Стационарная нелинейная теплопроводность в многослойной пластине

К нелинейным относятся задачи теплопроводности, в которых учитывается зависимость теплофизических свойств от температуры. Математическая постановка нелинейной задачи теплопроводности для многослойной пластины при граничных условиях первого рода имеет вид [38].

Коэффициент теплопроводности Х (х, Т) через асимметричную единичную функцию Н (х — Xj) записывается следующим образом:

Предположим, что коэффициент теплопроводности каждого слоя является линейной функцией температуры:

Соотношение (3.81) для многослойной стенки, представленной в виде однослойной с кусочно-однородными свойствами, можно представить в виде где

Интегрируя уравнение (3.77) в пределах от до х, получаем уравнение.

где С[ — постоянная интегрирования.

Подставляя (3.82) в (3.85), получаем соотношение.

Проинтегрируем соотношение (3.86):

Соотношение (3.87) можно переписать в виде.

где С₂ — постоянная интегрирования.

Подставляя (3.83) и (3.84) в (3.88), получаем соотношение Соотношение (3.89) приводится к виду.

Определяя интегралы, получаем соотношение.

Подставляя пределы интегрирования в соотношении (3.91), получаем соотношение.

Ввиду того что третий и пятый члены левой части соотношения (3.92) не зависят от переменной х, их можно отнести к постоянной интегрирования С₂. Тогда соотношение (3.92) будет иметь вид.

Из соотношения (3.93) находим формулу для температуры:

Неизвестные температуры в точках контакта слоев Г (х₂) находятся из системы алгебраических нелинейных уравнений (где х, — расстояние от начала координат до конца i-ro слоя).

Учитывая свойства асимметричной единичной функции [211, система уравнений (3.95) приводится к виду.

Из первого уравнения системы (3.96) находим.

Оставшиеся неизвестные Т (х*,) находятся, но рекуррентной формуле.

Подставляя (3.97) и (3.98) в (3.94), находим общее решение дифференциального уравнения (3.77). Постоянные интегрирования С и С₂ определяются из граничных условий (3.78), (3.79). Для их нахождения будем иметь систему двух алгебраических нелинейных уравнений.

Определяя из системы (3.99) постоянные интегрирования С_{ и С₂ и подставляя их в (3.94), получаем искомое решение нелинейной задачи теплопроводности для многослойной стенки.

Соотношение (3.94) для двухслойной стенки примет вид.

где Т — температура в точке контакта слоев, т. е. при х = Х.

Найдем решение конкретной задачи при следующих исходных данных:

Постоянная интегрирования С₂ находится из первого уравнения системы (3.99) (С₂ = 100,5). Уравнение для нахождения постоянной интегрирования С, определяемое из второго соотношения системы (3.99), будет иметь вид.

Из (3.102) находим С = -100,5.

Температура в точке контакта слоев, определяемая из соотношения (9.97), будет равна Т_{ = 49,1°С.

Отметим, что в данном случае ввиду малых значений коэффициентов Ь и Ь₂ задача приближается к линейной. Точное решение линейной задачи составляет 1 = 50 °C. Если уменьшить величины Ь_х и Ь₂ до значения 0,0001, то получаемая по формуле (3.97) температура будет Т = 50,2°С, т. е. задача становится практически линейной.

Анализ полученных результатов позволяет заключить, что применение асимметричной единичной функции позволяет получать достаточно простые и удобные для практического применения аналитические решения стационарных нелинейных задач теплопроводности для многослойных конструкций.