Лекция VI ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ 7-9-х КЛАССОВ

1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики. 2. Различные трактовки понятия функции. 3. Методика введения понятия функции. 4. Методическая схема изучения функций в курсе алгебры основной школы. 5. Методика изучения линейной функции. 6. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции.

Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики

Понятие функции — одно из фундаментальных математических понятий, непосредственно связанных с реальной действительностью. В нем ярко воплощены изменчивость и динамичность реального мира, взаимная обусловленность реальных объектов и явлений. Именно в понятии функции в определенной степени отображается бесконечное многообразие явлений реального мира.

Термин «функция» впервые встречается в письме немецкого математика Г. В. Лейбница к голландскому математику X. Гюйгенсу в 1694 году. В обычное употребление термин введен в начале XVIII в. Иоганном Бернулли.

На рубеже XIX и XX веков в России и за границей прогрессивные математики и педагоги высказались за внедрение идеи функции в школьный курс математики. Русский педагог В. П. Шереметевский в статье «Математика как наука и сс школьные суррогаты», опубликованной в журнале «Русская мысль» (№ 5, 1895) писал: «…Если вся математика есть, в сущности, учение о функциях, то ясно, и элементарный курс должен группироваться вокруг основного понятия о функциональной зависимости. Чем раньше оно будет вызвано и осторожно выращено в сознании учащихся, тем лучше».

На Западе за введение идеи функциональной зависимости в школьный курс математики выступал немецкий педагог-математик Ф. Клейн (1849−1925), убежденный в ведущей роли этого понятия и в математике-науке и в обучении математике. Он считал понятие функции центральным понятием всей математики: «Какое же понятие в современной математике доминирует? Это есть понятие о функции. Изучение функции составляет предмет, можно сказать, всей высшей математики; установление функциональной зависимости между различного рода факторами составляет задачу прикладной математики» [5, с. 13].

И ещё: «Понятие о функции должно играть основную, так сказать, руководящую роль в курсе средней школы. Понятие это должно быть выяснено учащимися очень рано и должно пронизать все преподавание алгебры и геометрии» [там же, с. 13].

Пожелания Ф. Клейна легли в основу Меранских программ, которые были приняты в 1905 году.

В России в 1911;1912 и 1913;1914 гг. были проведены I и II Всероссийские съезды преподавателей математики. Лейтмотивом большинства докладов на этих съездах прозвучала необходимость введения в школьный курс математики идеи функциональной зависимости. Первый съезд в своей резолюции записал: «Съезд признает своевременным опустить из курса математики средней школы некоторые вопросы второстепенного значения, провести через курс и ярко осветить идею функциональной зависимости».

Профессор А. Я. Хинчин подчеркивал, что «понятие функциональной зависимости должно стать не только одним из важнейших понятий школьного курса математики, но и тем основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которого группируется всё математическое преподавание» [10, с. 23].

Отметив недопустимость недооценки других не менее важных понятий, представлений и методов, А. Я. Хинчин указывал далее, почему понятие функциональной зависимости должно быть явно выделено из всех других основных математических понятий, с которыми знакомит учащихся средняя школа:

во-первых. ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и с такой конкретностью, как понятие функциональной зависимости, в котором воплощены и подвижность, динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин;

во-вторых. это понятие, как ни одно другое, воплощает в себе диалектические черты современного математического мышления; именно оно приучает мыслить величины в их живой изменчивости, а не в искусственной неподвижности, в их взаимной связи и обусловленности, а не в искусственном отрыве их друг от друга;

в третьих, понятие функциональной зависимости есть основное понятие всей высшей математики и качество подготовки учащихся к усвоению курса математики в высшей школе в значительной степени измеряется тем, насколько твердо, полно и культурно они свыклись с этим важнейшим понятием.

В ходе всех этих обсуждений возник вопрос, какое из исторически сложившихся определений понятия функции должно быть положено в основу изучения функции в средней школе:

• 1) «оперативное» определение, сформулированное более 200 лет назад Л. Эйлером и отождествляющее функцию с той формулой, которая указывает, какие действия надо произвести над значениями независимых переменных, чтобы получить соответствующие значения функции;
• 2) графическое, которое для функции одного аргумента сводится к указанию зависимости между абсциссой и ординатой точки, движущейся по совершенно произвольной кривой, и которое в XVIII в. считалось более общим, чем оперативное;
• 3) табличное, которое для случая функции одного аргумента формулируется так: «Если каждому элементу х множества М поставлен в соответствие некоторый элемент у множества V, то говорят, что на множестве М задана функция, и пишут у — f (x)». При этом отдельные элементы х называют значениями аргумента, а элементы у — значениями функции.

С точки зрения Ф. Клейна, всякое научное знание не может быть усвоено школьниками без обращения к наглядности. Поэтому трактовка понятия функции с помощью геометрических образов является, по его мнению, наиболее целесообразной в школьном обучении. «Понятие функции в геометрической форме должно быть вообще душой школьного математического образования», — писал он [5, с. 112].

Академик С. Н. Бернштейн в своем докладе «Понятие функции в средней школе», сделанном в 1913 году на II Всероссийском съезде преподавателей математики, решительно высказался за выставление на первый план оперативное определение функции, хотя и признавал, что табличное определение является более общим, чем оперативное, нс говоря уже о графическом определении.

Рассмотрим подробнее, как изменялось понятие функции в математике и в обучении математике.