычислительных навыков школьников. Изучение вычислительного приема происходит после того, как школьники усвоят его теоретическую основу (определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них).
В большинстве случаев уже в начальных классах школы для нахождения результата арифметического действия можно использовать в качестве теоретической основы различные теоретические положения, что приводит к разным приёмам вычислений.
Осознание смысла действий, существующих между ними связей, зависимости между компонентами и результатами действий может быть обеспечено только в том случае, если рассмотрение этих теоретических вопросов будет вестись на прочной базе собственного опыта детей. При этом следует учитывать, что речь здесь должна идти не только о жизненном опыте, приобретаемом детьми в ходе разнообразных практических действий с предметами, но и об опыте, накапливаемом при изучении математики в школе.
В связи с этим актуальной является тема выпускной квалификационной работы «Использование законов и свойств арифметических действий при формировании вычислительных навыков».
Объект исследования — учебно-воспитательный процесс в начальной школе.
Предмет исследования — изучение законов и свойств арифметических действий при формировании вычислительных навыков на уроках математики.
Цель исследования — разработать эффективные приемы формирования вычислительных навыков при изучении законов и свойств арифметических действий.
Задачи исследования:
1. Рассмотреть проблемы формирования вычислительных навыков в современных условиях.
2. Проанализировать методику изучения законов и свойств арифметических действий.
3. Отобрать содержание и методические приёмы, используемые при изучении законов и свойств арифметических действий.
4. Провести диагностику сформированности вычислительных навыков у младших школьников.
5. Показать практическую применимость рассматриваемых положений на школьных уроках математики в начальной школе.
Гипотеза — если при изучении законов и свойств арифметических действий использовать дидактический материал, упражнения развивающего характера, то уровень сформированности вычислительных навыков младших школьников повысится.
Методы исследования:
· теоретический (анализ методической литературы, моделирование);
· эмпирический (диагностирующие, формирующие эксперименты, изучение письменных работ учащихся, наблюдение; беседа).
· математическая обработка результатов.
База исследования: МОУ Стеженская СОШ Алексеевского района Волгоградской области, 2 класс.
Структура работы состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложения.
Общий объем работы. Работа состоит из 78 страниц.
Глава 1. Теоретический аспект изучения законов и свойств арифметических действий в начальной школе
1.1 Проблема формирования вычислительных навыков младших школьников в современных условиях
Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года определяет цели общего образования на современном этапе. Она подчеркивает необходимость «ориентации образования не только на усвоение обучающимся определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных способностей». Одной из основных задач обучения математике в школе является формирование у школьников сознательных и прочных вычислительных навыков, которые являются основополагающим элементом вычислительной культуры человека.
Сегодня всё меньше и меньше внимания в новых экспериментальных и вариативных учебниках по математике уделяется формированию у учащихся вычислительных навыков, как устных, так и письменных. Постепенно снижается подготовленность детей в данном направлении: возрастает число ошибок в определении порядка действий в выражениях, снижается уровень сформированности умения решать текстовые задачи (в частности за счёт ухудшения техники чтения, вычислительных умений). В связи с этим, одной из основных задач обучения школьников математике является повышение вычислительной культуры учащихся на всех ступенях обучения в образовательном учреждении и в первую очередь в начальной школе [Бантова 1995: 39].
О.А. Ивашова под вычислительной культурой школьников понимает учебную вычислительную деятельность, ориентированную на развитие личности ученика в процессе осмысленного овладения ее содержанием (знаниями и умениями математического и общекультурного характера), организованную с учетом социальных условий и характеристик необходимой обществу культуры.
Формирование вычислительной культуры младшего школьника влияет на повышение его общей культуры. Поэтому очень важно на начальных этапах обучения развивать речь ребенка, научить методам и приемам устных и письменных вычислений, намечать план решения задач и самостоятельно выполнять этот план, контролируя и оценивая свою деятельность. Но решение данных задач возможно лишь в специальных условиях, способствующих развитию мышления учащихся в процессе обучения математике и формированию вычислительной культуры учащихся.
Вычислительная культура является тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение, является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин.
Формирование у школьников 1−4 классов вычислительных навыков остается одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы как в практической жизни человека, так и в учении.
Эти навыки должны формироваться осознанно и прочно, так как на их базе строиться весь начальный курс обучения математике предусматривает, формирование вычислительных навыков на основе сознательн6ого использования приемов вычислений. Последнее становится возможным благодаря тому, что в программу включено знакомство с некоторыми важнейшими свойствами арифметический действий и вытекающими из них следствиями.
Из исследований прошлых лет наибольшим авторитетом пользуются работы М. А. Бантовой. Обратимся к ее статье «Система формирования вычислительных навыков», опубликованной дважды в журнале «Начальная школа» (№ 10, 1975 и № 11, 1993).
М.А. Бантова определила вычислительный навык как высокую степень овладения вычислительными приемами. «Приобрести вычислительные навыки — значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро». [Бантова, с.39]
О сформированности любого умственного действия можно говорить лишь тогда, когда ученик сам, без вмешательства со стороны, выполняет все операции, приводящие к решению.
М.А. Бантова выделяет следующие характеристики полноценного вычислительного навыка: правильность, осознанность, рациональность, обобщенность, автоматизм и прочность. [Бантова, 1995: 39]
Правильность — ученик правильно находит результат арифметического действия, то есть правильно выбирает и выполняет операции, составляющие приём.
Осознанность — ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения, в любой момент может объяснить как он решал и почему так можно решать.
Рациональность — ученик выбирает для данного случая более рациональный приём, то есть выбирает те из возможных операций, выполнения которых легче других и быстрее приводит к результату.
Обобщенность — ученик может применить приём вычисления к большому числу случаев, то есть способен перенести приём вычисления на новые случаи.
Автоматизм — ученик выполняет и выделяет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций.
Высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям сложения и вычитания, умножения и деления.
Прочность — ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.
Традиционная методика не ориентирует на обобщение и выделение способа действия вне ситуации конкретного примера, то есть не даются схемы ориентировочной основы формируемого действия. Предлагаемые М. А. Бантовой и другими методистами этапы формирования вычислительного приёма по содержанию не соответствуют основным этапам теории П. Я. Гальперина.
Учитывая это, мы, сохраняя в основном название этих этапов, предлагаем изменить содержание, методы и средства так, чтобы включить в эти четыре этапа описанную П. Я. Гальпериным систему поэтапного формирования умственных действий.
Первый этап — актуализация опорных знаний. Его цель — обеспечение необходимых условий для усвоения вычислительного приёма. Такими условиями следует считать знания, необходимые для выполнения вычислительного приёма.
Первая учебная ситуация — выявление условий, необходимых для выполнения арифметических действий. Цель — диагностика освоенности тех опорных знаний, из которых будет строиться вычислительный приём. Если результаты диагностики покажут, что уровень осознанности этих знаний недостаточно высок, то в процессе обучения следует включить вторую учебную ситуацию.
Вторая учебная ситуация — подготовка к усвоению вычислительного приёма. Цель — помочь учащимся усвоить те теоретические положения, на которых основывается вычислительный приём. Для этого необходимо проанализировать приём и установить, какими знаниями должен овладеть ученик и какие вычислительные навыки должны быть сформированы на данный момент.
Второй этап — введение вычислительного приёма. Цель данного этапа состоит в том, чтобы помочь детям построить полную развёрнутую ориентировочную основу вычислительного приёма.
Третья учебная ситуация — введение ориентировочной основы. Цель — усвоение детьми сути приёма, то есть того, какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия. Ведущая роль на данном этапе принадлежит учителю. Он организует поиск способа, помогает детям анализировать, сравнивать разные возможные способы действия, направляет детей на анализ операционного состава действия, то есть выделяет отдельные шаги в процессе получения конечного результата.
Третий этап — усвоение вычислительного приёма. Цель — формирование умения применять схему ориентировочной основы действия в различных условиях, обеспечивая постепенное свёртывание операций. Учащиеся должны твёрдо усвоить систему операций, составляющих приём, и предельно быстро выполнять эти операции, то есть овладеть вычислительным приёмом.
Четвёртая учебная ситуация. Цель — научить учащихся самостоятельно выполнять все операции, составляющие приём, комментируя выполнение каждой из них вслух.
При этом учитель использует такую форму работы, как совместное выполнение действия в паре. Необходимость в такой работе обусловлена тем, что ребёнок должен осмыслить каждую операцию как отдельную от другой. Кроме того, для формирования полноценного действия необходимо осуществлять контроль за ходом его выполнения.
Внутри данной учебной ситуации для достижения поставленной цели необходимо придерживаться такой последовательности:
— заполнение готовой схемы-опоры (проговаривается каждая операция);
— выполнение приёма с опорой на ООД (проговаривание вслух каждой операции);
— проверочная работа, цель — выявить освоение учениками ООД.
Если результат такой проверки положительный, то следует перейти к следующей учебной ситуации, т. к. не следует задерживаться на данном этапе, чтобы избежать привыкания детей к развёрнутой записи.
Пятая учебная ситуация — частичное свёртывание выполнения операций. Цель — научить детей выделять основные операции в каждом вычислительном приёме. Результатом является проговаривание детьми вслух лишь промежуточных результатов.
Шестая учебная ситуация. Цель — научить детей полному свёртыванию схемы, выполнению операций «в уме».
Дети самостоятельно выполняют задания, обмениваются тетрадями, и проверяют работу друг у друга.
Четвёртый этап — формирование прочных навыков. Цель — создание условия для применения приёма в разнообразных ситуациях и доведение до автоматизма навыка выполнения действия.
Основным средством процесса формирования навыков становятся проверочные, самостоятельные и контрольные работы различного направления [Зайцев, 2005: 48].
Седьмая учебная ситуация. Детям предлагается выполнить серию работ, цель которых — формирование адекватной оценки своего умения применять приём и коррекция работы. Отметки здесь не ставятся, а вводятся знаки «+» и «минус».
Самостоятельная работа проводится после нескольких проверочных работ. Цель самостоятельной работы — промежуточный контроль за окончательным результатом освоения приёма. Задания подбираются разного уровня сложности. Детям предлагается выбрать тот уровень, на котором они хотят и могут работать. По результатам обсуждения итогов такой работы учитель распределяет детей на группы в соответствии с их трудностями в освоении приёма.
1-я группа — дети, не освоившие схему-опору.
2-я группа состоит из детей, которые не могут работать по свёрнутой схеме.
3-я группа — дети, которые не могут выполнять творческие задания, перенос знаний в нестандартных условиях затруднён.
4-я группа детей освоила вычислительный приём.
Восьмая учебная ситуация. Задания дифференцируются по группам:
1-я группа — дети работают в парах, воспроизводится повторно учебная ситуация второго этапа (третья).
2-я группа — повторяются учебные ситуации третьего этапа (четвёртая и пятая).
