ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½Ρ β ΡΠΈΡΠ»Π° Β«ΠΏΠΈΒ» ΠΈ Β«Π΅Β»
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΅ = 2,718 281 828., ΡΠΎ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΡΡΠ³ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°. ΠΠΎΠ³Π°Π½Π½ ΠΠ΅ΠΏΠ»Π΅Ρ, ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π²ΡΠΈΠΉ ΠΎΠ³ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡ ΠΡΡΠ³ΠΈ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π°ΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΠΎ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΠΎΠ²Π°Π» Π΅ΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ ΠΡΡΠ³ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄Π»ΠΈΠ», ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΎΡΡ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈ ΡΠ°Π½ΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½Ρ β ΡΠΈΡΠ»Π° Β«ΠΏΠΈΒ» ΠΈ Β«Π΅Β» (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
Π§ΠΈΡΠ»Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΡΡΡΠ΅Π»Π΅ΡΠΈΠΉ Π½Π°Π·Π°Π΄ Π²ΠΎΡΠ»ΠΈ Π² ΠΆΠΈΠ·Π½Ρ ΠΈ Π±ΡΡ Π»ΡΠ΄Π΅ΠΉ. Π§Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ ΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΡΡΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡΡ , ΠΎΠ½ ΠΏΡΠΈΠ΄ΡΠΌΠ°Π» ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ³ΡΡ Ρ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ°ΡΠ°Π΄Ρ. ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π°Π΄Π΅Π»ΠΈΠ» ΡΠ²Π΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ 13, 666. Π‘ΡΠ΅Π΄ΠΈ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ Π΅ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΡΠ΅, ΠΈ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ², ΡΠΈΡΠ»Π° p ΠΈ Π΅. ΠΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΈ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΡ. Π§ΠΈΡΠ»Π° 3,14 ΠΈ 2,7 Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡΠ½Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΈΡΠ΅Π» Ρ ΠΈ Π΅. ΠΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΡΡΠ°Π½ΡΡΠ΅Π½Π΄Π΅Π½ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π΄Π»Ρ ΠΈΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ Ρ Π²Π°ΡΠΈΠ»ΠΎ Π±Ρ ΠΈ ΡΡΠΈΠ»Π»ΠΈΠΎΠ½Π° Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ².
" ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΡΡ Π΅ ΠΈ p, ΠΈ Π²ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΎΡΠΎΠΉ". ΠΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π·Π°Π²ΠΎΡΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ Π½Π΅ΠΏΠΎΠΊΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ, Π² ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ p. «ΠΡΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ ΡΠ΄Π°Π²Π°Π»ΠΎΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΡΡΡΠ΅Π»Π΅ΡΠΈΠΉ Π΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ Π² ΠΏΠ»Π΅Π½Ρ ΠΌΡΡΠ»ΠΈ ΠΈ ΡΡΠ²ΡΡΠ²Π° Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ Π°ΡΡΡΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ², Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠΈΠ»ΠΎΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ Ρ ΡΠ΄ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²». Π’ΡΠ°ΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π³ΠΎΠ΄Ρ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΡΠΈΡΠ»Π° p.
ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π° p
" ΠΠΈΡΡΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π° p Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΡΡΡ Ρ Π΅Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΠΏΠΈΡΡΡΠ°, Π΄Π°ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ 2000 Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π΄ΠΎ Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡ, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ Π΅ΡΠ΅ Π΄ΡΠ΅Π²Π½ΠΈΠΌ Π»ΡΠ΄ΡΠΌ. Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ p ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠ»ΠΎ Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΡΠ΄Π΅ΠΉ Π΅ΡΡ Π² ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΡΠΌΠ΅Π»ΠΈ ΠΏΠΈΡΡΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΠ·Π»Π°Π³Π°ΡΡ Π½ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, Π½ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΆΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, Π½ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠΉ. Π‘ ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° 1,2,3,4,… ΡΡΠ°Π»ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π·Π»ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΏΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΡΡΠ»ΠΈ, ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠΌΡ, Π»ΡΠ΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΠ»ΠΈΡΡ Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ p. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΎ Π΅ΡΡ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π±ΡΠΊΠ² Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π»ΡΠ°Π²ΠΈΡΠ° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠ»Ρ ΠΈΠ³ΡΠ°Π»ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 3. ΠΠ΅ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ, ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ p ΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΡ. ΠΡΡΠ°ΠΆΠ°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π΅Ρ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ, ΠΎΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΎΡΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΡΡΠ°Ρ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΡΡ ΠΊΡΡΠ³Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ". ΠΠΎ ΡΠΆΠ΅ Π² Π³Π»ΡΠ±ΠΎΠΊΠΎΠΉ Π΄ΡΠ΅Π²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΠΈ Π½Π΅ Π±Π΅Π· ΡΠ΄ΠΈΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 3 Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΈ. ΠΠ΅Π·ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎ, ΠΊ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Ρ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΉΡΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊ ΡΡΠ΄Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. Π’Π°ΠΊ Π΅Π³ΠΈΠΏΡΡΠ½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ: Π Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΠΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΄, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π²Π΅ΡΡ Π½ΠΈΡ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΠΈ. ΠΠ½Π΄ΡΡΡ Π² V—VI Π²Π².Π΅ΠΊΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΈΡΠ°ΠΉΡΡ — ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ
" ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° p ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΎΡ Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° («ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ»). ΠΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π» Π² 1706 Π³ΠΎΠ΄Ρ Π°Π½Π³Π»ΠΈΠΉΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ Π£. ΠΠΆΠΎΠ½Ρ, Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡΠΌ ΠΎΠ½ΠΎ ΡΡΠ°Π»ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π³ΠΎ (Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ 1736 Π³ΠΎΠ΄Π°) ΡΡΠ°Π» ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π»ΡΡΡ ΠΠ΅ΠΎΠ½Π°ΡΠ΄ ΠΠΉΠ»Π΅Ρ". Π ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ 18 Π²Π΅ΠΊΠ° Π. ΠΠ°ΠΌΠ±Π΅ΡΡ ΠΈ Π. ΠΠ΅ΠΆΠ°Π½Π΄Ρ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ p ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π° Π² 1882 Π³ΠΎΠ΄Ρ Π€. ΠΠΈΠ΄Π΅ΡΠΌΠ°Π½ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ ΡΡΠ°Π½ΡΡΠ΅Π½Π΄Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ΅, Ρ. Π΅. Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΠ° ΠΏΡΠΎΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π° p, Π²ΠΏΠ»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎ Π½Π°ΡΠΈΡ Π΄Π½Π΅ΠΉ, Π²Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ «ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ½Ρ» Π·Π° Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° p. ΠΠ΅ΠΎΠ½Π°ΡΠ΄ΠΎ Π€ΠΈΠ±ΠΎΠ½Π°ΡΠΈ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 1220 Π³ΠΎΠ΄Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ» ΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΡΠΈΡΠ»Π° p. Π 16 Π²Π΅ΠΊΠ΅ ΠΠ½Π΄ΡΠΈΠ°Π½ ΠΠ½ΡΠΎΠ½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ» 6 ΡΠ°ΠΊΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ². Π€ΡΠ°Π½ΡΡΠ° ΠΠΈΠ΅Ρ (ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΄Ρ), Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ 322 216-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» 9 ΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ². ΠΠ½Π΄ΡΠΈΠ°Π½ ΠΠ°Π½ Π ΠΎΠΌΠ΅Π½ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» 15 Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ², Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡ 1 073 741 824-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². ΠΡΠ΄ΠΎΠ»ΡΡ ΠΠ°Π½ ΠΡΠ»Π΅Π½, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡ 32 512 254 720-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» 20 ΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ². ΠΠ²ΡΠ°Π°ΠΌ Π¨Π°ΡΠΏ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» 72 ΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΡΠΈΡΠ»Π° p. Π 1844 Π³ΠΎΠ΄Ρ Π. ΠΠ°Π·Π΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅Ρ 200 Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π·Π°ΠΏΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΠ»Π° p, Π² 1847 Π³ΠΎΠ΄Ρ Π’. ΠΠ»Π°ΡΠ·Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ 248 Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ², Π²1853 Π ΠΈΡ ΡΠ΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅Ρ 330 Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ², Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ 1853 Π³ΠΎΠ΄Ρ 440 Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ Π. ΠΠ°Π·Π΅ ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ΄Ρ Π£. Π¨Π΅Π½ΠΊΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ 513 Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ². «Π‘ ΠΏΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΠΠ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²Π΅ΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΡΠ΅Π·ΠΊΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ:
1949 Π³ΠΎΠ΄ — 2037 Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² (ΠΠΆΠΎΠ½ ΡΠΎΠ½ ΠΠ΅ΠΉΠΌΠ°Π½, ENIAC), 1958 Π³ΠΎΠ΄ — 10 000 Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² (Π€. ΠΠ΅Π½ΡΠΈ, IBM-704), 1961 Π³ΠΎΠ΄ — 100 000 Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² (Π. Π¨Π΅Π½ΠΊΡ, IBM-7090), 1973 Π³ΠΎΠ΄ — 10 000 000 Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² (Π. ΠΠΈΠΉΡ, Π. ΠΡΠΉΠ΅, CDC-7600), 1986 Π³ΠΎΠ΄ — 29 360 000 Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² (Π. ΠΠ΅ΠΉΠ»ΠΈ, Cray-2), 1987 Π³ΠΎΠ΄ — 134 217 000 Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² (Π―. ΠΠ°Π½Π°Π΄Π°, NEC SX2), 1989 Π³ΠΎΠ΄ — 1 011 196 691 Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² (Π. ΠΡΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈ ΠΈ Π. ΠΡΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈ, Cray-2+IBM-3040)"
ΠΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΡΠ½ΡΡ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΡΠΈΡΠ»Π° p ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ, Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΄ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΡ ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΡ n-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΡΠ°Π»ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±Π΅Π³Π°ΡΡ ΠΊ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΡΡΠ΄ΠΎΠ².
Π’Π°ΠΊ ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ» Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠ΄Π°:
Π¨Π°ΡΠΏ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ» ΡΡΠ΄:
Π. ΠΠΉΠ»Π΅Ρ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠ΄Π°:
Π. ΠΠ°Π·Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π» ΡΡΠ΄.
ΠΠΆΠΎΠ½ ΠΠ°Π»Π»ΠΈΡ (1616−1703) Π½Π°ΡΡΠ» Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΈ:
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° p
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°: ΠΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊ Π΅Ρ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· L — Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π· d — Π΅Ρ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ, ΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ° ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ n-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ, Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ Π² ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ° r ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΠΉ Π°n ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΌ Π n, ΡΠΎ ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΄Π²Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Ρ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π² Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ n-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ· ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΠΠ ΠΈ Π1Π1Π1 ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Ρ.ΠΊ. ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π±ΡΠ°Π»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅, ΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ. ΠΡΠ°ΠΊ, Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΡΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊ Π΅Ρ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ «p» .
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π§ΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ p Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΊ Π΅Ρ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ.
ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΎΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½ΠΎ. ΠΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ «Π½Π΅ΠΏΠ΅ΡΠΎΠ²ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ» Π² ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΡΠΎΡΠ»Π°Π½Π΄ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΠΆΠΎΠ½Π° ΠΠ΅ΠΏΠ΅ΡΠ° (1550−1617), ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅Ρ ΡΠ²ΡΡΠ΄ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΠ΅ΠΏΠ΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π» ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅ Π΅ ΡΡΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅". ΠΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ «Π΅» Π²Π²ΡΠ» ΠΠ΅ΠΎΠ½Π°ΡΠ΄ ΠΠΉΠ»Π΅Ρ (1707−1783). ΠΠ½ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠ» ΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ 23 Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΄Π°: ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΠ°Π½ΠΈΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΠ΅ΡΠ½ΡΠ»ΠΈ (1700−1782). «Π 1873 Π³ΠΎΠ΄Ρ ΠΡΠΌΠΈΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΡΡΠ°Π½ΡΡΠ΅Π½Π΄Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅.Π. ΠΠΉΠ»Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ, ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅, p, ΠΈ:. ΠΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΈ Π·Π°ΡΠ»ΡΠ³Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ z, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ — ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ». ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠΎΠΌ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ: Π Π°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΅, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ Lnx.
Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ e ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ.
Π§Π΅ΡΠ΅Π· ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»:
(Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π») .
ΠΠ°ΠΊ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΡΡΠ΄Π°:
ΠΈΠ»ΠΈ .
ΠΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ a, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ
ΠΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ a, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
ΠΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠ³ΡΠ°Π΅Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π³Π΄Π΅ c — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°.
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ e ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡΡΠ°Π½ΡΡΠ΅Π½Π΄Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ. ΠΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΎ Π²ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ°Π½ΡΡΠ΅Π½Π΄Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠ°Π½ΡΡΠ΅Π½Π΄Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π±ΡΠ»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² 1873 Π³ΠΎΠ΄Ρ Π¨Π°ΡΠ»Π΅ΠΌ ΠΡΠΌΠΈΡΠΎΠΌ. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ e — Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡ Π² Π΅Π³ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Π°.
ΡΠΌ. ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΡΡ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°, ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°ΡΡΠ°Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅ ΠΈ Ρ, Ρ. Π½. «ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΡΠ°ΡΡΠΎΠ½Π°» ΠΈΠ»ΠΈ «ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» ΠΠ°ΡΡΡΠ°»
ΠΠ»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z Π²Π΅ΡΠ½Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°:
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ e ΡΠ°Π·Π»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΠΏΠ½ΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°ΡΠ°Π»Π°Π½Π°:
ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ
ΠΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅ΠΏΠ΅ΡΠΎΠ²ΡΠΌ Π² ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠ»Π°Π½Π΄ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΠ΅ΠΏΠ΅ΡΠ°, Π°Π²ΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ «ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²» (1614 Π³ΠΎΠ΄). ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΊΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° x Π±ΡΠ» ΡΠ°Π²Π΅Π½
.
ΠΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ° Π½Π΅Π³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π² ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄Ρ Π½Π° Π°Π½Π³Π»ΠΈΠΉΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ·ΡΠΊ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΠ΅ΠΏΠ΅ΡΠ°, ΠΎΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π² 1618 Π³ΠΎΠ΄Ρ. ΠΠ΅Π³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΌ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΡ ΠΈΠ· ΠΊΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ°ΠΌΠ° ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ° Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ (ΡΠΌ.: ΠΠ΅ΠΏΠ΅Ρ).
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π°Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π±ΡΠ» Π°Π½Π³Π»ΠΈΠΉΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΡΡΠ΅Π΄.
Π‘Π°ΠΌΡ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ Π²ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠ» ΡΠ²Π΅ΠΉΡΠ°ΡΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΠ΅ΡΠ½ΡΠ»Π»ΠΈ ΠΏΡΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°:
ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π»Π°ΡΡ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ b, Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΏΠΈΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡΠ° ΠΡΠΉΠ³Π΅Π½ΡΡ, 1690−1691 Π³ΠΎΠ΄Ρ.
