Понятие случайной величины. 
Закон распределения дискретной случайной величины

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Под случайной величиной понимается величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, не известно заранее, какое именно.

Примеры случайных величин:

• 1) количество совершенных преступлений в регионе за год;
• 2) число автомобильных аварий на улицах города;
• 3) число родившихся детей в течение суток в г. Москве;
• 4) дальность полета артиллерийского снаряда;
• 5) расход электроэнергии на предприятии за месяц.

Случайная величина называется дискретной {прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, бесконечное множество значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси.

Так, в приведенных выше примерах 12.1—12.3 имеем дискретные случайные величины; а в примерах 12.4, 12.5 — непрерывные случайные величины.

Случайные величины будем обозначать прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z,…, а их значения — соответствующими строчными буквами х, у, 2, …

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Определение 12.4. Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону распределения или «подчинена» этому закону распределения.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности (табл. 12.2).

Таблица 12.2

Ряд распределения дискретной случайной величины.

События, состоящие в том, что в результате испытания случайная величина X примет соответственно значения Х, Х2, …, х_п, являются несовместными и единственно возможными (ибо в таблице перечислены все возможные значения случайной величины), т. е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице. Таким образом, для любой дискретной случайной величины

Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат — соответствующие им вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Наконец, дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F (x), выражающая вероятность того, что X примет значение, меньшее, чем х:

Для дискретных случайных величин функция распределения есть ступенчатая функция.

Пример 12.16. В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение. Возможные значения случайной величины X - чистого выигрыша на один билет — равны 0 — 7 = -7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200 — 7 = 193, 250 — 7 = 243, 5000 — 7 = = 4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля). Учитывая, что из 1000 билетов число не выигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1, и используя классическое определение вероятности, получим:

т.е. ряд распределения X: