Вариационное исчисление. 
Моделирование систем и процессов

Вариационное исчисление как раздел математики восходит к письму И. Бернулли, опубликованному в июне 1696 г. в журнале «Acta Eruditorum» (лат. «деяния ученых», основан в 1682 г. в Лейпциге). В этом письме И. Бернулли обратился к лучшим математикам своего времени с предложением испытать себя в решении задачи, «которая даст им возможность испробовать, хороши ли те методы, которыми они владеют, и как велика сила их ума» .

Вскоре были даны три решения: первое принадлежало И. Бернулли, второе — Г. Лопиталю, третье появилось в английском журнале без подписи, но в авторе И. Бернулли узнал Ньютона.

Вот задача, предложенная И. Бернулли, называемая ныне задачей о брахистохроне. Даны две точки в одной и той же вертикальной плоскости. По какой (гладкой) кривой тяжелая материальная точка М под действием силы тяжести скатится, оставаясь в этой плоскости, из верхней точки в нижнюю в наименьший промежуток времени? Задачу можно поставить также следующим образом: какой формы должна быть крыша, чтобы капли дождя скатывались с конька крыши в наименьший промежуток времени? Формально задача ставится, в современном изложении, следующим образом. Пусть ОМА (рис. 2.1) — искомая кривая с «верхним концом» в точке О (О, 0) и «нижним концом» в точке А (а, с). Пусть уравнение этой кривой будет у = у (х), 0 < х < а. Очевидно, у (0) = 0, у (а) = с. Простой расчет показывает, что время Г скатывания материальной точки М под действием силы тяжести из точки О в точку А вдоль данной кривой (без учета трения) будет равно:

где g — ускорение силы тяжести. Обратим внимание читателя на то, что величина Г, называемая функционалом от у = у (х), зависит от поведения функции у (х) на всем промежутке изменения величины х: 0 < х < а, а не только в каких-то отдельных точках этого промежутка. При этом на функцию у = у (х) накладываются как условие непрерывной дифференцируемость на всем промежутке, так и «краевые условия» у (0) = 0, у (а) = с.

Необходимо, таким образом, найти непрерывно дифференцируемую функцию у (х), заданную на промежутке О < х < а, удовлетворяющую краевым условиям у (0) = О, у (а) = с, и для которой функционал Т= Т (у) принимает наименьшее значение среди всех кривых такого типа.

Обобщая естественным образом эту задачу, мы приходим к так называемой простейшей задаче вариационного исчисления, которая формулируется следующим образом.

Пусть Дх, у, р) — непрерывная и ограниченная функция в области.

Пусть V/ — множество функций у = у (х), непрерывно дифференцируемых на промежутке [а, Ь] и таких, что у (а) = Л, у (Ь) В (величины а, Ь, А, В — одинаковы для всех у). На этом множестве рассмотрим функционал.

Простейшая задача вариационного исчисления состоит в нахождении функции уе¥, для которой функционал ]{у)принимал бы наименьшее для всех уеУ значение. Такую функцию обычно называют экстремалью функционала (2.2.1). Задачу отыскания экстремали функционала (2.2.1) в классе функций г/еИ7 называют еще задачей с закрепленными концами.

Решение этой задачи было дано в конце XVIII — начале XIX в. в трудах Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, и тем самым заложены теоретические основы классического вариационного исчисления. Ими же были вскрыты важнейшие связи вариационного исчисления с механикой и физикой, о чем пойдет речь ниже.

Одним из наиболее ярких результатов начального периода развития вариационного исчисления явилась теорема Эйлера, согласно которой задача нахождения экстремали функционала (2.2.1) сводится к задаче отыскания решения обыкновенного дифференциального уравнения на множестве функций у (х)е№. Это уравнение имеет вид.

или, в развернутом виде,.

Уравнение (2.2.2) обычно называют уравнением Эйлера. К этим уравнениям, очевидно, следует добавить краевые условия у (а) = А, у (Ь) В. Естественно также предполагать существование и непрерывность производных, присутствующих в уравнении (2.2.2, а). Основным звеном при выводе уравнения Эйлера является следующая лемма, принадлежащая Лагранжу.

Лемма 1.

Пусть М (х) — непрерывная на промежутке [а, ¿" функция, а ц (х) — функция, непрерывно дифференцируемая на этом промежутке и обращающаяся в нуль на его концах: ч («)Т= Ф) 0 ¦ Положим, что интеграл.

обращается в нуль при любом выборе функции п (.г) с указанными выше свойствами. Тогда функция М (х) тождественно равна нулю на а, Ь].

Теорема Эйлера, однако, не означает эквивалентность простейшей задачи вариационного исчисления и задачи нахождения решения (решений) уравнения Эйлера, а дает лишь необходимое условие. Решения уравнения Эйлера называют обычно стационарными «точками» функционала (2.2.1), некоторые из которых могут быть экстремалями; значения функционала в стационарных точках называют стационарными. Кроме того, обращает на себя внимание тот факт, что решения уравнения Эйлера представляют собой дважды непрерывно дифференцируемые функции, в то время как функционал (2.2.1) имеет смысл и для функций, дифференцируемых лишь однократно. .Эта последняя «нестыковка» была разрешена в 1879 г. П. Дюбуа-Реймоном, который доказал, что всякая непрерывно дифференцируемая экстремаль функционала (2.2.1) является также дважды непрерывно дифференцируемой функцией. В основе доказательства Дюбуа-Реймона лежит следующая лемма.

Лемма 2.

Пусть М (х) — непрерывная на промежутке [а, Ь] функция, а ц (х) — функция, непрерывно дифференцируемая на этом промежутке и обращающаяся в нуль на его концах: (6) 0. Положим, что интеграл.

обращается в нуль при любом выборе функции у (х) с указанными выше свойствами. Тогда функция М (х) постоянна на Ь.

Обе приведенные выше леммы в математике заслужили название основной леммы вариационного исчисления.

Основная задача вариационного исчисления, описанная выше, естественным образом обобщается па случай нескольких функций = #,(х), 7 1,2,…,т и нескольких независимых переменных хк, к=1,2,п. Соответствующие задачи формулируются следующим образом.