3-я группа — происходит возвращение на третий и четвёртый этапы (шестая, а затем седьмая учебные ситуации).
4-я группа — выполняются задания творческого характера, применяя приём в разных ситуациях. Детей можно использовать и как помощников учителя.
Таким образом, процесс формирования вычислительных навыков влияет на процесс развития умственной деятельности ребёнка.
Итак, при формировании вычислительных навыков в традиционной системе рассматривается позиция: делай то, что тебе предлагают, чтобы научиться делать это быстро и правильно. Этот путь предполагает сообщение учащимся образца, алгоритма выполнения операций, на основании которого учащиеся многократно её выполняют. В результате такой репродуктивной деятельности достигается запоминание предложенного алгоритма и вырабатывается запланированный навык, при этом дети часто не осознают, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения.
В развивающей системе действует следующая позиция: делай для того, чтобы продвинуться в решении стоящей перед тобой математической проблемы или чтобы обнаружить такую проблему. Таким образом, используется косвенный путь формирования навыков, который предполагает включение учеников в продуктивную творческую деятельность, в самостоятельное установление алгоритма операции. В результате такого подхода к формированию вычислительных навыков дети приобретают прочные и осознанные навыки выполнения математических действий. Когда такая цель достигнута, необходимо перейти к наращиванию скорости выполнения вычислений.
Наиболее разработанной в плане управления процессом обучения является система обучения, основанная на теории поэтапного формирования умственных действий П. Я. Гальперина. Применение этой теории при изучении арифметических действий в начальной школе способствует формированию осознанных и прочных вычислительных навыков.
1.2 Теоретические основы законов и свойств арифметических действий
Подход к сложению целых неотрицательных чисел позволяет обосновать известные законы сложения: переместительный и сочетательный.
Докажем сначала переместительный закон, т. е. докажем что для любых целых неотрицательных чисел, а и b выполняется равенство a + b= b + а.
Пусть, а — число элементов в множестве А, Ь — число элементов в множестве В и, А В=0. Тогда по определению суммы целых неотрицательных чисел, а + b есть число элементов объединения множеств, А и В: а + Ь = п (А//В). Но множество, А В равно множеству В A согласно переместительному свойству объединения множеств, и, Значит, п (АU В) = п (В U А). По определению суммы п (ВиА) = Ь + а, поэтому a+b=b+a для любых целых неотрицательных чисел, а и Ь.
Докажем теперь сочетательный закон, т. е. докажем что для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с выполняется равенство (a + b)+c = a + (b + c).
Пусть, а = п (А), Ь = п (В), с = п©, причем АUВ=0, ВUС=0 Тогда по определению суммы двух чисел можно записать (а+ Ь)+ с = п (А//)В) + п© = п ((АUВUС).
Так как объединение множеств подчиняется сочетательному закону, то n ((AUB)U C) = n (A U (BUC)). Откуда по определению суммы двух чисел имеем п (А J (BUC))=n (А) + п (BU C) = a + (b + с). Следовательно, (а+ Ь)+ с — a+(b + с) для любых целых неотрицательных чисел a, b и с.
Каково назначение сочетательного закона сложения? Он объясняет, как можно находить сумму трех слагаемых: для этого достаточно сложить первое слагаемое со вторым и к полученному числу прибавить третье слагаемое или прибавить первое слагаемое к сумме второго и третьего. Заметим, что сочетательный закон не предполагает перестановки слагаемых.
И переместительный и сочетательный законы сложения могут быть обобщены на любое число слагаемых. При этом переместительный закон будет означать, что сумма не изменяется при любой перестановке слагаемых, а сочетательный — что сумма не изменяется при любой группировке слагаемых (без изменения их порядка).
Из переместительного и сочетательного законов сложения вытекает, что сумма нескольких слагаемых не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.
Вычислим, используя законы сложения, значение выражения 109 + 36+ 191 +64 + 27.
На основании переместительного закона переставим слагаемые 36 и 191. Тогда 109 + 36+191+64 + 27= 109+191+36 + 64 + 27.
Воспользуемся сочетательным законом, сгруппировав слагаемые, а затем найдем суммы в скобках: 109+ 191 +36 + 64 + 27 ==(109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.
Применим еще раз сочетательный закон, заключив в скобки сумму чисел 300 и 100: 300+ 100 + 27 =(300+ 100) + 27.
Произведем вычисления: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.
С переместительным свойством сложения учащиеся начальных классов знакомятся при изучении чисел первого десятка. Сначала оно используется при составлении таблицы сложения однозначных чисел, а затем для рационализации различных вычислений.
Сочетательный закон сложения в начальном курсе математики в явном виде не изучается, но постоянно используется. Так, он является основой приема прибавления числа по частим: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1)+ 1 =4+ 1 =5. Кроме того, в тех случаях, когда надо прибавить число к сумме, сумму к числу, сумму к сумме, сочетательный закон используется в сочетании с переместительным. Например, прибавлять сумму 2+1 к числу 4 предлагается следующими способами:
1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;
4+2+ 1 = 6+1 =7;
4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.
Проанализируем эти способы. В случае 1 вычисления выполнены в соответствии с указанным порядком действий. В случае 2 применено сочетательное свойство сложения. Вычисления же в последнем случае опираются па переместительный и сочетательный законы сложения, причем промежуточные преобразования опущены. Они таковы. Сначала на основании переместительного закона переставили местами слагаемые 1 и 2: 4+(2−1) = 4 + (1+2). Затем воспользовались сочетательным законом: 4 + (1 +2) =(4+ 1) + 2. И, наконец, произвели вычисления согласно порядку действий (4 +1)+ 2 = 5 + 2 = 7.
Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа
Обоснуем известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
Правило вычитания числа из суммы. Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.
Запишем это правило, используя символы: Если а, Ь, с — целые неотрицательные числа, то:
а) при а>с имеем, что (а+Ь) — с = (а — с)+Ь;
б) при Ь>с имеем, что (a+b) — c==a + (b — с);
в) при а>с и Ь>с можно использовать любую из данных
формул.
Пусть, а >с, тогда разность, а —с существует. Обозначим ее через р: а — с =р. Отсюда, а = р+с. Подставим сумму р±с вместо, а в выражение (а+Ь) — с и преобразуем его: (а + 6) —с = (р + c+b) — c = p+b±c — c = p+b
Но буквой р обозначена разность, а —с, значит, имеем (а+Ь) — — с = (а — с)+Ь, что и требовалось доказать.
Аналогично проводятся рассуждения и для других случаев. Приведем теперь иллюстрацию данного правила (случай «а») при помощи кругов Эйлера. Возьмем три конечных множества А, В и С, такие, что п (А) = а, п (В) = Ь, п© = с и AUB=0, СUА. Тогда {a+b) — с есть число элементов множества (AUB)C, а число (а — с)+Ь есть число элементов множества {АС)UВ. На кругах Эйлера множество (АUВ)С изображается заштрихованной областью, представленной на рисунке .
Легко убедиться в том, что множество (АС)UВ изобразится точно такой же областью. Значит, (AUB)C = (AC)UB для данных
множеств А, В и С. Следовательно, п ((АUВ)С) = п ((АС)UВ)и (а + Ь) — с — (а — с)+Ь.
Аналогично можно проиллюстрировать и случай «б».
Правило вычитания из числа суммы. Чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т. е. если а, Ъ, с — целые неотрицательные числа, то при а>Ь+с имеем а—(Ь+с) = (а — Ь)—с.
Обоснование этого правила и его теоретико-множественная иллюстрация выполняются так же, как и для правила вычитания числа из суммы.
Приведенные правила рассматриваются в начальной школе на конкретных примерах, для обоснования привлекаются наглядные изображения. Эти правила позволяют рационально выполнять вычисления. Например, правило вычитания из числа суммы лежит в основе приема вычитания числа по частям:
5−2 = 5-(1 + 1) = (5−1)-1=4−1=3.
Смысл приведенных правил хорошо раскрывается при решении арифметических задач различными способами. Например, задача «Утром ушли в море 20 маленьких и 8 больших рыбачьих лодок. 6 лодок вернулись. Сколько лодок с рыбаками должно еще вернуться?» может быть решена тремя способами:
/ способ. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 — 6 = 22
// способ. 1. 20 — 6=14 2. 14 + 8 = 22
III способ. 1. 8 — 6 = 2 2. 20 + 2 = 22
Законы умножения
Докажем законы умножения, исходя из определения произведения через декартово произведение множеств.
1.Переместительный закон: для любых целых неотрицательных чисел, а и Ъ справедливо равенство a*b = b*a.
Пусть, а = п (А), Ь = п (В). Тогда по определению произведения а*Ь = п{А*В). Но множества А*В н В*А равномощны: каждой паре (а, Ь) из множества АХВ можно поставить в соответствие единственную пару (Ь, а) из множества ВхА, и наоборот. Значит, п (АХВ) = п (ВхА), и поэтому a-b = n {AXB) = n (BXA) = b-а.
2. Сочетательный закон: для любых целых неотрица
тельных чисел а, Ь, с справедливо равенство (а* Ь) *с = а* (Ь*с).
Пусть, а = п (А), b = п (В), с = п ©. Тогда по определению произведения {a-b)-c = n ((AXB)XQ, a a-(bc) = n (AX (BXQ). Множества (АхВ)ХС и, А X {ВХ Q различны: первое состоит из пар вида ((а, Ь), с), а второе — из пар вида (а, (Ь, с)), где аЈА, ЬЈВ, сЈС. Но множества (АХВ)ХС и АХ (ВХС) равномощны, так как существует взаимно однозначное отображение одного множества на другое. Поэтому п{(АХВ) *С) = п {А*(В*С)), и, значит, (а*Ь) *с = а* (Ь*с).
3. Распределительный закон умножения относительно сложения: для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с справедливо равенство (a +b) x c = ac+ be.
Пусть, а — п (А), Ь = п (В), с = п (С)и АUВ= 0. Тогда по определению произведения имеем (a+b) x c = n ((AUB) * C. Откуда на основании равенства (*) получаем п ((А UВ) * С) = п ((А * С) U (В* С)), и далее по определению суммы и произведения п ((А * С) U (В* С)) — = п (А*С) + п (В*С) = ас + Ьс.
4. Распределительный закон умножения относительно вычитания: для любых целых неотрицательных чисел a, b и с и a^b справедливо равенство (а — Ь) с = = ас — Ьс.
Этот закон выводится из равенства (АВ) *С = (А *С)(В*С) и доказывается аналогично предыдущему.
Переместительный и сочетательный законы умножения можно распространить на любое число множителей. Как и при сложении, эти законы часто используются совместно, т. е. произведение нескольких множителей не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.
Распределительные законы устанавливают связь умножения со сложением и вычитанием. На основе этих законов происходит раскрытие скобок в выражениях типа (а+Ь)с и (а — Ь) с, а также вынесение множителя за скобки, если выражение имеет вид ас —be или
ас + Ьс.
