Нормальное распределение. 
Статистика с элементами эконометрики

История изучения нормального распределения составляет почти 300 лет. В 1730 г. английский математик А. Муавр (1667— 1754) опубликовал первую научную работу о нормальном распределении. В 20—30-х XX в. финн Я. В. Линдеберг (1876—1932), француз ГГ. Леви (1886—1971), югослав В. Феллер (1906—1970), русские ученые А. Я. Хинчин (1894—1959), А. А. Марков (1857— 1922), А. М. Ляпунов (1857—1918) и др. продолжили исследования по поиску необходимых и достаточных условий, а также свойств нормального распределения.

Распределение непрерывной случайной величины х называют нормальным N (х, о), если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой.

Нормальное распределение признака наблюдается в тех случаях, когда на величину вариантов, входящих в состав вариационного ряда, действует множество случайных, независимых или слабо зависимых факторов, каждый из которых играет в общей сумме незначительную роль. Нарушение нормального характера распределения часто является свидетельством неоднородности совокупности.

Кривая нормального распределения представляет собой одновершинную симметричную колоколообразную фигуру, правая и левая ветви которой равномерно и симметрично убывают, асимптотически приближаясь к оси абсцисс (рис. 9.3). Отличительной особенностью этой кривой является совпадение в ней средней арифметической, моды и медианы. Если всю площадь между кривой нормального распределения и осью абсцисс принять за 100%, то в пределах одной о заключено 68,3% частот, в пределах двух о — 95,4%, в пределах трех а — 99,7% («правило трех сигм»).

Нормальное распределение имеет следующие свойства.

• 1. Значения признака имеют тенденцию концентрироваться около точки t = 0, где t = (х — х)/о является нормированным отклонением.
• 2. Нормальная кривая симметрична относительно вертикальной оси.
• 3. Значения наблюдений не ограничены по своей величине.
• 4. х, Мо, Ме имеют одно и то же значение при t = 0.
• 5. Изменение величины t характеризует различные типы распределения.

Случайные величины, распределенные по нормальному закону, различаются значениями параметров х и о. Чем меньше вели;

Рис. 9.3. Кривая нормального распределения.

чина а, тем более вытянута вверх кривая распределения, данное вытягивание вверх компенсируется сжатием около центра распределения х и более быстрым приближением кривой к оси абсцисс. Чем больше величина а, тем более плоской и растянутой вдоль оси абсцисс становится кривая распределения (рис. 9.4).

Рис. 9.4. Кривые нормального распределения с различными величинами среднего квадратического отклонения.

Если величина а остается неизменной, а х изменяется, то кривые нормального распределения имеют одинаковую форму, но отличаются друг от друга положением максимальной ординаты (рис. 9.5).

Для центральных моментов третьего и четвертого порядка нормального распределения справедливы равенства:

Рис. 9.5. Кривые нормального распределения с различными величинами среднего значения.

Теоретические частоты при нормальном законе распределения случайной величины определяют следующим образом: сначала по эмпирическим данным рассчитывают среднюю арифметическую ряда и среднее квадратическое отклонение, находят нормированное отклонение каждого варианта от средней арифметической. Затем по таблице значений функции нормального распределения определяют ее значения и вычисляют теоретические частоты.

Теоретические частоты при нормальном законе распределения случайной величины определяют, но формуле.

где N — объем совокупности; — длина интервала; i — нормированные отклонения каждого варианта от средней арифметической; ф (?) — функция нормирования отклонения, ее значения определяют по таблице распределения функции (эту и другие таблицы см. в работе [40]).

Рассмотрим выполнение выравнивания по теоретической кривой нормального распределения данных, представленных в табл. 9.2.

Таблица 9.2

Размер чистой прибыли 510 предприятий.

Теоретические частоты для распределения определим в гр. 3 табл. 9.3 по формуле.

Таблица 9.3.

