Многомерный случай. 
Теория вероятностей

Пусть Z = cp (X, Y). Тогда закон распределения СВ Z в виде функции распределения есть G (z) = ||/(х, y)dxdy, где f (x, у) — плотность рас;

D

пределения СВ (X, У); D — область на плоскости хОу, где cp (.r, у) < z; тогда g (z) = G'(z).

Рассмотрим теперь наиболее важные конкретные виды <�р (х, у). 1. Закон распределения суммы СВ Z= X + У:

В частности, когда СВ X и У независимы, формула (4.3) принимает вид

и называется плотностью распределения композиции СВ X ~ f (x) и Y ~ f₂(x).

Задача 4.46. Найти сумму двух показательных законов СВ х-адиг-ад.

Решение

СВ Z = X + У. По формуле (4.4) СВ Z имеет плотность распределения

• — это закон Эрланга 1-го порядка.
• 2. Закон распределения разности СВ: Z = X — У:

В частности, когда X и У независимы, то.

Задача 4.47. Найти разность двух показательных законов СВ X ~ Е (Х_{) и У — Е (Х₂), если СВ X и У независимы.

Решение

Z = X - У; по формуле (4.5) получаем 154.

X.

ху (рис. 4.6 — заштрихованная область D);

Рис. 4.6. К закону распределения произведения СВ.

В частности, при независимых X и У.

Задача 4.48. Случайная точка (X, У) распределена равномерно (- R (D)). Найти закон распределения площади области D: Z = XY. Решение

4. Закон распределения частного Z= Y/X:

Рис. 4.7. К закону распределения частного СВ.

У

Область, где — < z (или у < хг), указана на рис. 4.7 заштрихованной областью D.

В частности, при независимых X и Y

Задача 4.49. СВ Х~ N (0, 1) и Y ~ N (0, 1) — независимы. Найти закон распределения СВ Z= Y/X.

Решение

это полностью закон Коши.