В начальном курсе математики изучается переместительное свойство умножения, оно формулируется так: «От перестановки множителей произведение не изменится» — и широко используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел. Сочетательный закон в начальной школе в явном виде не рассматривается, но используется вместе с переместительный при умножении числа на произведение. Происходит это следующим образом: учащимся предлагается рассмотреть различные способы нахождения значения выражения 3* (5*2) и сравнить полученные результаты.
Приводятся случаи:
1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;
2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;
3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.
Первый из них основан на правиле порядка действий, второй — на сочетательном законе умножения, третий — на переместительном и сочетательном законах умножения.
Распределительный закон умножения относительно сложения рассматривается в школе на конкретных примерах и носит название правил умножения числа на сумму и суммы на число. Рассмотрение этих двух правил диктуется методическими соображениями.
Правила деления суммы на число и числа на произведение
Познакомимся с некоторыми свойствами деления натуральных чисел. Выбор этих правил определен содержанием начального курса математики.
Правило деления суммы на число. Если числа, а и Ь делятся на число с, то и их сумма, а + Ь делится на с; частное, получаемое при делении суммы а+Ь на число с, равно сумме частных, получаемых при делении, а на с и Ъ на с, т. е.
(а + Ь): с = а: с + b: с.
Доказательство. Так как, а делится на с, то существует такое натуральное число т = а: с, что, а = с-т. Аналогично существует такое натуральное число п — Ь: с, что Ь = с-п. Тогда а+Ь = = c-m + c-/2 = c-(m + n). Отсюда следует, что а+Ь делится на с и частное, получаемое при делении а+Ь на число с, равно т+п, т. е. а: с+Ь:с.
Доказанное правило можно истолковать с теоретико-множественных позиций.
Пусть, а = п{А), Ь = п (В), причем АГВ=0. Если каждое из множеств, А и В можно разбить на с равномощных подмножеств, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение.
При этом если в каждом подмножестве разбиения множества, А содержится а: с элементов, а в каждом подмножестве множества В содержится Ь: с элементов, то в каждом подмножестве множества А[)В содержится а: с+Ь:с элементов. Это и значит, что (а + Ь): с = а: с + Ь: с.
Правило деления числа на произведение. Если натуральное число, а делится на натуральные числа Ъ и с, то, чтобы разделить, а на произведение чисел Ъ и с, достаточно разделить число, а на b © и полученное частное разделить на с (Ь): а:(Ь * с) —(а: Ь): с = (а:с): Ь Доказательство. Положим (а:Ь):с = х. Тогда по определению частного а: Ь = с-х, отсюда аналогично, а — Ь-(сх). На основании сочетательного закона умножения, а = (Ьс)-х. Полученное равенство означает, что а:(Ьс) = х. Таким образом, a:(bc) = (a:b):c.
Правило умножения числа на частное двух чисел. Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель, т. е.
a-(b:c) = (a-b):c.
Применение сформулированных правил позволяет упростить вычисления.
Например, чтобы найти значение выражения (720+ 600): 24, достаточно разделить на 24 слагаемые 720 и 600 и полученные частные сложить:
(720+ 600): 24 = 720:24 + 600:24 = 30 + 25 = 55. Значение выражения 1440:(12* 15) можно найти, разделив сначала 1440 на 12, а затем полученное частное разделить на 15:
1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.
Указанные правила рассматриваются в начальном курсе математики на конкретных примерах. При первом знакомстве с правилом деления суммы 6 + 4 на число 2 привлекаются иллюстративный материал. В дальнейшем это правило используется для рационализации вычислений. Правило деления числа на произведение широко применяется при делении чисел, оканчивающихся нулями.
1.3 Методика изучения законов и свойств арифметических действий в традиционной и вариативных программах обучения начальной школы
Одним из возможных методических подходов к реализации новой программы по математике является обучение сложению в пределах 100 на основе иного подхода к использованию сочетательного, а затем и переместительного свойства сложения.
В учебнике математики для IV класса (Н. Я. Виленкин и др.) сказано: «В выражении, а + Ь + с действия выполняют по порядку слева направо. Если же воспользоваться сочетательным законом, то можно сначала сложить второе и третье слагаемые, а затем к первому слагаемому прибавить полученную сумму» (стр. 71).
Использование сочетательного закона дает возможность обосновать вычислительные приемы для многих случаев сложения, например, 26+3=20+6+3=20+9=29, 18+7=10+8+7=10+15= = 10+10+5 = 20+5=25 и др.
Вычитание по частям является приемом обратным прибавлению по частям, который основан на использовании сочетательного свойства сложения.
Вычитание из части уменьшаемого связано с сочетательным свойством сложения, согласно которому можно рядом стоящие слагаемые объединить в любые группы, а следовательно, если из суммы вычесть одно из слагаемых, то останутся другие слагаемые.
Изложенные соображения о значении сочетательного закона сложения для обоснования приемов сложения могут быть положены в основу методики обучения первоклассников вычислительным приемам.
Опыт ознакомления учащихся с сочетательным свойством сложения и его использованием при вычислениях был проведен по следующему плану:
Подготовка к изучению сочетательного свойства сложения.
Ознакомление детей с сочетательным свойством сложения.
Обоснование приемов сложения и вычитания на основе сочетательного свойства сложения.
Сложение и вычитание рассматриваются в таком порядке.
