Дюрация и выпуклость облигаций

Вернемся к обратной связи между ценой облигации и рыночной процентной ставки, доходности. Хотя это отношение всегда обратное, то есть цена облигаций растет, если доходность падает, это может очень отличается в зависимости от характеристик облигации. Например, долгосрочные облигации более чувствительны к цене, чем краткосрочные облигации. Чувствительность к цене также обратно пропорциональна ставке купона облигации и доходности к погашению, при которых облигация продается.

Можно ли все эти характеристики соединить только в один общий показатель, который дает нам информацию о чувствительности облигации к изменениям процентных ставок?

К счастью, да. Показатель, который дает нам эту общую информацию, это дюрация облигации. Кроме функции меры чувствительности облигации к изменению процентной ставки дюрация также может быть интерпретирована как эффективный срок погашения облигации.

Эффективный срок погашения облигации должен отличаться от номинального срока погашения, потому что не все денежные потоки возникают одновременно. В то время как номинальная стоимость будет погашена в конце срока, купонные платежи уплачиваются ранее. Так срок погашения переоценивает время до выплаты платежей. Дюрация дает лучшее представление о сроках денежных потоков.

Третья интерпретация связана с различием между ценовым риском и риском реинвестирования. Чтобы ее понять необходимо вспомнить, как изменение процентной ставки влияет на стоимость облигаций. Предположим, что процентные ставки падают. Что произойдет?

Во-первых, из-за обратной зависимости между ценой облигации и процентной ставкой, цена облигации будет расти. Так инвестор сталкивается с ценовым риском.

Во-вторых, возможность реинвестирования становится менее привлекательной, потому что рыночная процентная ставка сейчас ниже. Инвесторы будут считать возможность реинвестирования купонных выплат менее привлекательной. Соответственно существует риск реинвестирования для инвестора.

Оба риска разнонаправлены. В то время как падение процентных ставок желательно для инвестора, потому что цена облигации растет, и одновременно не нежелательно для инвестора, поскольку возможности реинвестирования ухудшаются. Общий эффект зависит от временного горизонта инвестора.

Инвестор, который хочет держать облигацию лишь один день, не будет сильно беспокоиться о возможности реинвестирования. Для него ценовой риск будет доминирующим. Напротив, инвестор, который планирует держать облигацию до срока погашения не будет зависеть от какихлибо изменений цен, так как он в конечном счете получит номинальную стоимость облигации, независимо от какихлибо изменений цен в настоящее время. Для инвесторов с инвестиционным горизонтом между ближайшей купонной выплатой и сроком погашения ответ на вопрос, какой риск доминирует, является более трудным. Чем ближе горизонт инвестирования приближается к сроку погашения, тем более важным будет риск реинвестирования и наоборот.

Дюрация облигации — это точка, когда оба эффекта компенсируются. Она может быть легко рассчитана как средневзвешенная по срокам погашения денежных потоков облигации:

где CF_t — денежный поток в период t, или выплата купона или окончательный платеж, Т — срок до погашения, Р — текущая цена, и i — это ставка дисконтирования.

Допустим, мы покупаем самую простую облигацию с номинальной стоимостью 1000 €, сроком погашения 10 лет и ставкой купона 8%. Какова дюрация облигации, если рыночная процентная ставка составляет 5%?

Дюрация представлена в таблице 11.4 и составляет чуть больше 7,5 лет. Таким образом, она существенно короче, чем срок погашения 10 лет. Это потому, что купонные платежи уплачиваются раньше, чем через 10 лет. Очевидно, что дюрация не может превышать срока погашения. Она, как правило, короче, с одним важным исключением: для облигации с нулевым купоном продолжительность равна сроку погашения.

Таблица 11.4 Расчет дюрации.

Посчитав дюрацию в зависимости от различных параметров, мы можем сделать вывод, что:

• • Дюрация обратно пропорциональна процентной ставке, потому что она используется для дисконтирования денежных потоков.
• • Дюрация увеличивается со сроком погашения, но рост становится более плоским, потому что с определенного момента и далее приведенная стоимость номинальной стоимости резко снижается. Если доходность к погашению выше, чем ставка по купону, она и дальше будет падать.
• • Чем выше ставка купона, тем короче дюрация, потому что большая часть денежных потоков выплачивается в ближайшее время.
• • Дюрация портфеля облигаций равна средневзвешенной величине дюраций отдельных облигаций.

Огромное значение теории дюрации, однако, связано с тем, что дюрация дает отражает максимально точно реакцию облигации на изменение процентной ставки:

где АР — процентное изменение стоимости облигации. Это отражение особенно хорошо проявляется, если изменения в процентной ставке малы. Если предположить, что облигация, представленная в таблице 11.4 торгуется в размере 1,231.65 € (приведенная стоимость будущих денежных потоков), каково будет изменение цены, если процентная ставка снизится с 5 до 4,8%? В соответствии с уравнением (11.8) изменение цены будет равняться:

ДР = -7.54- (-0.002)/(1,05)=0.1 436.

Цена облигации будет увеличиваться на 1,436%, а после изменения процентной ставки будет равняться 1,231.65*(1,1 436)=1249,34 €, в то время как точная цена, используя формулу текущей стоимости (11.3), равна 1,249.51 €.

Если теперь предположить, что процентная ставка снизилась (очень резко) до 3 вместо 4,8%, мы получим значение 1,408.54 €, используя формулу дюрации, в то время как стоимость с использованием формулы текущей стоимости будет равно 1,426.51 €. Тогда как изменение цены по формуле дюрации рассчитано довольно точно в первом случае, ошибка ценообразования увеличивается из-за большого изменения процентной ставки из второго примера. Причина в том, что мы пренебрегаем выпуклостью, как отражено на рисунке 11.2. Формула чистой дюрации (11.8), хорошо работает только в случае небольших изменений процентных ставок, так как дюрация — линейная функция. Эта зависимость представлена на рисунке 11.8. Приближение становится хуже с увеличением размера изменения процентной ставки.

Рисунок 11.8 Выпуклость цены облигации и дюрация Проблемная ситуация, изображенная на рисунке 11.8, может быть решена путем коррекции уравнения (11.8) для выпуклости. Оценка выпуклости облигации может быть посчитана с помощью уравнения:

где веса w_t такие же, как и для дюрации.

Используя выпуклость, мы можем изменить формулу расчета чувствительности цены облигации:

Например, мы получим следующую выпуклость для облигации из таблицы 11.4:

Таблица 11.5 Расчет выпуклости.

Пересчитаем изменение цены облигации на основе уравнения (11.10), предположив, что процентная ставка резко упадет с 5 до 3%:

ДР = -7.54- (-0.02)/(1.05) + 0.5- 67.56- (-0.02)²=0.157 Цена облигации на основе модели дюрациявыпуклость вырастет на 15,7% с 1,231.65 € до 1,425.18 €. Разница между этой улучшенной аппроксимацией к точной стоимости 1,426.51 € в соответствии с настоящей моделью теперь очень мала.