Векторный способ задания движения точки

Пусть точка М движется относительно векторной системы отсчета O_xyz. Положение этой точки в любой момент времени можно.

Рис. 1.51.

определить, задав ее радиус-вектор г, проведенный из начала координат в точку М (рис. 1.51).

Пр и движении точки М вектор г изменяется и по модулю и по направлению. Следовательно, г является переменным вектором, зависящим от аргумента t:

Уравнение (1.21) определяет закон движения точки М в векторной форме, т. к. в любой момент времени можно построить вектор г и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора г (годограф) определяет траекторию движущейся точки.

Аналитически вектор задается его проекциями на координатные оси. В прямоугольной системе проекции вектора на оси г_х = х, г_у = у, r_z = z. Тогда.

где / , j, к — единичные векторы (орты) координатных осей.

Векторный способ применяется, в основном, для получения общих формул.

Координатный способ задания движения точки

Положение точки определяется ее координатами х, у и z, которые при движении токи с течением времени будут изменяться. Чтобы задать закон движения точки, т. е. ее положение в пространстве в любой момент времени, необходимо знать координаты для каждого момента времени, т. е. знать зависимости:

Уравнения (1.23) представляют уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Если движение происходит в одной плоскости, то:

При прямолинейном движении точки ее движение будет определяться одним уравнением (закон прямолинейного движения точки):

Уравнения (1.23) и (1.24) одновременно представляют уравнения траектории точки в параметрической форме, где роль параметра играет время /. Исключив из уравнений движения параметр t, получим уравнение траектории в обычной форме.

Рис. 1.52.

Задача. Движение точки задано уравнением x = acoskt, y = asmkt, где а и к — постоянные величины (рис. 1.52). Определить траекторию движения.

Решение. Для получения уравнения траектории в обычной форме исключим из уравнений движения параметр t.

Траектория — окружность радиуса а с центром в начале координат. В начальный момент времени 1 = 0 координаты точки М: х₀ =acosO = «, y = flsin0 = 0. В момент времени, следующий за нулевым, хи у будут положительны, значит, точка движется по окружности против часовой стрелки.