Проверка различных гипотез о коэффициентах

Важную роль в экономической интерпретации регрессионных уравнений играет проверка различных гипотез о коэффициентах. Обычно начинают с проверки гипотезы о незначимости регрессии в целом:

(все коэффициенты кроме константы равны нулю);

Н_х хотя бы один из этих коэффициентов отличен от 0.

Идея теста Фишера состоит в следующем: если мы правильно выбрали регрессоры, то RSS будет существенно больше, чем ESS, т. е. при достаточно большом значении RSS/ESS стоит отвергнуть нулевую гипотезу. Более формально, если верна гипотеза #₀, то статистика.

имеет распределение Фишера с (k — 1) и (п — k) степенями свободы. На a-процентном уровне значимости эта гипотеза отвергается, если F > F_a(k-l_tn-k), где F_a(k-l, n-k) — a-процентная точка распределения Фишера F (k-_yn-k).

Чтобы узнать, какие факторы оказывают влияние на зависимую переменную, проверяют гипотезу о незначимости отдельного коэффициента:

Если верна гипотеза #₀, то статистика t = (З/sp имеет распределение Стыодента с (п — к) степенями свободы. На а-процентном уровне значимости эта гипотеза отвергается, если >t_a/2{n-k)_y где t_a/2(n-k) — a/2-процентная точка распределения Стыодента t (n-k). Если в уравнении есть ровно один незначимый коэффициент, то соответствующий ему регрессор можно удалить из уравнения. Этот тест можно обобщить для проверки гипотезы о значении отдельного коэффициента:

Тогда ?-статистика принимает вид t = ((3 — |3*)/$р, а процедура проверки сохраняется.

В некоторых случаях целесообразнее использовать одностороннюю альтернативу, например, для нулевой гипотезы Щ:$_т = ss* можно рассмотреть альтернативы Н_{: ss_w > ss* или Я₁: ss_w < ss*. В такой ситуации мы оказываемся, если априори известно, что величина ss_/;/ принимает значения, лежащие по одну сторону от ss*. На а-ироцентном уровне значимости нулевая гипотеза отвергается, если t > t_a(n — k) (соответственно, t < -t_a(n — k)). Желая подчеркнуть, что речь идет о i-статистике для проверки гипотезы о коэффициенте ss_w, при переменной Х_т используют обозначение t_Xm-

Нередко возникает вопрос, нельзя ли без потери качества исключить целую группу регрессоров? Для проверки используют гипотезу о незначимое™ группы коэффициентов (не умаляя общности, далее можно считать, что рассматриваются последние q регрессоров):

(q последних коэффициентов равны нулю);

Н: хотя бы один из этих коэффициентов отличен от нуля.

В этой ситуации регрессия называется регрессией без ограничений, а регрессия с исключенными последними q регрессорами.

 — регрессией с ограничениями. Обозначим соответствующие им суммы квадратов через ESS_UR и ESS_r (от слов unrestricted — неограниченный и restricted — ограниченный). При удалении регрессоров ESS не может уменьшиться. Интуитивно понятно, что если ESS увеличилась ненамного, то этим можно пренебречь. Вопрос в том, сколь сильно она увеличивается. Если верпа гипотеза #₀, то статистика.

имеет распределение Фишера с q и (п — k) степенями свободы. На a-процентном уровне значимости эта гипотеза отвергается, если F > F_a(q, n-k), где F_a(q, n-k) — a-процентная точка распределения Фишера F (q, n-k).

Другой способ проверки гипотез (не требующий заранее фиксировать уровень значимости) основан на вычислении вероятности получения данного значения статистики в предположении, что нулевая гипотеза верна. Эконометрические пакеты (EconometricViewSy Gretl, Statistica и др.) приводят значения р-значения^[1] (или p-value или Prob), позволяющие проверять стандартные гипотезы без использования таблиц. Р-значение — это вероятность ошибиться, отвергнув нулевую гипотезу. Если p-значение меньше зафиксированного уровня значимости, то нулевая гипотеза отвергается.

Зачастую эконометрические задачи приводят к вычислениям большого объема. Поэтому эффективное использование эконометрики невозможно без компьютера и современного программного обеспечения. Желая помочь читателю познакомиться с одним из популярных эконометрических пакетов, мы приведем результаты расчетов, сделанных с помощью пакета Gretl, в той форме, в которой он их предлагает пользователю (см. приложение 2). Мы будем использовать общедоступные данные из интернета.

Пример 14.1.

Пусть у нас есть следующие данные для 94 стран¹: GROWTH — средний годовой экономический рост за 1965—1990 гг., LOGGDP65 — логарифм душевого ВНП в 1965 г., LND100 km — доля площади, находящейся не далее 100 км от побережья, POP 100 km — доля населения, живущих не далее 100 км от побережья, TROPICAR — доля площади, находящейся в тропиках, TROPPOP — доля населения, живущая в тропиках, OPEN — доля лет, в течение которых страна была открыта для торговли, POLINST — индекс качества политических институтов (0 — плохо, 10 — хорошо). Как географическое положение влияет на экономический рост?

