Дискретные случайные величины

комбинаторика теория вероятность Задача 1. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины — числа опробованных ключей.

Решение. Число опробованных ключей может равняться 1, 2 или 3. Если испытали только один ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак, Далее, если опробованных ключей было 2, т. е. =2, это значит, что первый ключ не подошел, а второй — подошел. Вероятность этого события равна 2/3Ч½=1/3. То есть, Аналогично вычисляется вероятность В результате получается следующий ряд распределения:

Задача 2. Построить функцию распределения F (x) для случайной величины из задачи 1.

Решение. Случайная величина имеет три значения 1, 2, 3, которые делят всю числовую ось на четыре промежутка:. Если x<1, то неравенство x невозможно (левее x нет значений случайной величины) и значит, для такого x функция F (x)=0.

Если 1x<2, то неравенство x возможно только если =1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения F (x)=1/3.

Если 2x<3, неравенство x означает, что или =1, или =2, поэтому в этом случае вероятность P (.

И, наконец, в случае x3 неравенство x выполняется для всех значений случайной величины, поэтому P (.

Итак, мы получили следующую функцию:

Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин и задан c помощью таблицы.

Вычислить частные законы распределения составляющих величин и. Определить, зависимы ли они. Вычислить вероятность .

Решение. Частное распределение для получается суммированием вероятностей в строках:

;

;

.

Аналогично получается частное распределение для :

;

.

Полученные вероятности можно записать в ту же таблицу напротив соответствующих значений случайных величин:

Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин и. С этой целью для каждой клетки совместного распределения вычислим произведение (т.е. сумм по соответствующей строке и столбцу) и сравним его со значением вероятности в этой клетке. Например, в клетке для значений =1 и =1 стоит вероятность 1/16, а произведение соответствующих частных вероятностей ¼Ч¼ равно 1/16, т. е. совпадает с совместной вероятностью. Это условие так же проверяется в оставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным во всех. Следовательно, случайные величины и независимы.

Заметим, что если бы наше условие нарушалось хотя бы в одной клетке, то величины следовало бы признать зависимыми.

Для вычисления вероятности отметим клетки, для которых выполнено условие. Таких клеток всего три, и соответствующие вероятности в этих клетках равны 1/8, 3/16, 3/8. Их сумма равна 11/16, это и есть искомая вероятность. Вычисление этой вероятности можно записать так:

Задача 4. Пусть случайная величина о имеет следующий закон распределения:

Вычислить математическое ожидание M, дисперсию D и среднеквадратическое отклонение .

Решение. По определению математическое ожидание равно.

.

Далее.

.

а потому.

.

Среднее квадратическое отклонение .

Задача 5. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить .

Решение. Воспользуемся формулой. А именно, в каждой клетке таблицы выполняем умножение соответствующих значений и, результат умножаем на вероятность pij, и все это суммируем по всем клеткам таблицы. В итоге получаем:

Задача 6. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить ковариацию cov (,).

Решение. В предыдущей задаче уже было вычислено математическое ожидание. Осталось вычислить и. Используя полученные в решении задачи 3 частные законы распределения, получаем.

; ;

и значит,.

.

чего и следовало ожидать вследствие независимости случайных величин.

Задача 7. Случайный вектор (,) принимает значения (0,0), (1,0), (-1,0), (0,1) и (0,-1) равновероятно. Вычислить ковариацию случайных величин и. Показать, что они зависимы.

Решение. Поскольку Р (=0)=3/5, P (=1)=1/5, P (=-1)=1/5; Р (=0)=3/5, P (=1)=1/5, P (=-1)=1/5, то М=3/50+1/51+1/5(-1)=0 и М=0;

М ()=001/5+101/5−101/5+011/5−011/5=0.

Получаем cov (,)=М ()-ММ=0, и случайные величины некоррелированны. Однако они зависимы. Пусть =1, тогда условная вероятность события {=0} равна Р (=0|=1)=1 и не равна безусловной Р (=0)=3/5, или вероятность {о=0,з=0} не равна произведению вероятностей: Р (=0,=0)=15Р (=0)Р (=0)=9/25. Следовательно, и зависимы.

Задача 8. Случайные приращения цен акций двух компаний за день и имеют совместное распределение, заданное таблицей:

Найти коэффициент корреляции.

Решение.Прежде всего вычисляем M=0,30,20,1+0,4=0,4. Далее находим частные законы распределения и :

Определяем M=0,50,5=0; M=0,60,4=0,2; D=1; D=1−0,22=0,96; cov (,)=0,4. Получаем.

.

Задача 9. Случайные приращения цен акций двух компаний за день имеют дисперсии D=1 и D=2, а коэффициент их корреляции =0,7. Найти дисперсию приращения цены портфеля из 5 акций первой компании и 3 акций второй компании.

Решение. Используя свойства дисперсии, ковариации и определение коэффициента корреляции, получаем:

.

Задача 10. Распределение двумерной случайной величины задано таблицей:

Найти условное распределение и условное математическое ожидание при =1.

Решение. Условное математическое ожидание равно.

.

Из условия задачи найдем распределение составляющих и (последний столбец и последняя строка таблицы).

Поскольку, то условные вероятности находятся по формулам.

,.

а искомое условное математическое ожидание равно .