Средняя арифметическая. 
Статистика

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной. Эту форму средней используют в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.

Предположим, что шесть торговых предприятий фирмы имеют следующий объем товарооборота за месяц: Торговое предприятие…1 2 3 4 5 6 7.

Товарооборот, Млн. руб…25 40 15 10 18 12 17.

Для того чтобы определить средний месячный товарооборот в расчете на одно предприятие, необходимо воспользоваться исходным соотношением:

Используя приведенные в предыдущем параграфе условные обозначения, запишем формулу данной средней.

(1 = йг)

С учетом имеющихся данных получим средний размер товарооборота, он составит, млн руб.:

В данном случае использована формула средней арифметической простой (невзвешенной).

Средняя арифметическая взвешенная

При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

Рассмотрим следующий условный пример. Предположим, что известен курс продажи и количество проданных акций (табл. 5.3).

Таблица 5.3. Сделки по акциям эмитента X за торговую сессию

Определим по данному дискретному вариационному ряду средний курс продажи одной акции, используя следующее исходное соотношение:

Чтобы получить общую сумму сделок, необходимо по каждой сделке курс продажи умножить на количество проданных акций и полученные произведения сложить. В конечном итоге средний курс продажи составит, руб.:

Расчет среднего курса продажи произведен по формуле средней арифметической взвешенной:

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными — в процентах или долях единицы (графа 4 табл. 5.3). Так, в приведенном выше примере количество проданных в ходе каждой сделки акций соответственно составляет 43,9 (0,439), 19,5 (0,195) и 36,6% (0,366) их общего числа. Тогда с учетом несложного преобразования формулы (5.1) получим:

или, руб.:

х = 420 0,439 +530 0,195 +480 0,366 = 463,4.

На практике наиболее частая ошибка при расчете средних заключается в игнорировании весов в тех случаях, когда эти веса в действительности необходимы. Предположим, имеются следующие данные о себестоимости продукции 2:

Предприятие…1 2.

Себестоимость единицы продукции, руб…37 39.

Можно ли по имеющимся данным определить среднюю себестоимость данной продукции по двум предприятиям, вместе взятым? Можно, по только в том случае, когда объемы производства данной продукции на двух предприятиях совпадают. Тогда средняя себестоимость составит 38,0 руб. (доказательство этого правила будет приведено далее). Однако на первом предприятии за рассматриваемый период может быть произведено, к примеру, 50 единиц продукции, а на втором — 700. Тогда для расчета средней себестоимости, руб., потребуется уже средняя арифметическая взвешенная:

Общий вывод заключается в следующем: использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам.

Рассмотрим следующий пример (табл. 5.4).

Таблица 5.4. Распределение численности занятых в экономике по возрастным группам в 2009 г.

Для определения среднего возраста численности занятых найдем середины возрастных интервалов (графа 1 табл. 5.4). При этом величина первого открытого интервала условно приравнивается к величине интервала, примыкающего к нему, — второго (такое же правило применяется и при наличии последнего открытого интервала).

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний возраст (лет) занятых в экономике в 2009 г.:

Свойства средней арифметической

Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчете. Рассмотрим эти свойства.

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:

Действительно, если мы обратимся к приведенному выше примеру расчета среднего курса продажи акций (см. табл. 5.3), то получим следующее равенство (за счет округления среднего курса правая и левая части равенства в данном случае будут несколько отличаться):

• 463,4 • 2050 = 420 • 900 + 530 • 400 + 480 • 750.
• 2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

Для нашего примера:

(420 — 463,4) х 900 + (530 — 463,4) х 400 + (480 — 463,4) • 750 = 0.

Математическое доказательство данного свойства сводится к следующему:

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:

Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину.

или.

На использовании этого свойства базируется расчет центральных моментов, представляющих собой характеристики вариационного ряда при С = х ':

где к определяет порядок момента (центральный момент 2-го порядка представляет собой дисперсию).

4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:

Так, если все курсы продажи акций увеличить на 20 руб., то средний курс, руб., также увеличится на 20 руб.:

5. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз:

Предположим, курс продажи в каждом случае возрастет в два раза. Тогда и средний курс, руб., также увеличится на 100%:

6. Если все веса уменьшить или увеличить в Л раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

Так, в нашем примере удобнее было бы рассчитывать среднюю, руб., предварительно поделив все веса на 100:

Исходя из данного свойства, можно заключить, что если все веса равны между собой, то расчеты по средней арифметической взвешенной и средней арифметической невзвешенной приведут к одному и тому же результату.