Преобразование электрических цепей

Расчет параметров электрических цепей можно значительно упростить, если выполнить определенные преобразования — заменить последовательное или параллельное соединение сопротивлений некоторым эквивалентным, преобразовать схему соединения «звезда» в схему соединения «треугольник», выполнить перенос источников в схеме.

Преобразование сопротивлений.

При последовательном соединении сопротивлений эквивалентное сопротивление (рис. 2.19, а) определяют простым суммированием:

При параллельном соединении суммируют проводимости (рис. 2.19, б):

Рис. 2.19. Преобразование сопротивлений:

а — при последовательном соединении; 6 — при параллельном; в — преобразование «звезды» в «треугольник».

Для двух сопротивлений;

При соединении сопротивлений по схеме «звезда» целесообразно преобразовывать их в схему «треугольник» (рис. 2.19, в). При этом.

Так как эквивалентность преобразования должна сохраняться при любых режимах, то, приняв g₃ = 0, получим g_i3 = g₂₃ = 0, g₁₂ = g, g₂ / (gi + g₂), т. е. разрыв ветви 3 в схеме «звезда» соответствует разрыву ветвей 1—3 и 2—3 в схеме «треугольник», а сумма сопротивлений R_t и R₂ в схеме «звезда» правильно преобразуется в сопротивление R_[2 в схеме «треугольник». Аналогично рассматриваются режимы при g = 0 и g₂ = 0, что подтверждает правильность уравнений (2.17).

Решая систему уравнений (2.17), получим уравнение для обратного преобразования схемы «треугольник» в схему «звезда»

Пример 2.11.

Определить входное сопротивление цепи (рис. 2.20, а), если R_{ = 2 Ом, R₂ ⁼ 1/3 Ом, /?₃ = R$ = R-j = 1 Ом, R4 = 0,5 Ом, /?₆ = 3 Ом.

Рис. 2.20. Схема электрической цепи к примеру 2.11:

а — исходная; б — преобразованная; в — конечная.

Решение. 1. Заменим сопротивления R₂, R4, R5, соединенные по схеме «звезда», эквивалентными сопротивлениями, соединенными по схеме «треугольник» (рис. 2.20, б).

2. Определим эквивалентные сопротивления для параллельно включенных сопротивлений:

3. При последовательном соединении они дадут.

4. Параллельно включенные сопротивления (рис. 2.20, в) заменим эквивалентным сопротивлением с проводимостью:

5. Определим входное сопротивление цепи:

Преобразование источников. Во многих случаях целесообразно преобразовать ветви, содержащие источник ЭДС и сопротивление, в источник тока, или наоборот (рис. 2.21, а, б).

Рис. 2.21. Преобразование схем источников:

а — источник ЭДС на источник тока; б — перенос источника ЭДС в смежные цени При этом значения ЭДС и источника тока/связаны уравнением Е =JR.

Если источник ЭДС подключен к узлу, где сходятся несколько ветвей, то возможно «расщепление» источника ЭДС (см. рис. 2.21, б). При этом, очевидно, режим в цепи не изменится — всегда можно, соединив накоротко выводы всех источников, заменить их одним (показано пунктиром).

Источники тока также «расщепляют» (рис. 2.22), параллельно каждому сопротивлению. При этом режим в цепи не нарушается. Получивши;

Рис. 2.22. Преобразование схем с источниками тока:

а — исходная; б — преобразованная; в — с источником ЭДС еся источники токов с параллельно включенными проводимостями можно преобразовывать в эквивалентные источники ЭДС (см. рис. 2.22).

Пример 2.12.

Определить токи в схеме (рис. 2.23, а), если Е = 6 В, Е₃ = 3 В J = 1 A, = = R₂ ⁼ 2 Ом, R₃ = 3 Ом, J?4 = 1 Ом.

Рис. 2.23. Схемы электрической цепи к примеру 2.12:

а — исходная; б — заменен источник ЭДС; в — заменен источник тока.

Решение. 1. Заменим источник ЭДС Е и сопротивление R эквивалентным источником токаJ = E/R = 3 А (рис. 2.23, б), а источник токаJ и сопротивление /?₄ — эквивалентным источником ЭДС Е_э =JR = 1 А.

RRo

2. Заменим сопротивления R и R₂ эквивалентным R₃ = —-— = 1 Ом.

R + R₂

и источник тока J с параллельно включенным сопротивлением R₃ — эквивалентной ЭДС Ej ⁼JR₃ = 3 В (рис. 2.23, в).

3. Определим ток в последовательной цепи (см. рис. 2.23, в):

4. Чтобы определить токи в исходной схеме (см. рис. 2.23, а), определим ток для узла 2 но первому закону Кирхгофа /₄ = /₃ + J = 1 + 1 = 2 А и напряжение на сопротивлении /?₄ U₄ = /₄#₄ = 2 В.

По второму закону Кирхгофа I3R3 + /₄/?₄ — l₂Ri = ?₃, откуда.

Тогда 1 = /₂ + /3 = 2 А.