Для ответа на этот вопрос построим регрессионное уравнение.

Оцененное по МНК уравнение в пакете Gretl имеет следующий вид²: Модель 1: МНК, использованы наблюдения 1—94 Зависимая переменная: GROWTH

• 1 и ЛЬ: http://fmwww.bc.edu/ec-p/data/inst/geodata.dta
• 2 Здесь и далее мы приводим распечатки пакета СгеМ в той форме, в которой он их предлагает пользователю. Расшифровка сокращений: среднее зав. перемен — среднее зависимой переменной; ст. откл. зав. перемен — стандартное отклонение зависимой переменной; сумма кв. остатков — сумма квадратов остатков; ст. ошибка модели — стандартная ошибка модели; испр. Р-квадрат — исправленный (скорректированный) Л-квадрат; лог. правдоподобие — логарифм функции максимального правдоподобия; крит. Акаике — критерий Акаике. Запись 8,17е-10 означает 8,17 • 10 ¹⁰.

Зафиксируем уровень значимости 0,05. Оценим значимость уравнения в целом. Нулевая гипотеза — все коэффициенты, кроме константы, равны нулю. Первый вариант проверки: так как расчетное значение статистики F= 10,95 больше пятипроцентной точки Р₀₀₅(7,86) = 2,1, то нулевая гипотеза отвергается. Второй вариант проверки: р-значение 8 -10^-10 означает, что отвергая нулевую гипотезу, мы ошибемся в 8−10^м0 процентах случаев, т.с. практически никогда. Следовательно, нулевую гипотезу стоит отвергнуть. Коэффициент детерминации 0,41 означает, что 41% вариации экономического роста объясняется регрессией. Проверим значимость отдельных коэффициентов. Первый вариант проверки: сравниваем модули i-статистик с ?0,05(86) = 1,9. Получаем, что коэффициенты при логарифме душевого ВНП, открытости торговли и индексе качества политических институтов значимы (для них |/| > 1,9). Второй вариант проверки: проверяем, для каких переменных p-значения меньше, чем 0,05. Приходим к такому же выводу. На самом деле, в пакете Gretl тест Стыодента на незначимость коэффициентов проводится автоматически — знаком «*» помечены коэффициенты, значимые на 10%-ном уровне, «**» на 5%-ном уровне, «***» на 1%-ном уровне.

Так как четыре коэффициента оказались незначимыми, то естественно проверить гипотезу о совместной незначимости коэффициентов.

Для этого строим регрессию с ограничением, исключив соответствующие факторы:

Модель 2: МИК, использованы наблюдения 1—94 Зависимая переменная: GROWTH

Используя суммы квадратов остатков в обеих моделях, вычисляем.

что больше, чем Р (4,8б) = 2,47. Следовательно, исключить все четыре переменные нельзя (несмотря на то, что по тесту Стьюдента они по отдельности незначимы). Попытки исключить только три фактора приводят к итоговому уравнению.

Модель 3: МНК, использованы наблюдения 1—94 Зависимая переменная: GROWTH

или.

Значимый и отрицательный коэффициент при переменной ТЯОРРОР указывает, что чем больше доля населения, живущая в тропиках, тем меньше экономический рост.

Гипотеза о независимых линейных ограничениях общего вида, число которых строго меньше числа регрессоров, проверяется с использованием регрессий с ограничением и без, аналогично тому, как была проверена незначимость группы коэффициентов. Например, для проверки гипотезы о том, что для модели.

выполняются два ограничения.

нам пришлось бы построить регрессию с ограничением Пример 14.2.

Пусть HOUSING: количество новых домов (в 1000), POP: население (млн человек), GNP: ВНП (млрд долл. 1982), UNEMP. уровень безработицы (%), INTRATE: ставка процента по закладной (%)'. Оцените модель.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

и проверьте гипотезу Решение

Оценим исходную модель Модель 4: МНК, использованы наблюдения 1—23 Зависимая переменная: _110USING

Отсюда ESS_ur = 0,56. Подставим ограничение (3? = 1- P:? в уравнение ^[2]

и преобразуем его так, чтобы можно было оценить по МНК:

В правой части у второго слагаемого отсутствует коэффициент, поэтому его следует перенести в левую часть, а из третьего и четвертого слагаемых следует вынести общий множитель, чтобы коэффициент получился одинаковым по модулю:

Мы получили уравнение с ограничением. Оценим его.

Модель 5: МНК, использованы наблюдения 1—23 Зависимая переменная: Ь_Н01/5'ШС_Р0Р

Коэффициент Ст. ошибка ?-статистика Р-значение.

Используя суммы квадратов остатков в обеих моделях, вычисляем.

что меньше, чем Р (1,19) = 4,38. Следовательно, нулевая гипотеза принимается.

• [1] Сокращение от probability — вероятность.
• [2] URL: dss.ucsd.edu/-rramanat/XLDATA/DATA4−3.XLS