Структурные средние. 
Статистика

Кроме рассмотренных выше степенных средних в практике статистического анализа применяются и так называемые структурные средние. Наиболее часто используемыми структурными средними являются мода и медиана.

Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой.

Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

Рассмотрим определение моды и медианы по несгруппированным данным.

Предположим, что девять торговых фирм города реализуют товар, А по следующим оптовым цепам, тыс. руб.:

Фирма …1 2 3 4 5 6 7 8 9 Цена…4,4 4,3 4,4 4,5 4,3 4,3 4,6 4,2 4,6.

Так как чаще всего встречается цена 4,3 тыс. руб., то она и будет модальной.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

4,2 4,3 4,3 4,3 4,4 4,4 4,5 4,6 4,6.

Центральной в этом ряду является цена 4,4 тыс. руб., следовательно, она и будет медианой. Если ранжированный ряд включает в себя четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана практически выполняет функции средней для неоднородной, не подчиняющейся нормальном закону распределения совокупности. Она также используется в тех случаях, когда средняя не позволяет объективно оценить исследуемую совокупность вследствие сильного влияния максимальных и минимальных значений. Проиллюстрируем познавательное значение медианы следующим условным примером.

Допустим, необходимо дать характеристику среднего дохода группы людей, насчитывающей 100 человек, из которых 99 имеют доходы в интервале от 100 до 500 долл. в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50 000 долл.:

Номер группы 1 2 3 4 … 50 51 … 99 100 Доход, долл. 100 104 107 108 … 260 270 … 500 50 000.

Если мы воспользуемся средней арифметической, то получим средний доход более 600 долл., который не только в несколько раз меньше дохода 100-го человека, но и имеет мало общего с доходами остальной части группы. Медиана же, равная в данном случае 265 долл., позволит дать более объективную характеристику уровня доходов 99% данной совокупности людей.

Рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения). Предположим, что распределение торговых предприятий города (которых всего 190) по уровню розничных цен на товар, А имеет следующий вид:

Цена, руб…152 153 154 155 156.

Число торговых предприятий…12 48 56 60 14.

Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда — наибольшую частоту (60 предприятий) имеет цена 155 руб., следовательно, она и является модальной.

Для определения медианного значения признака находят номер медианной единицы ряда по формуле.

где п — объем совокупности. В нашем случае.

Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 95 и 96 предприятиями. Необходимо определить, в какой группе относятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 торговых предприятий, нет их и во второй группе (12 + 48 = 60). В третьей группе находятся 95-е и 96-е предприятия (12 + 48 + 56 = 116) и, следовательно, медианой является цена 154 руб.

В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул:

где х0 — нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту); і — величина модального интервала; і — частота модального интервала; { — частота интервала, предшествующего модальному; у^о+] — частота интервала, следующего на модальным;

где х0 — нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот); г — величина медианного интервала; 5 — накопленная ч<�хМе- частота интервала, предшествующего медианному; { _ частота медианного интервала.

Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные табл. 5.6.

Информация, подобная представленной в табл. 5.6, необходима для получения четкого представления о покупательной способности населения страны или региона, для оценки эластичности спроса и, в конечном итоге, для выбора того или иного метода ценообразования и обоснования окончательной цены на товар.

Таблица 5.6. Распределение населения региона, но уровню среднедушевого денежного дохода

Интервал с границами 5000—6000 в данном распределении будет модальным, так как он имеет наибольшую частоту. Используя формулу (5.3), определим моду, руб.:

Для определения медианного интервала необходимо определять накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит ½ суммы накопленных частот (в нашем случае 50%) (табл. 5.7).

Таблица 5.7. Расчетная таблица для определения медианного интервала

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если Мо < Ме < х, то имеет место правосторонняя асимметрия. При х<�Ме<�Мо следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда.

На основе полученных в последнем примере значений структурных средних можно заключить, что наиболее распространенным, типичным является среднедушевой доход порядка 5618 руб. в месяц. В то же время более половины населения располагает доходом свыше 6703 руб. при среднем уровне 7350 руб. (средняя арифметическая взвешенная). Из соотношения этих показателей можно вывод о правосторонней асимметрии распределения населения по уровню среднедушевых денежных доходов, что позволяет предполагать о достаточной емкости рынка дорогих товаров повышенного качества и товаров престижной группы.