В 1 классе сначала изучается сложение и вычитание разрядных чисел (70+20, 60−40). Затем рассматривается свойство прибавления числа к сумме, пользуясь которым и ранее усвоенными знаниями вводятся приемы для случаев: 46+20, 46+2. Здесь же, используя прием перестановки слагаемых, рассматривают случай 2+46. Далее изучается свойство вычитания числа из суммы и приемы для случаев: 48−30, 48−3 и 40−3. Следующим рассматривается свойство прибавления суммы к числу, на основе которого раскрываются табличные случаи сложения с переходом через десяток (9+3). Вслед за этим изучается свойство вычитания суммы из числа и табличные случаи вычитания (12*5). Наконец, рассматриваются парами приемы сложения и вычитания, основанные на двух последних свойствах: 47+9 и 47−9; 30+12 и 30−12; 65+14 и 65−14; 36+19 и 36−19. Во 2 классе изучаются свойства прибавления суммы к сумме и вычитания суммы из суммы, на основе которых вводятся приемы поразрядного сложения и вычитания.
Рассмотрим подробнее методику изучения свойств и вычислительных приемов.
Сложение и вычитание двузначных разрядных чисел сводится к сложению и вычитанию однозначных чисел, которые выражают число десятков. Например, чтобы к 50 прибавить 30, достаточно к 5 десяткам прибавить три десятка, получится 8 десятков, или 80, а чтобы из 5 десятков вычесть три десятка, получится 2 десятка, или 20. Объяснение решения двух-трех примеров сопровождается иллюстрацией и такой записью
70+20 60−40
7дес.+2дес.=9дес. 6дес.-4дес.=2дес.
70+20=90 60−40=20
Рассматриваемый прием вычислений настолько прост, что обычно не вызывает затруднений у детей. Однако при возникновении затруднений у отдельных учащихся необходимо вернуться к соответствующим устным пояснениям, а если понадобится, то и к иллюстрации. Работа над рассматриваемыми случаями сложения и вычитания служит делу закрепления знания нумерации в пределах 100, табличного сложения и вычитания в пределах 10. Поэтому упражнения такого вида полезно включать и в дальнейшем. На последующих двух-трех уроках, ученики проговаривают объяснение вслух, а затем про себя. Это тем более важно, что для успешного усвоения следующих приемов вычислений соответствующие навыки должны быть уже достаточно отработанными.
Следующий шаг в работе над темой — ознакомление с различными способами прибавления числа к сумме. Остановимся подробнее на методике соответствующей работы, поскольку то, что относится к рассмотрению этого свойства, в полной мере может быть отнесено и ко всем другим.
Введению свойства прибавления числа к сумме должна предшествовать специальная подготовительная работа, в результате которой учащиеся знакомятся с математическими выражениями «сумма чисел…» и «разность чисел…», учатся читать и записывать выражение со скобками, заменять двузначные неразрядные числа суммой их разрядных слагаемых. Эти вопросы рассматриваются при изучении сложения и вычитания чисел в пределах 10 и нумерации чисел в пределах 100.
Изучение каждого свойства строится примерно по одному плану: сначала, используя наглядные пособия, надо раскрыть суть самого свойства, затем научить детей применять его при выполнении различных упражнений учебного характера, и, наконец, научить, пользуясь знанием свойства, находить рациональные приемы вычислений с учетом особенностей каждого конкретного случая.
Рассмотрим, как можно провести ознакомление детей со свойством прибавления числа к сумме.
Раскрывая суть свойства, надо показать детям, что число к сумме можно прибавить различными способами: можно вычислить сумму и к полученному результату прибавить число, можно прибавить число ко второму слагаемому и полученный результат сложить с первым слагаемым.
Покажем, как это можно сделать.
Учитель пишет на доске выражение (5+3)+2.
Прочитайте пример. (К сумме чисел 5 и 3 прибавить 2).
Назовите сумму. (5+3.) Назовите первое слагаемое этой суммы. (5.)
Назовите второе слагаемое. (3.) Назовите число, которое надо прибавить к этой сумме. (2.) Как найти результат? (Вычислю сумму, получится 8; прибавлю 2, получится 10.)
На доске запись: (5+3)+2=8+2=10.
Учащиеся неоднократно уже встречались с заданиями такого вида. Поэтому сама задача — вычислить значение выражения вида: (5+3)+2 — для детей не нова. Рассмотрение различных способов решения психологически не может быть оправдано в данном случае и какой-либо выгодой в отношении большей легкости одного из этих способов, так как после усвоения таблицы сложения все эти способы одинаково просты для детей. Постановку задачи рассмотрения различных способов прибавления числа к сумме можно, конечно, объяснить просто указанием на то, что знание этих способов пригодится в дальнейшем.
Учитель вывешивает на доске рисунки двух гаражей и предлагает двум ученикам приготовить прямоугольники голубого, зелёного и красного цветов, вырезанные из бумаги.
Это гаражи. Число машин в первом гараже будет изображать первое слагаемое. Сколько машин надо поставить в первый гараж? (5.)
Учитель вставляет в прорези 5 машин голубого цвета, вырезанные из картона, а учащиеся раскладывают на партах 5 голубых прямоугольников.
Число машин во втором гараже будет изображать второе слагаемое. Сколько машин поставим во второй гараж? (3.)
Учитель «ставит» во второй гараж 3 зелёные машины, а дети раскладывают на партах 3 зелёных прямоугольника.
Приехали ещё 2 машины (прикрепляют к доске 2 красные машины, а учащиеся кладут на парту 2 красных прямоугольника).
На доске располагаются рисунки.
