Методические рекомендации к изучению перпендикулярности в пространстве

Изучение перпендикулярности в пространстве важно не только само по себе, поскольку это одно из основных отношений, определяющее взаимосвязь элементов многогранников, но и для определения углов и расстояний, вычисления поверхностей и объемов многогранников и фигур вращения. Необходимо оно и при изучении темы «Векторы и координаты в пространстве».

Содержание темы имеет ту же структуру, что и предшествующая тема: перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости, перпендикулярность плоскостей.

К началу изучения темы учащиеся имеют опыт работы с перпендикулярными прямыми на плоскости, знают определение перпендикулярных прямых, свойства наклонных и проекций на плоскости, связь параллельности и перпендикулярности на плоскости. Эти знания помогут ученикам самостоятельно либо в сотрудничестве с учителем или одноклассниками сформулкровать и обосновать аналогичные утверждения в пространстве.

Для актуализации и включения субъектного опыта учеников в процесс изучения данной темы мы рекомендуем основные определения ввести в начале ее изучения как результат работы со следующим заданием.

Задача 17.11.

Какие прямые, содержащие ребра куба на рис. 17.9, будут параллельны, будут перпендикулярны, будут скрещиваться? Всегда ли будут пересекаться перпендикулярные прямые?

Какое определение перпендикулярных прямых в пространстве вы можете предложить?

Рис. 17.9.

Как определить величину угла между двумя прямыми в пространстве? Каким, по вашему мнению, будет величина угла между прямыми AN к СРиа рис. 17.9?

Какие грани куба на рисунке будут перпендикулярны? Как можно определить понятие «перпендикулярные плоскости»? Как определить угол между плоскостями? Какой, по вашему мнению, будет величина угла между плоскостями АВС и AN IP

Каково взаимное расположение прямой AM и плоскостей граней куба? Какие прямые на рис. 17.9 будут перпендикулярны плоскости основания куба? Почему вы так считаете? Какое определение прямой, перпендикулярной плоскости, вы бы могли сформулировать?

Используя приведенную в задаче конструкцию, можно ввести определение перпендикулярных прямых в пространстве, перпендикулярных плоскостей, прямой, перпендикулярной плоскости, перпендикуляра, наклонной, проекции, двугранного угла, линейного угла, иллюстрировать теорему о трех перпендикулярах (диагональное сечение куба — прямоугольник).

Одним из центральных теоретических фактов данной темы является признак перпендикулярности прямой и плоскости, обоснование которого сопровождается достаточно длинной цепыо дополнительных построений.

Работу над этим признаком можно организовать по-разному.

Учитель может просто воспроизвести доказательство на уроке, попросив затем учеников выделить основные этапы доказательства, составить план доказательства, выделить обоснования и т. д.

Учитель может построить рассказ в логике поиска доказательства: «Итак, но определению нам надо доказать, что данная прямая будет перпендикулярна любой прямой на плоскости. Проведем произвольную прямую в плоскости через точку пересечения данных прямых с плоскостью и докажем, что она будет перпендикулярна данной прямой. Для доказательства перпендикулярности прямых можно воспользоваться различными признаками (какими именно?). В частности, мы можем воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника. Если мы построим равнобедренный треугольник так, чтобы данная прямая была медианой, проведенной к его основанию, то она будет высотой этого треугольника н поставленная цель будет достигнута. Приступим к построению равнобедренного треугольника…».

Ирм любом варианте изложения мы рекомендуем предварить его следующим заданием.

Задача 17.12.

Говорят, что в судостроении раньше использовался следующий прием. Чтобы вертикально установить мачту на палубе, чертили две пересекающиеся прямые. Из точки пересечения этих прямых ставили мачту следующим образом: натягивали из одной точки мачты две пары растяжек равной длины и закрепляли их на одинаковых расстояниях от основания мачты на каждой из двух прямых (рис. 17.10). Почему прямая РО бу- Рис. 17.10 дет перпендикулярна каждой из этих прямых? Какие утверждения вы используете для обоснования данного факта?

Оказывается, что в данном случае мачта будет установлена перпендикулярно палубе, т. е. прямая РО будет перпендикулярна плоскости ЛВС. Данное построение позволяет сформулировать признак перпендикулярности прямой и плоскости, пропуски в тексте которого вам предлагается заполнить: «Если прямая … двум пересекающимся прямым, … в данной плоскости, то прямая … плоскости».

Где в реальной жизни вы сталкивались с таким способом установки прямых перпендикулярно плоскости?

