Аннуитеты. 
Оценка стоимости предприятия

В некоторых финансовых операциях чаще всего используют не разовые платежи, а денежные потоки (потоки платежей), состоящие из платежей или поступлений в течение определенных периодов времени.

Поток последовательных платежей через равные интервалы времени в течение определенного количества периодов (лет) называется аннуитетом (финансовой рентой).

В этом случае сложные проценты начисляются (или дисконтируются) на каждый платеж в зависимости от оставшегося количества (длительности) периодов начисления или дисконтирования.

Характеристики аннуитета:

• o величина каждого платежа или поступления;
• o процентная ставка, по которой платежи дисконтируются или наращиваются;
• o период аннуитета — период времени между двумя последовательными платежами;
• o длительность аннуитета — период времени от начала аннуитета до его последнего платежа (аннуитеты могут быть срочными — на определенный срок времени и бессрочными — неограниченные по времени — вечные аннуитеты).

Аннуитетные платежи могут осуществляются в начале или конце периода аннуитета.

Аннуитет, платежи по которому происходят в начале периода аннуитета, называется пренумерандо.

Аннуитет, платежи по которому происходят в конце периода аннуитета, называется постнумерандо (обыкновенный аннуитет). Если называние аннуитета не упоминается, то это обыкновенный аннуитет.

Если ввести обозначения:

P (mt) — величина каждого отдельного платежа аннуитета (payment);

i_c - процентная ставка, по которой начисляются сложная проценты;

F_k - наращенная сумма для k-гo платежа аннуитета постнумерандо;

F — будущая стоимость (наращенная сумма) аннуитета постнумерандо;

А_к — текущая стоимость k-го платежа аннуитета посгнумерандо;

А — текущая стоимость всего аннуитета постнумерандо;

F_n — будущая стоимость (наращенная сумма) аннуитета пренумерандо;

А_п — текущая стоимость аннуитета пренумерандо;

п — число платежей, то можно определить будущую и текущую стоимость аннуитета.

Будущая стоимость аннуитета показывает, каким будет финансовый результат, суммарная наращенная сумма в конце периода всех платежей при начислении дохода на них по сложной ставке ссудных процентов.

Характеристики: годовые платежи Р, в течение п лет, сложные проценты по ставке i_с.

Графически аннуитет постнумерандо можно представить следующим образом (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Будущая стоимость аннуитета постнумерандо.

На первый платеж Р проценты будут начисляться (п-1) раз. Наращенная сумма первого платежа F₁ составит .

На второй платеж Р проценты будут начисляться на один период (год) меньше:

На третий платеж Р проценты будут начисляться на два периода (года) меньше:

На предпоследний (n-1) платеж Р, произведенный в конце (п-1)-го года, проценты начисляются в течение одного периода:

На последний платеж, произведенный в конце n-го года, проценты не начисляются:

Тогда общая наращенная сумма.

где k_in - коэффициент наращения аннуитета, который есть сумма членов геометрической прогрессии, где первый член а₁ = 1, а знаменатель

В общем виде сумма членов геометрической прогрессии.

Тогда коэффициент наращения

Будущая стоимость аннуитета (6.48).

Пример. Определите будущую стоимость аннуитета, если платежи 300 руб. производятся течение п = 5 лет, процентная ставка i = 10%.

Кроме того, используя формулы стоимости аннуитета, зная величины аннуитета, можно определить величину платежа: или срок аннуитета:

Графически аннуитет пренумерандо с платежами в начале периода можно представить следующим образом (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Будущая стоимость аннуитета пренумерандо.

На первый платеж Р проценты будут начисляться п раз.

Наращенная сумма первого платежа F₁ составит

На второй платеж Р проценты будут начисляться на один период (год) меньше:

На третий платеж Р проценты будут начисляться на два периода (года) меньше:

На предпоследний (п-1)-й платеж Р, произведенный в конце (п-1)-го года, проценты начисляются два периода:

На последний платеж, произведенный в конце п-го года, проценты начисляются в течение одного периода:

Тогда общая наращенная сумма.

где k_jn - коэффициент наращения аннуитета, который есть сумма членов геометрической прогрессии, где первый член и знаменатель равны

Тогда коэффициент наращения с учетом суммы членов геометрической прогрессии.

Будущая стоимость аннуитета пренумерандо.

(6.49).

Пример. Определите будущую стоимость аннуитета пренумерандо, если платежи 300 руб. производятся течение п = 5 лет, процентная ставка i =10%.

Текущая стоимость аннуитета (Л) показывает текущую (дисконтированную, современную) суммарную величину финансовых средств, которые при вложении их по сложной ставке ссудных процентов обеспечивают годовые платежи Р в течение всего срока аннуитета.

Характеристики: годовые платежи Р, в течение п лет, сложные проценты по ставке i. Тогда:

Графически аннуитет постнумерандо можно представить следующим образом (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Текущая стоимость аннуитета постнумерандо.

При аннуитете постнумерандо годовые платежи Р начисляются в конце периода, поэтому: или.

Второй платеж Р обеспечивается аннуитетом А₂ в два периода начисления:

(п-1)-й платеж Р обеспечивается аннуитетом периодов начисления:

п-й платеж Р обеспечивается аннуитетом А_п в п периодов начисления:

Тогда текущая стоимость (современная величина) всего аннуитета составляет

где - сумма геометрической прогрессии с параметрами

Тогда с учетом формулы суммы геометрической прогрессии текущая величина аннуитета постнумерандо.

(6.50).

Пример. Определите текущую стоимость аннуитета, если платежи 700 руб. проводятся в течение 5 лет, ставка дисконтирования — 10% годовых.

Используя формулы стоимости аннуитета, зная величины аннуитета, можно определить величину платежа:

или срок аннуитета

Пример. Определите текущую стоимость аннуитета при условии, что платежи определяются следующим образом: первые три года — поступления 300 руб., четвертый год — выплата 300 руб., далее в течение двух лет — доход по 200 руб. Ставка дисконтирования — 12%.

Используется расчет методом аннуитета постнумерандо:

Графически аннуитет пренумерандо можно представить следующим образом (рис. 6.4.).

Рис. 6.4. Текущая стоимость аннуитета пренумерандо.

При аннуитете пренумерандо первый платеж Р осуществляется в начале периода и соответствует величине аннуитета: А_у = Р.

Второй платеж Р обеспечивается аннуитетом Л., в один период начисления:

Третий платеж Р обеспечивается аннуитетом А₃ в два периода начисления:

(п-1)-й платеж Р обеспечивается аннуитетом А_п-1 в (п-2) периодов начисления:

п-й платеж Р обеспечивается аннуитетом А_п в п-1 периодов начисления, так как платеж начисляется в начале «-го периода, весь пйн период проценты уже не начисляются:

Тогда текущая стоимость (современная величина) всего аннуитета пренумерандо составляет.

Тогда текущая стоимость аннуитета пренумерандо при постоянной величине платежа Р, с учетом суммы геометрической прогрессии с параметрами :

(6.51).

Пример. Определите текущую стоимость аннуитета пренумерандо, если платежи 700 руб. проводятся в течение 5 лет, ставка дисконтирования — 10% годовых.

Используя формулы стоимости аннуитета, можно при одинаковых величинах платежей и доходности определить соотношение между будущей и текущей стоимостью аннуитета:

(6.52).

Пример. Определите будущую и текущую стоимость аннуитета и соотношение, если платежи 500 руб. производятся течение п = 3 лет, процентная ставка i = 10%.