Красные машины надо поставить в гараж. В какой гараж их можно поставить? (В первый или во второй). Поставим их в первый гараж. (Учитель «ставит» машины в первый гараж, а дети придвигают красные прямоугольники к голубым.) Как теперь узнаем, сколько всего машин? (К 5 прибавить 2, получится 7, ещё прибавить 3, получится 10.) Да, число 2 мы прибавим к 5, первому слагаемому, потом к полученному результату, к 7, прибавили второе слагаемое 3. Сравните ответы. (Получилось тоже 10.) Если получилось столько же, сколько при решении первым способом, значит, можно прибавлять число к сумме и таким способом. Кто расскажет, как мы сейчас прибавляли число к сумме? (Ученик рассказывает.)
Аналогичным образом с использованием тех же пособий раскрывается ещё один способ: можно прибавить число ко второму слагаемому — к 3 и полученный результат сложить с первым слагаемым — с 5.
Сколько способов прибавления числа к сумме мы рассмотрели? (Три.) Да, три способа: можно решить пример так, как и раньше это делали — вычислить сумму чисел 5 и 3 и к результату, к 8, прибавить число 2; можно прибавить число 2 к первому слагаемому, к 5, и к полученному результату, к 7, прибавить второе слагаемое 3; а можно прибавить число 2 ко второму слагаемому, к 3, и полученный результат, 5, сложить с первым слагаемым — с 5.
Далее так же рассматривается решение тремя способами ещё одного примера на прибавление числа к сумме. При этом используется то же наглядное пособие.
При раскрытии свойства можно использовать и другие пособия, например: в вёдра вливать воду литрами, в конверты вкладывать открытки, в тарелки раскладывать фрукты и т. д.
После коллективного рассмотрения с демонстрацией и подробным анализом хода решения одного примера или задачи можно обратиться к учебнику и, рассматривая предложенные в нём иллюстрации различных способов вычислений, провести аналогичную работу по этим иллюстрациям и подписям, которые к ним даны.
После описанной работы дети, как правило, оказывается уже в состоянии самостоятельно (или с комментированием) выполнить следующее задание учебника, связанное с вычислением тремя способами значений аналогичных выражений.
На следующем уроке, рассматривая три способа прибавления числа к сумме, одновременно с использованием наглядных пособий выполняют развёрнутую запись. Эту запись учитель выполняет на доске или на плакате, а учащиеся в тетрадях. Например, решение тремя способами примера (4+2)+3 следует записать следующим образом:
1.(4+2)+3=6+3=9
2.(4+2)+3=(4+3)+2=7+2=9
3.(4+2)+3=4+(2+3)=4+5=9
Выполнение каждой записи учащиеся сопровождают объяснением сначала под руководством учителя, а потом самостоятельно. На этом этапе не следует требовать от детей обобщённой формулировки правила прибавления числа к сумме, достаточно, чтобы они умели объяснить решение различными способами данных конкретных примеров.
В таком же плане проходит работа и над другими свойствами. Однако по мере рассмотрения новых свойств увеличивается доля самостоятельного участия детей в «открытии» различных способов нахождения результатов.
Например, усвоению свойства прибавления числа к сумме будут способствовать такие упражнения:
1. Прочитайте пример и вычислите результат разными способами: (6+1)+2
а) Вычислю сумму, получится 7; прибавлю к ней число 2, получится 9: (6+1)+2=7+2=9
б) Прибавлю число 2 к 6, к первому слагаемому, получится 8; к этому результату прибавлю второе слагаемое 1, получится тоже 9:
(6+1)+2=(6+2)+1=8+1=9
в) Прибавлю число 2 к 1, ко второму слагаемому, получится 3; этот результат прибавлю к первому слагаемому — к 6, получится тоже
(6+1)+2=6+(1+2)=6+3=9
Рассмотрение таких примеров — важнейший момент в деле подготовки к использованию рассмотренных свойств действий в более сложных случаях сложения в пределах 100. Именно на этих примерах до сознания детей должно быть доведено, что тот или иной способ вычислений выбирается с учётом особенностей предложенного примера. Именно здесь должно быть показано, какие преимущества даёт знание рассмотренных возможных способов прибавления числа к сумме.
2. Найдите результат удобным способом:
(8+6)+4 (30+7)+20 (60+5)+4
Выполняя такие упражнения, ученики мысленно воспроизводят все три способа нахождения результата и выбирают наиболее рациональный. Первое время учителю надо подводить детей к выбору такого способа. Например, находя значение первого выражения, учитель говорит, что легче (лучше) прибавить 4 к тому числу, при сложении с которым получится 10, так как к 10 легче прибавлять; находя значения двух других выражений, учитель указывает, что удобнее десятки прибавлять к десяткам, а единицы к единицам:
3. Закончите запись.
(8+7)+2=(8+2)… (40+3)+5=40+(…)
Ученик даёт примерно такое объяснение: слева записано, что надо к сумме чисел 8 и 7 прибавить 2, а справа записано, что число 2 прибавили к 8, к первому слагаемому; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо к полученной сумме прибавить второе слагаемое 6.
Усвоению свойств помогает также решение некоторых задач разными способами и сравнение решений.
Как только будет усвоено свойство, можно переходить к изучению вычислительных приёмов, основанных на соответствующем свойстве.
Для подготовки учащихся к приёму вычитания, основанному на знании таблицы сложения, надо включать специальные упражнения, направленные на усвоение состава чисел второго десятка. Так, пользуясь составленной таблицей, учащиеся называют, суммой каких двух однозначных чисел является, например, число 11 (12, 13, …, 18), и записывают 11=9+2; 11=8+3 и т. д.