ΠΡΠΊΠ²Ρ e Π½Π°ΡΠ°Π» ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΠΉΠ»Π΅Ρ Π² 1727 Π³ΠΎΠ΄Ρ, Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ Ρ ΡΡΠΎΠΉ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ Π±ΡΠ»Π° Π΅Π³ΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° «ΠΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΠ°ΡΠΊΠ° ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ» 1736 Π³ΠΎΠ΄. Π‘ΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, e ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°. Π₯ΠΎΡΡ Π²ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π±ΡΠΊΠ²Ρ c, Π±ΡΠΊΠ²Π° e ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»Π°ΡΡ ΡΠ°ΡΠ΅ ΠΈ Π² Π½Π°ΡΠΈ Π΄Π½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π±ΡΠ»Π° Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π±ΡΠΊΠ²Π° e, ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ. ΠΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Ρ Π½Π΅Ρ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎ exponential («ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ», «ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ»). ΠΡΡΠ³ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π±ΡΠΊΠ²Ρ a, b, c ΠΈ d ΡΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ Π² ΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ΅Π»ΡΡ , ΠΈ e Π±ΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ «ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ» Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ. ΠΠ΅ΠΏΡΠ°Π²Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΠΉΠ»Π΅Ρ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π» e ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ Π±ΡΠΊΠ²Ρ Π² ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΠΌΠΈΠ»ΠΈΠΈ (Π½Π΅ΠΌ. Euler) [ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ Π½Π΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ 334 Π΄Π½Ρ] .
ΠΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΠ°
ΠΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π²: «ΠΡ ΠΏΠΎΡΡ Π°Π»ΠΈ ΠΈ Π±Π»ΠΈΡΡΠ°Π»ΠΈ, Π½ΠΎ Π·Π°ΡΡΡΡΠ»ΠΈ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²Π°Π»Π΅; Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°Π»ΠΈ Π½Π°ΡΠΈ ΠΊΡΠ°Π»ΠΈ Π°Π²ΡΠΎΡΠ°Π»Π»ΠΈ» (Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΄ ΡΠΈΡΡΡ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π±ΡΠΊΠ² Π² ΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΈΡΠΊΠ°, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π·Π°ΠΏΡΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°)
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ 2,7 ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ 18, 28, 18, 28.
ΠΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ: Π΄Π²Π° ΠΈ ΡΠ΅ΠΌΡ, Π΄Π°Π»Π΅Π΅ Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π° Π³ΠΎΠ΄ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΡΠ²Π° Π’ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ (1828), Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ³Π»Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° (45, 90 ΠΈ 45 Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ²). Π‘ΡΠΈΡ ΠΎΡΠ²ΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ½Π΅ΠΌΠΎΡΡΠ°Π·Π°, ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΡΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°: «ΠΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ: Π΄Π²Π΅ ΠΈ ΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π΅ΡΡΡΡΡ , Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ ΠΠ΅Π² Π’ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ»
Π¦ΠΈΡΡΡ 45, 90 ΠΈ 45 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ «Π³ΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ Π½Π°Π΄ ΡΠ°ΡΠΈΡΡΡΠΊΠΎΠΉ ΠΠ΅ΡΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΉ, Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΎΡ Π³ΠΎΠ΄ ΠΈ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΎΠ½»
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° e ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΏΡΠ΅Π·ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΎΠΌ Π‘Π¨Π ΠΠ½Π΄ΡΡ ΠΠΆΠ΅ΠΊΡΠΎΠ½ΠΎΠΌ: 2 — ΡΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π· ΠΈΠ·Π±ΠΈΡΠ°Π»ΡΡ, 7 — ΠΎΠ½ Π±ΡΠ» ΡΠ΅Π΄ΡΠΌΡΠΌ ΠΏΡΠ΅Π·ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΎΠΌ Π‘Π¨Π, 1828 — Π³ΠΎΠ΄ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ·Π±ΡΠ°Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΠΆΠ΅ΠΊΡΠΎΠ½ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ ΠΈΠ·Π±ΠΈΡΠ°Π»ΡΡ. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ — ΠΎΠΏΡΡΡ-ΡΠ°ΠΊΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ.
Π‘ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π΄ΠΎ ΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π·Π°ΠΏΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· «ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΄ΡΡΠ²ΠΎΠ»Π°»: Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ 666 Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡ 6? 4, 6? 2, 6? 1 (ΡΡΠΈ ΡΠ΅ΡΡΡΡΠΊΠΈ, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π² ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ ΡΠ΄Π°Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΈ):
.
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅ e ΠΊΠ°ΠΊ .
ΠΡΡΠ±ΠΎΠ΅ (Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π΄ΠΎ 0,001), Π½ΠΎ ΠΊΡΠ°ΡΠΈΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ e ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ. Π‘ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ Π³ΡΡΠ±ΠΎΠ΅ (Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ 0,01) ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°ΡΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ .
" ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΠΎΠΈΠ½Π³Π°": Π΄Π°ΡΡ Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΡ ΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ 0,0005.
Π‘ΡΠΈΡΠΊΠΈ:
ΠΠ²Π° ΠΈ ΡΠ΅ΠΌΡ, Π²ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ½Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ,
ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ Π²ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ, Π²ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ½Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ,
ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ Π²ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ, ΡΠΎΡΠΎΠΊ ΠΏΡΡΡ,
ΠΠ΅Π²ΡΠ½ΠΎΡΡΠΎ, ΡΠΎΡΠΎΠΊ ΠΏΡΡΡ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Π³Π΄Π΅ — ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅, Π° — Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ 1, Ρ.ΠΊ. — Π½Π΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
ΠΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠΈΠΌ Π² Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ:
ΠΡΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ:
— ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅
ΠΠΎ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΠ΅.
ΠΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΡΡ
Π IPO ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°Π½ΠΈΠΈ Google Π² 2004 Π³ΠΎΠ΄Ρ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΎ Π½Π°ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°Π½ΠΈΠΈ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΡΡ ΡΠ²ΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠ±ΡΠ»Ρ Π½Π° 2 718 281 828 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°ΡΠΎΠ². ΠΠ°ΡΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ 10 ΡΠΈΡΡ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ.
Π ΡΠ·ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Ρ e Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 10, Π° Π½Π΅ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠΎΠ²ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΡΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΠ΅ΠΉ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΡ.
Π‘ΡΡΠ»ΠΊΠΈ:
ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π° e (Π°Π½Π³Π».)
e for 2.71 828… (Π°Π½Π³Π».) (ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΠΆΠ΅ΠΊΡΠΎΠ½Π°)
ΠΠΎΡΠΎΠ±Π΅Ρ, ΠΠΎΡΠΈΡ Π‘ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ²ΠΈΡ. ΠΠΈΡΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ // ΠΠ°ΡΠΊΠ° ΠΈ ΠΆΠΈΠ·Π½Ρ. — 2004. — № 2. — ΡΡΠ°ΡΡΡ Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΡΡΠ»Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½Ρ Ρ ΠΈ e.
Π§ΠΈΡΠ»Π° Ρ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π°ΠΌΠΈ
