Предел применимости уравнений неразрывности и Бернулли

При течении жидкости по каналу при постоянстве, и при произвольно изменяемой площади 2. Казалось бы, что.

.

Однако по уравнению Бернулли при.

.

давление должно было бы принять значение минус бесконечность, что лишено смысла: абсолютное давление не может быть меньше нуля.

Таким образом уравнения неразрывности и Бернулли справедливы лишь до тех пор, пока минимальное давление в потоке остается большим нуля.

Примеры применения уравнения Бернулли

Рассмотрим примеры применения уравнения Бернулли.

Расходомер Вентури Для определения скорости и расхода жидкости часто используется расходомер Вентури. Измерим статическое давление p₁ и p₂ в поперечных сечениях с различными площадями.

Рис. 29.

Интеграл Бернулли для сечений 1 и 2 принимает вид.

.

.

Из уравнения равенства расходов для двух сечений 1 и 2 имеем.

или .

Для вычисления показания дифференциального манометра запишем условие равновесия.

.

Собирая все результаты, получаем.

.

Формула используется для определения скорости в трубе. Hа практике для повышения точности иногда вводят эмпирический коэффициент, учитывающий гидравлические потери в трубке Вентури.

Измерение скорости Для измерения кинетической энергии используется трубка полного давления, которая устанавливается в точке измерения открытым концом против потока жидкости (рис. 4).

Рис. 4.

Струйка жидкости, подтекающая к открытому концу трубки, полностью замораживается (v=0) и весь скоростной напор превращается в давление, которое в сумме со статическим достигает давления торможения в данной точке, и называется полным давлением

.

откуда.

.

Таким образом измерение скорости жидкости или «несжимаемого» газа (M) основано на сопоставлении давления торможения с давлением в невозмущенном потоке. Последнее еще называется статистическим давлением. Приемником давления служит Г-образная трубка, или трубка Пито. Давление обычно измеряют с помощью U-образной трубки, куда залита жидкость манометрическая (спирт, вода, ртуть).

Приемное отверстие статического давления должно находится не слишком далеко от входа в трубку Пито, чтобы не случилось рассеивание механической энергии за счет вязкости, и не слишком близко, чтобы присутствие трубки Пито не искажало статическое давление.

Кавитация На практике оказывается, что в жидкости давление, равное нулю, недостижимо. Если давление p₂, снижаясь, достигает давления паров этой жидкости, насыщающих пространство при данной температуре p₂=p_t>0, то начинается процесс образования пузырьков пара (кипение), и неразрывность течения капельной жидкости нарушится.

бернулли жидкость баротропность кавитация.

Рис. 5.

Далее смесь капельной жидкости и пузырьков пара попадает в расширяющийся канал, давление возрастает и пузырьки пара начинают конденсироваться.

Кавитацией называется совокупность процессов образования пузырьков пара и их конденсация.

Кавитация может возникать не только в трубопроводах, но и при внешнем обтекании тел в областях, где возрастают местные скорости и уменьшается давление. Кавитации подвержены быстроходные колеса насосов и турбин, гребные винты.

Конденсация пузырьков пара происходит на твердых поверхностях очень быстро и завершается гидравлическим ударом, при котором развивается местное ударное давление на твердых поверхностях, достигающее сотен и даже тысяч атмосфер. Поэтому кавитация сопровождается тряской, шумом, снижением КПД насосов и турбин, эрозией твердых поверхностей, а иногда и выходом из строя агрегатов.

Обычно работа гидравлических систем в условиях кавитации не достигаются. Для предотвращения кавитации минимальное давление жидкости в системе должно быть больше давления паров, насыщающих пространство. Одним из способов предотвращения кавитации является снижение температуры жидкости. Это приводит к снижению давления паров, насыщающих пространство.

Например, вода при 373К кипит при давлении, а при 193К -. При кавитации многокомпонентных жидкостей (керосин, бензин и т. д.) вначале вскипают легкие фракции, а затем тяжелые. Конденсация происходит в обратном порядке.

Для оценки возможности возникновения кавитации используется безразмерный критерий — число кавитации

.

Значение, числа кавитации при котором она возникает, называется критическим .

Явление используется в кавитационных регуляторах расхода.

Формула Торричелли Применим интеграл Бернулли для определения скорости истечения тяжелой несжимаемой жидкости из большого открытого сосуда через малое отверстие (рис. 6).

Рис. 6.

Здесь S₁— площадь свободной поверхности, S₂ — площадь отверстия, v₁ и v₂ — скорости на поверхности и в отверстии.

Уравнение неразрывности принимает вид.

.

Считая движение жидкости установившимся и безвихревым, применим интеграл Бернулли.

.

Откуда.

.

Из уравнения неразрывности.

.

.

Если отношение мало, то пренебрегая членом, получаем для скорости истечения приближенную формулу Торричелли.

.

Пример. Определить форму сосуда вращения, употребляемого для водяных часов (рис. 7).

Решение.

Рис. 7.

Приведем формулы решения задачи.

, ,.

.

или, где.

.

Используя уравнение Бернулли можно объяснить принцип действия :

1) работы струйного насоса, в котором высоконапорный поток G₁ используется для подачи жидкости G₂ из резервуара (рис. 8).

Рис. 8.

2) принцип наддува топливного самолетного бака для предотвращения кавитации в топливной системе при полетах на большой высоте (рис. 9).

Рис. 9.

3) причину повышения подъемной силы крыла при заданной картине линий тока (рис. 10).

Рис. 10.

Уменьшение давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу водоструйного насоса. Струя воды подается в трубку, открывающуюся в атмосферу, так что на выходе их трубки давление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода идет с большой скоростью, вследствие чего давление в этом месте оказывается меньше атмосферного. Такое же давление устанавливается и в охватывающей трубку камере насоса, которая сообщается с трубкой через разрыв, имеющийся в узкой части трубки. Подсоединив к камере насоса откачиваемый объект, из него можно откачать воздух (или какой-либо другой газ) до давления порядка 100 мм рт. ст. Откачиваемый воздух захватывается струей воды и уносится в атмосферу.

Рис. 11.