После изучения свойства вычитания суммы из числа по той же методике, как и другие свойства, рассматривают вычитание вида 12−5.
Для этого случая вычитания целесообразно рассмотреть три приёма: первый основывается на использовании свойства вычитания суммы из числа, второй — на использовании свойства вычитания числа из суммы, а третий — на знании состава чисел второго десятка и связи между суммой и слагаемым.
Подготовкой к введению первого приёма будет решение удобным способом примеров вида 13-(3+2). При ознакомлении с приёмом используется то же наборное полотно, которое применялось при раскрытии приёма сложения вида 9+5.
Предлагается решить пример 12−5. Каждый ученик у себя на парте, а один из них на доске, откладывает на наборном полотне 12 кружков. Учитель спрашивает, как удобнее вычесть 5 из 12. Ученики предложат вычесть сначала 2 (вынимают 2 кружка), а потом ещё 3 (вынимают 3 кружка). Выясняется, что число 5 заменили суммой удобных слагаемых 2 и 3, вычли сначала одно слагаемое, а потом из полученного результата другое.
Запись: 12−5=12-(2+3)=(12−2)-3=7
При этом ученик ведёт объяснение, руководствуясь ранее данным планом: «Заменю число 5 суммой удобных слагаемых 2 и 3; получился пример: из 12 вычесть сумму чисел 2 и 3; удобнее сначала вычесть 2, первое слагаемое, а из полученного результата, из 10, вычесть 3, второе слагаемое, получится 7».
Не исключено, что сами дети предложат приём замены уменьшаемого суммой разрядных слагаемых:
12−5=(10+2)-5=(10−5)+2=7
Однако при этом неоднократно появляется типичная ошибка: отняв всё вычитаемое от десяти, ребёнок оставляет без внимания свободные единицы уменьшаемого и получает неправильный ответ (например, в данном случае число 5 вместо числа 7). Трудность для первоклассника состоит ещё и в том, что нужно преодолеть инерцию действия: приходится после вычитания применять сложение. Лучше поэтому сначала придерживаться вычитания суммы из числа, а затем раскрыть на одном и том же примере оба приёма в порядке сопоставления. Заметим, что преодоление посильных трудностей имеет определённое воспитательное значение.
Во 2 классе после изучения свойств прибавления суммы к сумме и вычитания суммы из суммы вводятся приёмы поразрядного сложения и вычитания двузначных чисел.
К этому времени учащиеся настолько овладевают общим приёмом использования свойств для обоснования вычислительных приёмов, что способны самостоятельно найти новые приёмы. Затем, решая примеры, они так записывают решение:
65+14=(60+5)+(10+4)=(60+10)+(5+4)=79.
65−14=(60+5)-(10+4)=(60−10)+(5−4)=51.
Одновременно дают объяснение: заменим каждое число суммой разрядных слагаемых, получится пример: к сумме чисел 60 и 5 прибавить сумму чисел 10 и 4; удобнее сложить первые слагаемые (60 и 10), затем вторые слагаемые (5 и 4), сложить результаты, получится 79.
На этапе закрепления знания приёма и формирования вычислительного навыка в отношении всех рассмотренных случаев вычислений ученики должны выполнять краткое объяснение сначала вслух, а затем про себя: называть только, какие действия и над какими числами они выполняют и какие получили результаты. Например, для случая 30−12 краткое объяснение будет таким: из 30 вычту 10, получится 20; из 20 вычту 2, получится 18. При этом запись тоже надо выполнять кратко: записывать пример и результат (30−12=18).
Необходимо систематически накапливать факты для установления связи между действием деления и умножения. После первоначального ознакомления с действиями умножения и деления можно приступить к углублению этих понятий через изучение их свойств.
В различных методиках и пособиях переместительное свойство поясняется наглядно на рисунках путем сравнения результатов умножения (произведений) при разном порядке сомножителей (подсчет треугольников, кружочков, клеток и т. д. ведется по строкам, а потом по столбцам).
Например, подсчитаем число клеток в прямоугольнике:
а) по столбцам — 3 * 5 = 15,
б)по строкам — 5 * 3 = 15.
Число клеток в этом прямоугольнике
всегда 15, значит, можно говорить о
равенстве выражений (произведений)
3 * 5 и 5 .3,
т. е. 3 * 5 = 5 * 3.
Подмечая это свойство на ряде примеров, дети сами делают вывод. Неправильно было бы считать, что этим свойство и доказано. Очень важно распространить вывод на произведение любых чисел, а для этого недостаточно лишь утверждения учителя, что так будет всегда, необходимо показать, что подобные рассуждения можно повторить для любых чисел, т. е. показать выполнение свойства для произведения любых чисел.
Можно сравнивать и результаты при вычислении:
6*4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24, 6−4 = 4−6.
4* 6 = 4 + 4 +4+ 4 + 4 + 4 = 24.
Решая поставленные задачи (исследуя факты), учащиеся могут самостоятельно сделать вывод, что от перемены порядка сомножителей произведение не изменяется (от перемены мест сомножителей произведение не изменится). На этом законе и основан прием вычисления произведения и составления таблиц умножения, когда второй сомножитель больше первого. Преимущество этого вычислительного приема можно показать на примере:
2*9 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2= 18,
9*2 = 9 + 9=18.
Позднее необходимо рассмотреть с учащимися доказательство переместительного закона и его запись в общем виде (буквенную).

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой