Математическое доказательство. 
Теория и практика аргументации

Образцом доказательства, которому в той или иной мере стремятся следовать во всех науках, является математическое доказательство.

" Нигде нет настоящих доказательств, — писал французский математик и философ XVII в. Б. Паскаль, — кроме как в науке геометров и там, где ей подражают" (под «геометрией» Паскаль имел в виду, как это было обычным в его время, всю математику).

Долгое время считалось, что математическое доказательство представляет собой ясный и бесспорный процесс. В XX в. отношение к математическому доказательству изменилось вследствие нескольких обстоятельств. Прежде всего, изменились представления о лежащих в основе доказательства логических принципах. Исчезла уверенность в их единственности и непогрешимости. Возникли разногласия по поводу того, сколь далеко простирается сфера логики: логицисты убеждены, что логики достаточно для обоснования всей математики; по мнению формалистов, одной лишь логики для этого недостаточно и логические аксиомы необходимо дополнить чисто математическими; представители теоретико-множественного направления не особенно интересовались логическими принципами и не всегда указывали их в явном виде; интуиционисты из принципиальных соображений считали нужным вообще не вдаваться в логику. Подытоживая этот пересмотр понятия доказательства в математике, современный американский математик Р. Л. Уайлдер пишет, что математическое доказательство есть не что иное, как «проверка продуктов нашей интуиции… Совершенно ясно, что мы не обладали и, по-видимому, никогда не будем обладать критерием доказательства, не зависящим пи от времени, ни от того, что требуется доказать, ни от тех, кто использует критерий, будь то отдельное лицо или школа мышления. В этих условиях самое разумное, пожалуй, признать, что, как правило, в математике не существует абсолютно истинного доказательства…» .

Математическое доказательство является парадигмой доказательства вообще, но и в математике оно не абсолютно и не окончательно. Новые контрпримеры подрывают старые доказательства, лишая их силы. Доказательства пересматриваются, и новые варианты ошибочно считаются окончательными. Но, как учит история, это означает лишь, что для критического пересмотра доказательства еще не настало время.

Математик не полагается на строгое доказательство в такой степени, как обычно считают.

" Интуиция может оказаться более удовлетворительной и вселять большую уверенность, чем логика, — пишет математик М. Клайн. — Когда математик спрашивает себя, почему верен тот или иной результат, он ищет ответа в интуитивном понимании. Обнаружив непонимание, математик подвергает доказательство тщательнейшему критическому пересмотру. Если доказательство покажется ему правильным, то он приложит все силы, чтобы понять, почему интуиция подвела его. Математик жаждет понять внутреннюю причину, по которой успешно срабатывает цепочка силлогизмов… Прогрессу математики, несомненно, способствовали главным образом люди, наделенные не столько способностью проводить строгие доказательства, сколько необычайно сильной интуицией" .

Содержание понятия доказательства не является в достаточной мере определенным, круг тех рассуждений, которые можно назвать доказательствами, не имеет сколь-нибудь четко очерченной границы. Это означает, что понятие «доказательство» является одновременно и неясным, и неточным. В этом плане оно подобно таким понятиям, как «язык», «игра», «пейзаж» и т. д.

Даже математическое доказательство не обладает абсолютной убедительностью и гарантирует только относительную уверенность в правильности доказанного положения. Как пишет польский логик К. Айдукевич, «сказать, что в дедуктивных науках обоснованными считаются такие утверждения, для которых приведено дедуктивное доказательство, значит мало что сказать, поскольку мы не знаем ясно, что представляет собой то дедуктивное доказательство, которое делает правомочным в глазах математика принятие доказанного утверждения или которое составляет его обоснование» .

Переоценка роли доказательств в аргументации связана с неявным допущением, что рациональная дискуссия должна иметь характер доказательства, обоснования или логического выведения из некоторых исходных принципов. Сами эти принципы следует принимать на веру, чтобы избежать бесконечного регресса, ссылок на все новые и новые принципы. Однако реальные дискуссии только в редких случаях приобретают форму выведения обсуждаемых положений из каких-то более общих истин.