Неевклидовы площади круга и треугольника

Пользуясь обозначениями п. 8 (фиг. 54), для неевклидовой площади круга получаем выражение:

Выполняя внутреннее интегрирование по ш в пределах от — к доfя, а наружное по р в пределах от 0 до R и заменяя в результате R через — ^,.

А

найдём для 5 следующее выражение: или.

Займёмся вычислением неевклидовой площади треугольника. Она будет выражаться следующим двойным интегралом:

где интегрирование берётся по области криволинейного треугольника АВС (фиг. 57).

Полагая в формуле Грина:

Р = —, Q = О, получим для S выражение:

Чтобы вычислить интеграл (32), подсчитаем сначала его значение вдоль дуги АВ. Принимая за начало координат центр окружности А В (параллель.

Фиг. 57.

ный перенос вдоль оси Ох_} очевидно, не меняет интеграла), найдём:

Таким образом, интеграл равен вариации 0 вдоль АВ с противоположным знаком, т. е. вариации с противоположным знаком, а вдоль АВ, где, а означает угол между положительными направлениями касательной к дуге АВ и оси Ох (фиг. 58). Искомый интеграл, следовательно, есть сумма вариаций, а вдоль трёх сторон треугольника, взятая с противоположным знаком. Полная вариация этого угла а, когда точка описывает контур в положительном направлении, отравляясь ог какой-либо его точки и возвращаясь в неё, очевидно, равна 2я. R эту полную вариацию входит сумма, которая нас интересует, и сумма вариаций в вершинах А, В, С, каковые будут * — А, я—В, к —С. Таким образом, окончательно получаем:

Фиг. 58.

В силу своего геометрического смысла, определяемого формулой (32), этот интеграл существенно положителен, т. е. я — (Л-{-Я + С) > 0, откуда мы заключаем: сумма углов неевклидова треугольника меньше я. Кроме того, мы видим, что неевклидова площадь треугольника равна избытку я над суммой трёх его углов, умноженной на Л².

В частности, неевклидова площадь любого треугольника не может превзойти конечной величины я№.

Эта максимальная неевклидова площадь, равная nk*_% очевидно, будет у треугольников, у которых все три угла равны нулю. Легко видеть, что изображения всех вершин такого треугольника лежат на фундаментальной окружности, т. е. все три вершины будут бесконечно удалёнными точками плоскости Лобачевского.