Различные теории турбулентности

В настоящее время существует несколько гипотез, позволяющих получить зависимости между турбулентными касательными напряжениями и осредненными скоростями турбулентных потоков. Эти гипотезы получили название теорий турбулентности.

Одной из наиболее распространенных теорий турбулентности является полуэмпирическая теория Л. Прандтля, предложенная им в 1925 г. Она основана на представлении о том, что при турбулентном перемешивании количество движения массы, переносимой в потоке за счет поперечной пульсационной составляющей скорости, остается неизменным на некотором пути, а затем изменяется скачком. Длина этого пути — так называемая длина пути перемешивания. Предполагается, что это расстояние проходит моль жидкости, не взаимодействуя с другими молями и сохраняя постоянным свое осредненное количество движения.

Рис. 6.

После прохождения этого пути моль жидкости смешивается с жидкостью другого слоя, отдавая ей разницу количества движения. Длина пути перемешивания имеет аналог в виде длины свободного пробега молекулы в молекулярно-кинетической теории. Но при этом средняя длина пробега молекул мала по сравнению с размерами поперечного сечения, а размеры турбулентных вихрей (образований) могут быть сопоставимы с размерами сечения.

Длина перемешивания — геометрическая величина, которая характеризует внутреннюю структуру потока при турбулентном движении, ее рассматривают как один из масштабов турбулентности.

Рассмотрим турбулентный установившийся поток (рис. 6.6). Ось ОХ совпадает с направлением осредненного движения.

Через площадку, выбранную в потоке нормально к оси OZ, переносится жидкость со скоростью. Масса перенесенной за время жидкости.

.

Если продольная скорость этой массы до пересечения границы, а количество движения, то согласно гипотезе Прандтля значения этих величин остаются неизменными на пути, а затем изменяются. В теории Прандтля предполагается малой. На расстоянии от площадки осредненная скорость потока равна, а количество движения массы равно .

Применив теорему о количестве движения, придем к выводу, что на пути на перемещающуюся массу действовала продольная сила.

или .

Эту силу называют силой турбулентного трения.

Модуль касательного напряжения.

.

Для двухмерных равномерных потоков (рис. 6.6), ,. В этом случае. Допуская, что и подставляя в предыдущее выражение для с учетом разноименности и, имеем:

.

Таким образом, теория Прандтля объясняет происхождение турбулентных касательных напряжений в уравнениях Рейнольдса обменом количества движения при перемешивании масс.

Осредненное значение имеет вид.

(6.7).

т. е. мы вновь получили такое же выражение для, что и (6) из уравнений Рейнольдса.

Далее Прандтль предположил, что величины и одного порядка Так как, то.

. (8).

Общее касательное напряжение при турбулентном режиме движения равно сумме чисто вязкостного напряжения и, при этом определяется по (1.12). Тогда.

.

Знак плюс в первом члене соответствует увеличению скоростей при возрастании расстояния, отсчитываемого от стенки.

При ламинарном движении нет перемешивания в жидкости и.

.

При развитом турбулентном движении, когда происходит интенсивное перемешивание в жидкости, второй член в (9) существенно больше, чем первый, и можно пренебречь. Тогда по (8).

.

Так как каждая из пульсационных составляющих скорости приближенно пропорциональна средней скорости, то для развитого турбулентного движения касательные напряжения растут пропорционально квадрату средней скорости (квадратичная область сопротивления) и обозначаются :

.

Когда значения сопоставимы со значениями, то общее касательное напряжение определяется по (9) и зависит от средней скорости и степени, меньшей чем вторая.

Предлагались и другие гипотезы для определения касательного напряжения. Буссинеск в 1877 г. предложил записывать турбулентное касательное напряжение по аналогии с вязкостным касательным напряжением в виде.

(8а).

где — коэффициент турбулентного обмена, называемый также виртуальной (кажущейся) вязкостью по аналогии с динамической вязкостью; - кинематическая турбулентная вязкость [в отличие от кинематической (молекулярной) вязкости ]. Очевидно, что исходя из (8а) должна иметь вид рейнольдс турбулентный ламинарный пульсационный.

.

Как кинематическая вязкость так и динамическая турбулентная вязкость характеризуют статистические свойства турбулентности и зависят от механизма турбулентного перемешивания. Величины и существенно изменяются в пределах живого сечения как в трубах, так и в открытых потоках; .

Сведения о кинематической турбулентной вязкости важны при рассмотрении распределения взвешенных частиц (наносов) в потоке, а также при изучении других вопросов.

Академик М. Д. Миллионщиков предложил рассматривать турбулентную кинематическую вязкость состоящей из трех слагаемых:

.

при этом.

.

Составляющая равна.

.

где толщина вязкого подслоя.

Составляющая равна.

.

где и — коэффициенты; - параметр, определяющий характерную высоту шероховатости Исходя из этой гипотезы, М. Д. Миллионщиковым получены формулы для распределения скоростей и для коэффициента Дарси, хорошо согласующиеся с опытом.

По А. Н. Колмогорову в связи с проявлениями неустойчивости осредненного движения возникают турбулентные возмущения (вихри) первого порядка, т. е. самые крупные в данных условиях. Распад вследствие неустойчивости этих вихрей приводит к появлению более мелких вихрей, от которых появляются еще более мелкие вихри. И так вплоть до вихрей самого малого размера, в которых и происходит гашение энергии путем перехода ее во внутреннюю тепловую энергию (в теплоту). Меньше последних вихри не могут образоваться вследствие влияния вязкости. Такая картина структуры существует, если турбулентные вихри первого порядка (самые крупные) получают энергию из осредненного движения, а вихри последующих порядков получают энергию по каскаду друг от друга, от более крупных к более мелким соседним и так далее. Частота пульсации скорости для самых крупных вихрей — наименьшая, в более мелких вихрях частота пульсаций увеличивается по мере уменьшения их размеров.

А. Н. Колмогоровым получено выражение для внутреннего масштаба турбулентности, характеризующего размеры тех вихрей, где энергия потока переходит непосредственно в тепловую вследствие действия сил вязкости.

Внутренний масштаб равен.

.

где — кинематическая вязкость; - рассеиваемая (переходящая в теплоту в единицу времени) удельная энергия, отнесенная к единице массы.

В безнапорных и напорных потоках вихри первого порядка сопоставимы с глубиной потока или с диаметром (радиусом) трубы, которые принимают в этих случаях за внешний масштаб турбулентности.

Так как турбулентное движение является случайным процессом, то его можно описать рядом статистических характеристик. Обычно используют корреляционные моменты, коэффициенты корреляции, спектральные функции, коэффициенты вариации (интенсивности турбулентности), коэффициенты эксцесса и т. д. Упрощенный анализ ограничивается сведениями о стандартах пульсаций, их интенсивности, частотах, законах распределения вероятностей пульсаций и о масштабах турбулентности.

Укажем, что теоретические работы (А. Н. Колмогоров и другие авторы) пока еще не приводят к рекомендациям для технических расчетов, хотя успешно объясняют закономерности механизма турбулентного движения. Поэтому здесь в технических приложениях используем решения, основанные на гипотезе Прандтля.