Л. Метод интегральных уравнений

Метод интегральных уравнений (ИУ) представляет собой метод расчета магнитных и электрических полей, основанный на введении вторичных источников и состоящий в сведении задачи к интегральным уравнениям и их численном решении на ЭВМ. В настоящее время его главным образом применяют для решения двухмерных задач, но с увеличением объема памяти ЭВМ он может быть применен и к трехмерным полям.

Имеется два варианта метода интегральных уравнений, различающиеся видом вторичных источников. Идея метода и его первый вариант предложены Г. А. Гринбергом [4J. Дальнейшее развитие метода и доведение его до практических расчетов осуществлено О. В. Тозони. В. М. Алехиным, Э. В. Колесниковым и др. Разработка второго варианта метода выполнена О. В. Тозони |10], К. С. Демирчяном, В. Л. Чечуриным и др. ^§

Л.1. Первый вариант метода интегральных уравнений.

Идею метода рассмотрим применительно к магнитному полю, образованному намагничивающими обмотками, геометрия и ток в которых известны, и намагниченными ферромагнитными телами. Согласно этому методу для расчета магнитных полей однородно ферромагнитные тела заменяют вакуумом (воздухом), предположив, что на единице тела протекает поверхностный ток с плотностью а (пояснения о поверхностных токах см. в § 14.24. где они были обозначены 5_М). Значение б в различных точках поверхности неизвестно и подлежит определению. Значение плотности тока проводимости 8 в обмотках известно.

Рассмотрим условия на границе между ферромагнитным телом (среда е) н воздухом (среда I) — рис. ЯЛ, а. На рис. Я Л, б показана та же граница, что и на рис. ЯЛ, а, но ферромагнитное (ф. м.) тело заменено воздухом, а на границе протекает поверхностный ток с плотностью о на единицу длины.

Тангенциальные (о чем свидетельствует индекс Г) составляющие напряженности поля на границе Н в среде / и Я/ в среде е содержат каждая два компонента: составляющую Н, обусловленную всеми токами проводимости, протекающими по обмоткам электрического аппарата, и всеми поверхностными токами (их называют связанными) на границе ферромагнитной области, кроме поверхностного тока a dl, протекающего по рассматриваемому элементу поверхности, и составляющую Я", обусловленную поверхностным током adl в рассматриваемом элементе поверхности ферромагнитного тела (выбран направленным к читателю).

Тангенциальные составляющие индукции на границе: В *= р<) Я/; В* = рф Я/, где Рф — абсолютная магнитная проницаемость ферромагнитного тела. Каждая из них состоит из двух компонентов:

но.

так как они определены, когда среда кеферромагнктн&я.

Рис. Л.1.

Применив закон полного тока к пунктирному контуру на рис. Л. 1,6, охватывающему кусочек границы длиной dl, получим.

При составлении циркуляции по этому контуру учли, что по верхней и нижней границам контура составляющих Н в соответствии с рис. Л.1, б нет. Так как тангенциальные составляющие напряженности поля на границе воздух — ферромагнитное тело равны, то.

Имея в виду (Л.2), (Л.З), (Л.1) и (Л.4), получаем Следовательно,.

Отсюда находим поверхностную плотность тока для гладких участков поверхности ферромагнитного тела через В^, рф н р^.

Но можно выразить как ротор от векторного потенциала А, который определяется всеми токами проводимости 8 в обмотках и поверхностными токами, а на поверхности ферромагнитных тел.

Для плоскопараллельного поля.

где А — значение вектора потенциала в произвольной точке наблюдения Q. расположенной на контуре ферромагнитного тела L N — произвольная точка сечения обмотки с током, плотность тока в которой Ь{Ы) Vq_N — расстояние от точк* Q до точки Ы (рис. Л.1, в); М — произвольная точка на контуре L с плотностью поверхностного тока а (М).

Обход контура выберем против часовой стрелки, а нормаль п направим во внешнюю область по отношению к контуру L. Тогда *-дА/дп Так как.

TO.

Подставив формулу (Л.6) в (Л.5), получим интегральное уравнение второго рода Фредгольма относительно плотности поверхностного тока на контуре L ферромагнитного тела:

Здесь

Для каждой точки Q контура L функцию FQ) можно подсчитать до решения уравнения (Л.7), так как распределение тока проводимости 5(N) и геометрия магнитной системы известны. Если контуров, ограничивающих ферромагнитную область, несколько, т. е. область многосвязна (например, на рис. Л.1, г область ограничивают два контура 1_Л и L^, то уравнение (Л.7) заменяют системой уравнений (число уравнений равно числу контуров). В каждое уравнение входят также слагаемые от поверхностных токов в других контурах (а не только от поверхностных токов в своем контуре).

Уравнение типа (Л.7) решают на ЭВМ итерационным методом, заменяя интегралы конечными суммами. Чтобы итерационный процесс сходился, используют интегральные соотношения для контуров L, вытекающие из закона полного тока. После нахождения о (0 определяют В', а по ним и по А — любую точечную или интегральную характеристику поля.

Подробное рассмотрение первого варианта метода, составление программ для ЭВМ, числовые примеры и распространение метода на нелинейные магнитные системы читатель найдет в [10J. О применении метода к электростатическим полям см. [4J.