Вспомните определение прямой, перпендикулярной плоскости, и ответьте на вопрос, что нужно провери ть для доказательства признака? Сформулируйте условие и заключение данной теоремы. Какова ее разъяснительная часть?

Научить применять признак перпендикулярности прямой и плоскости можно при выполнении заданий по готовым чертежам. Большой набор таких заданий приводится в учебнике А. Д. Александрова. Данные рисунки могут быть использованы и при обучении применению признака перпендикулярности плоскостей.

Одной из важнейших теорем этого раздела является теорема о трех перпендикулярах, которая очень часто используется при решении задач. Самостоятельную работу учеников при изучении этой теоремы поможет организовать задача 17.13.

Задача 17.13.

На рис. 17.11 РК ± р, а || b, МК ± а. Найдите на рисунке прямые, перпендикулярные плоскости РМК. Назовите на рисунке все пары пер;

Рис. 17.11.

пендикулярных прямых. Какие из прямых могут выступать в роли перпендикуляров к плоскости, наклонных и их проекций.

Если при поиске перпендикулярных прямых вы «не потеряли» ни одной пары, то сейчас сможете установить один очень важный факт. Заполните пропуски в его формулировке: «Если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то она … самой наклонной». Как вы можете его обосновать?

Сформулируйте обратное утверждение. Будет ли оно истинным? Эти два факта выражают одну из основных теорем данной главы — теорему о трех перпендикулярах. Сколько перпендикуляров на самом деле участвует в формулировке теоремы?

Кроме того, при изучении признаков перпендикулярности и теоремы о трех перпендикулярах следует использовать эти факты для изучения свойств объемных фигур. Приведем пример соответствующего упражнения.

Упражнение На рис. 17.12 из точки Q — центра квадрата MNKL восстановлен перпендикуляр PQ к его плоскости. Точки Л, В, С, D — середины сторон квадрата. Точка Р соединена отрезками с точками А, В, С, Д М, N, К, L.

Рис. 17.12.

Назовите па рисунке все прямые углы. Найдите равные углы, равные треугольники, равные отрезки. Какая фигура образовалась на рис. 17.12?

Аналогичные упражнения следует выполнить, если перпендикуляр восстановлен из центра равностороннего треугольника, точки пересечения диагоналей ромба, прямоугольника, а также выполнить задания, в которых из вершины пирамиды на плоскость основания опущены перпендикуляры.

Традиционно сложным в доказательном плане является вопрос о связи параллельности и перпендикулярности (теорема о параллельности двух перпендикуляров к плоскости идр.). Мы можем рекомендовать три варианта изучения этого вопроса. В первом случае формулировки теорем иллюстрируются на фигурах, доказательства не рассматриваются. Во втором случае доказательства могут быть разобраны по тексту учебника. В третьем варианте можно организовать работу по самостоятельному поиску доказательств. Соответствующие задания можно найти в пособии В. В. Орлова «Геометрия в задачах»^[1].

При изучении перпендикулярности в пространстве также продолжается формирование опыта учащихся в решении задач на построение сечений многогранников. При этом также ставится задача вычисления площади или периметра построенного сечения. Мы рекомендуем учителю обратить внимание на две задачи.

Задача 17.14.

В пирамиде с равными боковыми ребрами в основании лежит прямоугольник со сторонами б см и 8 см. Высота пирамиды равна 2 см. Построить сечение пирамиды плоскостью, параллельной боковому ребру и проходящей через диагональ основания. Вычислить площадь построенного сечения.

Задача 17.15.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равная, боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 30°. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину основания перпендикулярно противолежащему боковому ребру, и вычислить площадь построенного сечения.

Эти задания следует предложить для домашней работы с последующей проверкой на уроке. Если учащиеся не смогут самостоятельно найти их решение, то учителю следует организовать совместный поиск решения. В этих задачах изящно применяется теорема о трех перпендикулярах. Традиционная ошибка в первой задаче — медиана сечения принимается за его высоту. Во второй задаче в качестве сечения получается четырехугольник с перпендикулярными диагоналями. Эти задания можно предложить ученикам при изучении объемов многогранников или при повторении курса геометрии в 11-м классе, дополнив их еще двумя вопросами: «Определите величину угла между плоскостью сечения и плоскостью основания и вычислите объемы тел, на которые сечения разобьют исходные многогранники».

• [1] Орлов В. В. Геометрия в.задачах. 7—8 классы: пособие для ученика и учителя.СПб.: Мир и семья-95; Ингерлайн, 1999.