Гармонические колебания. 
Основы функционирования систем сервиса. В 2 ч. Часть 1

Свободные колебания могут быть гармоническими и негармоническими. Гармонические колебания характерны для систем, в которых отсутствуют сопротивления движению. В механизмах и приборах трение оказывает большое сопротивление, поэтому в них гармонические колебания отсутствуют. Однако при приближенном исследовании колебаний механизмов измерительных устройств приборов, у которых потери на трение малы, можно использовать законы гармонических колебаний.

Уравнение движения подвижной системы, на основании решения уравнения Лагранжа, имеет вид однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

[к.

где q — обобщенная координата; q — ускорение; со₀ =./—коэффици;

V а

ент, зависящий от упругих свойств системы и массы звеньев.

Коэффициент ш₀ представляет собой циклическую или круговую частоту свободных колебаний. Если восстанавливающая сила создается пружиной (рис. 8.4, б), то коэффициент К представляет собой жесткость пружины. При прямолинейном колебательном движении постоянный коэффициент, а равен массе т звена или приведенной массе т_п системы; при вращательном движении звена — соответственно моменту инерции J или для системы — приведенному моменту инерции J_n.

Решив уравнение (8.8) относительно q, получим

где (w₀^f + е) — фаза колебания; в — начальная фаза.

Период гармонических колебаний определяется по зависимости.

а собственная частота колебаний — по формуле.

Схемы и расчетные формулы для определения собственных частот колебаний простейших упругих систем приведены в ряде работ.

Затухающие колебания.

Рассмотрим уравнение движения подвижной системы, совершающей затухающие колебания, для случая, когда силы сопротивления пропорциональны скорости q в первой степени. Этот случай колебаний представляет наибольший интерес, так как он имеет место в большинстве механизмов с успокоителями. Обозначая силу сопротивления через Р = /(q) и учитывая, что она направлена в сторону, противоположную скорости движения подвижной системы, из уравнения Лагранжа получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

где С — коэффициент успокоения, численно равный силе сопротивления при скорости подвижной системы, равной единице (q = 1).

Если в уравнении (8.12) отношение С/а выразить через циклическую частоту ш₀:

то оно примет вид.

Из рассмотрения этого уравнения видно, что характер движения зависит как от циклической частоты, так и от коэффициента (3, определяемого из уравнения (8.13):

Коэффициент (3 зависит от коэффициента успокоения, жесткости и масс звеньев подвижной системы, поэтому его называют степенью успокоения.