Система сравнения. 
Необходимое условие абсолютной устойчивости

Дальше будем рассматривать структурную схему нелинейной системы, представленную в стандартном виде (см. рис. 5.1, б). Передаточную функцию W" в операторной форме, если система задана уравнениями (5.1), можно найти следующим образом. Запишем уравнения линейной части в операторной форме:

Отсюда, исключая х и учитывая, что у = —получим ИЛИ.

Используя эту передаточную функцию, уравнения (5.1) можно записать (см. рис. 5.1,6) в виде.

Наряду с нелинейной системой (5.1) или (5.3) рассмотрим линейную систему.

Эту систему при любом к € [к_т, км] называют системой сравнения системы (5.3), (5.2). «Нелинейность» /(?) = к? принадлежит множеству (5.2) при любом к € [к_т, км]- Поэтому если система (5.3) абсолютно устойчива в угле [fc_m, км], то ее система сравнения, т. е. линейная система (5.4), устойчива (асимптотически устойчива в целом) при любом к € [к_т, км]- И если система сравнения при каком-либо к € [к_т, км] неустойчива, то система (5.3) не может быть абсолютно устойчивой в угле [к_т, км]- Будем говорить, что система сравнения робастно устойчива в угле или на интервале [к_т, км], если она устойчива при любом к € [к_т, км> Из изложенного выше вытекает следующее необходимое условие абсолютной устойчивости: для того чтобы положение равновесия системы (5.3) было абсолютно устойчиво в угле [к_т, км], необходимо, чтобы ее система сравнения была робастно устойчива в угле [к_т, км]-

Возникает вопрос, не является ли необходимое условие абсолютной устойчивости и достаточным. Эту проблему впервые в 1949 г. рассмотрел М. А. Айзерман. Поэтому ее называют проблемой Айзермана.

Проблема Айзермана вскоре была решена. Н. Н. Красовский в 1952 г. и В. А. Плисс в 1958 г. показали, что приведенное выше необходимое условие не является достаточным: они построили системы (модели), которые не были абсолютно устойчивы, в то время как их системы сравнения были робастно устойчивы в заданном угле.

Пример 5.1. Пусть передаточная функция линейной части имеет вид W" = 1/(р + I)³. Исследовать, является ли система (см. рис. 5.1, б) абсолютно устойчивой в угле [0,10].

Решение. Проверим, выполняется ли необходимое условие абсолютной устойчивости. Для этого достаточно проверить устойчивость системы сравнения (5.4) при к = 10. Характеристическое уравнение системы сравнения при таком коэффициенте имеет вид.

Определитель Гурвица 2-го порядка отрицателен: Д₂ = 3•3 — 11 = = — 2. Необходимое условие абсолютной устойчивости не выполняется. Следовательно, нелинейная система не является абсолютно устойчивой.