Одноэлектронная связь двух протонов

Рассмотрим квантовую систему, состоящую из двух протонов и одного электрона. Если протоны разнесены на большое расстояние, то система представляет собой атом водорода и протон. Если атом водорода находится в начале координат, то оператор энергии и волновая функция основного состояния имеют вид:

H (1)0=??22m?2r?e2r;ц1=1рa3???ve?raH0(1)=??22m?r2?e2r;ц1=1рa3e?ra (43).

Если атом водорода находится в точке R, то соответственно.

H (2)0=??22m?2r?e2???R>?r>???;ц2=1рa3???ve???R>?r>???aH0(2)=??22m?r2?e2|R>?r>|;ц2=1рa3e|R>?r>|a (44).

Гамильтониан полной системы в предположении неподвижных протонов имеет вид:

H=??22m?2r?e2r?e2|R>?r>|+e2RH=??22m?r2?e2r?e2|R>?r>|+.

+e2R (45).

При этом если один из протонов удалён не бесконечность, то энергия системы будет равна энергии основного состояния E₀, а волновая функция будет удовлетворять стационарному уравнению Шрёдингера:

H (1,2)0ц1,2=E0ц1,2H0(1,2)ц1,2=E0ц1,2 (46).

Будем искать решение в нулевом приближении в виде линейной комбинации базисных функций:

ш = a₁?(t)??ц₁ + a₂?(t)?ц_2?, (47).

где коэффициенты a₁?(t) и a₂?(t) являются функциями времени, а искомая функция энергии удовлетворяет нестационарному уравнению Шрёдингера:

i?dшdt=(H (1,2)0+V1,2)ш, i? dшdt=(H0(1,2)+V1,2)ш, (48).

здесь V_1,2 — кулоновская энергия системы в одном из двух случаев.

Отсюда, используя стандартную процедуру преобразований, получаем систему уравнений.

i?aя1+i?Saя2=E0[(1+Y11)a1+(S+Y12)a2]i?Saя1+i?aя2=E0[(S+Y21)a1+(1+Y22)a2], i? aя1+i?Saя2=E0[(1+Y11)a1+(S+Y12)a2]i?Saя1+i?aя2=E0[(S+Y21)a1+(1+Y22)a2], (49).

где введены обозначения интеграла перекрытия волновых функций.

S=???1?2dv=???2?1dvS=??1??2dv=??2??1dv (50).

и матричных элементов.

Y11=1E0???1V1?1dvY11=1E0??1?V1?1dv (51).

Y12=1E0???1V2?2dvY12=1E0??1?V2?2dv.

(52).

Y21=1E0???2V1?1dvY21=1E0??2?V1?1dv (53).

Y22=1E0???2V2?2dvY22=1E0??2?V2?2dv (54).

Учитывая симметрию.

Y₁₁ = Y₂₂;?Y₁₂ = Y_21?, (55).

эскладывая и вычитая уравнения системы (49), получаем систему уравнений.

i?(1+S)(aя1+aя2)=б (a1+a2)i?(1+S)(aя1+aя2)=б (a1+a2) (56).

i?(1?S)(aя1?aя2)=в (a1?a2)i?(1?S)(aя1?aя2)=в (a1?a2) (57).

Здесь б=E0[(1+S)+Y11+Y12]в=E0[(1?S)+Y11?Y12]б=E0[(1+S)+Y11+Y12]в=E0[(1?S)+Y11?Y12] (58).

В результате получаем два решения.

a1+a2=C1exp (?iE0?t)exp (?i?1?t)a1?a2=C2exp (?iE0?t)exp (?i?2?t)a1+a2=C1exp (?iE0?t)exp (?i?1?t)a1?a2=C2exp (?iE0?t)exp (?i?2?t) (59).

Здесь.

?1=E0Y11+Y12(1+S)?2=E0Y11?Y12(1?S).?1=E0Y11+Y12(1+S)?2=E0Y11?Y12(1?S). (60).

Отсюда.

a1=12e?iщt?(e?i?1?t+e?i?2?t)a2=12e?iщt?(e?i?1?t?e?i?2?t)a1=12e?iщt?(e?i?1?t+e?i?2?t)a2=12e?iщt?(e?i?1?t?e?i?2?t) (61).

и.

|a1|2=12(1+cos (?1??2?)t)|a2|2=12(1?cos (?1??2?)t)|a1|2=12(1+cos (?1??2?)t)|a2|2=12(1?cos (?1??2?)t) (62).

Поскольку.

?1??2=2E0Y12?SY111?S2?1??2=2E0Y12?SY111?S2 (63).

при начальных условиях.

a₁(0) = 1;? a₂(0) = 0 (64).

и.

C₁ = C₂ = 1 (65).

или.

C₁ = -?C₂ = 1 (66).

получаем осциллирующие вероятности нахождения электрона около одного или другого протона:

|a1|2=12(1+cosщt)|a2|2=12(1?cosщt)|a1|2=12(1+cosщt)|a2|2=.

=12(1?cosщt) (67).

Таким образом, в вырожденной системе (атом водорода + протон) с частотой щ происходит перескок электрона с одного протона на другой.

В энергетическом плане частота щ соответствует энергии туннельного расщепления, возникающего за счёт перескока электрона (Рис. 1).

Рис. 1. Схематическое изображение потенциальной ямы с двумя симметричными состояниями. Знаком E₀ обозначен невозмущённый уровень, который за счёт перескока электрона расщепляется на два подуровня. Нижнему подуровню соответствует понижение энергии системы на величину Д

В результате, за счёт обмена электроном между протонами возникает взаимное притяжение, обусловленное понижением их энергии на величину:

ДE=?щ2ДE=?щ2 (68).

Это притяжение является сугубо квантовым эффектом, подобного эффекта в классической физике не существует.

Величина туннельного расщепления (и энергия взаимного притяжения притяжения между протонами) зависит от двух параметров:

Д = |E₀|· Л (x), (69).

здесь E₀ — потенциальная энергия невозмущённого состояния системы (т.е. энергия электрона, связанного с одним из ядер при втором ядре, удалённом на бесконечность),.

функция Л (x) выражает зависимость энергии обмена от безразмерного расстояния между протонами x. Эта зависимость от расстояния между ядрами в соответствии с (63) имеет вид Л (x)=Y12?SY11(1?S2)Л (x)=Y12?SY11(1?S2) (70).

Графическая оценка величины обменного расщепления ДE показывает, что этот эффект экспоненциально быстро уменьшается с увеличением расстояния между протонами в полном соответствии с закономерностью прохождения частицы через барьер.