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΅ = 2,718 281 828., ΡΠΎ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΡΡΠ³ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°. ΠΠΎΠ³Π°Π½Π½ ΠΠ΅ΠΏΠ»Π΅Ρ, ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π²ΡΠΈΠΉ ΠΎΠ³ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡ ΠΡΡΠ³ΠΈ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π°ΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΠΎ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΠΎΠ²Π°Π» Π΅ΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ ΠΡΡΠ³ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄Π»ΠΈΠ», ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΎΡΡ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈ ΡΠ°Π½ΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π²ΡΠΎΡΠ°. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΡΡΠ³ΠΈ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π΄Π°Π½Ρ Π² 1620 Π³., Π° Π½Π° 6 Π»Π΅Ρ ΡΠ°Π½ΡΡΠ΅ (Π² 1614 Π³.) ΠΠΆΠΎΠ½ ΠΠ΅ΠΏΠ΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ «ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²». Π¨ΠΎΡΠ»Π°Π½Π΄ΡΠΊΠΈΠΉ Π±Π°ΡΠΎΠ½ ΠΠΆΠΎΠ½ ΠΠ΅ΠΏΠ΅Ρ (1550−1617) ΡΠΎΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π±ΡΠ» ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΈΡΡΠΎΠΌ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ. ΠΠ½ Π΄Π΅Π»ΠΈΠ» ΡΠ²ΠΎΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΎΡΡΠ°ΡΠ»ΡΠΌΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅Π²ΡΠΈΠΌΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. Π’Π°ΠΊ, ΠΎΠ½ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ΅Π» Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΎΡ ΠΎΠ·ΡΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±ΠΎΡΡ. Π ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΠ΅ΠΏΠ΅Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΎΠ²Π°Π»ΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠ°, ΠΎΡΡΡΠΊΠΈΠ²Π°Ρ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±Π»Π΅Π³ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ°. Π’Π°ΠΊ, Π² ΡΠΎΡΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ «Π Π°Π±Π΄ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ», ΠΈΠ·Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π² Π³ΠΎΠ΄ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΌΠ΅ΡΡΠΈ, ΠΎΠ½ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠ±ΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π² Π½Π°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π½ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ «Π½Π΅ΠΏΠ΅ΡΠΎΠ²Ρ ΠΏΠ°Π»ΠΎΡΠΊΠΈ» ΠΈ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅ΠΌ Π² ΡΠΊΠΎΠ»Π΅. ΠΡΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠ±ΠΎΡ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· Π΄Π΅ΡΡΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΠΏΠ°Π»ΠΎΡΠ΅ΠΊ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π° ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ΅Π²Π°Ρ ΠΏΠ°Π»ΠΎΡΠΊΠ° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½Π°, Π° Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΈ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°. Π ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π° Π² Π²Π΅ΡΡ Π½Π΅ΠΉ — Π΄Π΅ΡΡΡΠΊΠΈ. ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±ΠΎΡΠ° ΠΠ΅ΠΏΠ΅ΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π° Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΡΠ»ΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 684 Π½Π° 4, ΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠ°Π»ΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ²Π΅ΡΡ Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° 6, 8 ΠΈ 4, ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠ»Π΅ΡΠΊΠΈ ΡΡΠΈΡ ΠΏΠ°Π»ΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΡΡΠΎΡΡΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ Ρ 4.
1. ΠΠΎΡ Π°Π½ Π. Π. ΠΈ Π΄Ρ. ΠΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Ρ. II. — Π.: ΠΡΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 1972.
2. ΠΡΠΌΠΏΠ°Π½ Π€. ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π° p. — Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, ΠΠ». ΡΠ΅Π΄. ΡΠΈΠ·.-ΠΌΠ°Ρ. Π»ΠΈΡ., 1987.
3. Π Π°ΠΉΠΊ Π. Π. ΠΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎ ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π² Π΄ΡΠ΅Π²Π½ΠΎΡΡΠΈ. — Π‘Π°ΡΠ°Π½ΡΠΊ, 1987.
4. Π€ΠΈΡ ΡΠ΅Π½Π³ΠΎΠ»ΡΡ Π. Π. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Ρ. I, II. — Π.: ΠΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·Π΄Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠΎ-ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ, 1956.
5. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΠΊΠΈΠΉ Π. ΠΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°. // ΠΠ²Π°Π½Ρ, 1984 № 3.
6. ΠΠ²ΠΎΠ½ΠΊΠΈΠ½ Π. Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ p // ΠΠ²Π°Π½Ρ, 1978 № 11.
7. ΠΡΠ·ΡΠΌΠΈΠ½ Π., Π¨ΠΈΡΡΠΎΠ² Π. Π ΡΠΈΡΠ»Π΅ Π΅. // ΠΠ²Π°Π½Ρ, 1979 № 8.
8. ΠΠ°Π»Π΅ΠΉΠ΄ΠΎΡΠΊΠΎΠΏ Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ p. // ΠΠ²Π°Π½Ρ, 1996 № 6.