Расчет теоретических частот вариационного ряда

Интервал.		<�Р (0.	утеор
А.
0,5−1,5.	— 1,57.	0,1163.
1,5−2,5.	— 1,07.	0,2251.
2,5−3,5.	— 0,57.	0,3391.
3,5−4,5.	— 0,07.	0,3980.
4,5−5,5.	0,43.	0,3637.
5,5−6,5.	0,93.	0,2589.
6,5−7,5.	1,43.	0,1435.
7,5−8,5.	1,93.	0,0620.

Представим эмпирическое и теоретическое распределения графически (рис. 9.6).

Существуют определенные границы разброса значений нормального распределения исследуемого признака (рис. 9.7):

• а) в промежутке х ± о находится 68,3% всех значений признака;
• б) в промежутке х ± 2а находится 95,4% всех значений признака;
• в) в промежутке х ± За находится 99,7% всех значений признака.

С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются в статистической практике: а) распределение у} (хи-квадрат); б) распределение Стьюдента (?-распределение); в) распределение Фишера — Снедекора.

Рис. 9−6. Эмпирическое и теоретическое распределения размера чистой прибыли в год (510 предприятий).

Рис. 9.7. Границы разброса значений единиц статистической совокупности, имеющей нормальное распределение

Распределение (хи-квадрат) — это распределение случайной величины.

где случайные величины х_{, х₂, …, х_п независимы и имеют одно и тоже распределение Л^г(0,1), п — число степеней свободы распределения хи-квадрат (рис. 9.8).

Распределение зависит лишь от одного параметра п. График плотности вероятности случайной величины, имеющей^{-распределение,} лежит только в первой четверти декартовой.

Рис. 9.8. Плотность^{-распределения} для различных степеней.

свободы системы координат и имеет асимметричный вид с вытянутым правым «хвостом». Распределение у} применяется для нахождения интервальных оценок и проверки статистических гипотез. При этом используется таблица критических точек ^-распределения.

Распределение Стьюдента — это распределение случайной величины:

где случайные величины %-и X независимы; X имеет стандартное нормальное распределение N (0,1); — распределение хи-квадрат с п степенями свободы; к — число степеней свободы распределения Стьюдента (рис. 9.9).

Следует отметить, что ?-распределение симметрично относительно х = 0; при & = 1 оно является распределением Коши, с ростом п стремится к нормальному распределению с нулевым средним и уже при п = 30 кривая плотности практически совпадает с соответствующей кривой Гаусса. Распределение Стьюдента применяется для нахождения интервальных оценок и проверки статистических гипотез. При этом используется таблица критических точек ?-распределения.

Распределение Стьюдента было введено в 1908 г. английским статистиком В. Госсетом, работавшим на фабрике, выпускающей пиво. Вероятностно-статистические методы в то время использовались для принятия экономических и технических решений.

Рис. 9.9. Плотность распределения Стьюдента для различных степеней свободы

на этой фабрике. В целях охраны коммерческой тайны производства на фабрике, а также статистических методов, разработанных непосредственно самим В. Госсетом, руководство фабрикой запретило В. Госсету публиковать научные статьи под своим именем. Поэтому он публиковался под псевдонимом Student.

Распределение Фишера — Снедекора называют также F-pacnpeделением (рис. 9.10). Это распределение случайной величины.

где случайные величины ^и Хт независимы и имеют хи-квадрат распределения с соответствующим числом степеней свободы;

Рис. 9.10. Плотность распределения Фишера — Снедекора для разных комбинаций степеней свободы

п — число степеней свободы числителя распределения Фишера; т — число степеней свободы знаменателя распределения Фишера.

Распределение Фишера — Снедекора используется при проверке статистических гипотез в дисперсионном и регрессионном анализах. Распределение случайной величины /?'выявлено американским статистиком Дж. Снедекором, названо в его честь и в честь английского статистика Р. Фишера (1890—1962), создателя дисперсионного анализа, который использовал это распределение в своих научных работах. Выражения для функций распределения хи-квадрат, Сгьюдента и Фишера, их плотностей и характеристик, а также таблицы можно найти в специальной литературе.