Тождества эластичности. 
Микроэкономика

Уравнение Слуцкого не всегда легко использовать в практических целях. На основе уравнения Слуцкого и бюджетного ограничения потребителя экономисты разработали несколько инструментов, позволяющих решать хозяйственные задачи распределения дохода и реакции индивидов на динамику различных экономических факторов. Они получили название «тождества эластичности».

1. В уравнение Слуцкого добавим элементы, необходимые для получения значений эластичностей товаров:

Откуда получаем первое тождество эластичностей

где ?* — ценовая эластичность Маршаллианского спроса; Е*"  — ценовая эластичность компенсированного спроса; Е? — эластичность спроса р. х

по доходу; s_x = —доля расходов потребителя в его бюджете, приходящаяся на товар X.

2. Рассмотрим бюджетное ограничение в таком виде:

Найдем полный дифференциал бюджетного ограничения.

Добавим к правой части элементы, необходимые для получения соответствующих эластичностей, но так, чтобы общее выражение не изменилось:

Откуда получаем второе тождество эластичностей

где s_x и s_y — доли в бюджете потребителя, приходящиеся на товары X и У; Ef — эластичность спроса по доходу на товар X; EJ — эластичность спроса по доходу на товар Y.

3. Рассмотрим бюджетное ограничение, в котором объемы товаров представлены Маршаллианскими функциями спроса: I = P_x-X (P_x, P_Y, I) + + РуПР_х, Р_у, П.

Определим, каким образом изменяется бюджетное ограничение при изменении цены одного товара (например, товара X) и неизменной цене другого:

Добавим к правой части выражения элементы, необходимые для получения соответствующих эластичностей, но так, чтобы общее выражение не изменилось.

Кроме того, вспомним, что бюджет потребителя (левая часть выражения) не изменяется под действием цены. Поэтому = 0.

В результате получаем ^х

Откуда следует третье тождество эластичностей

где Ер_х — прямая ценовая эластичность спроса на товар X; E^Y_Px — перекрестная ценовая эластичность спроса на товар Y; s_xns_Y — доли в бюджете потребителя, приходящиеся на товары X и Y.

ШПАРГАЛКА.

Тождества эластичности

• 1. El=E?_x-E?.s_x.
• 2. s_x-E? + s_Y-Ej= 1.
• 3. E^x_Px-s_x+E^Y_Py-s_Y=-s_x.

Задачи, иллюстрирующие концепцию

Задача № 1. Эластичность спроса по доходу на еду для потребителя равна 1. На нее он тратит 5% своего дохода. Эластичность спроса по цене на еду для него равна (-0,2). Какую величину составляет ценовая эластичность компенсированного спроса?

Решение

На основе тождеств эластичности мы знаем, что.

где Е_р — ценовая эластичность спроса; Е_$р — ценовая эластичность компенсированного спроса; Е_; — эластичность спроса по доходу; s — доля расходов на данный товар в совокупных расходах потребителя.

Подставляя конкретные значения: -0,2 = E_sp — 1 • 0,05, получаем E_sp = 0,15. Компенсированный спрос на еду является неэластичным.

Задача № 2. Потребитель тратит 30% своего дохода на минеральную воду и 70% на сосиски. Эластичность спроса по доходу на сосиски равна 0,2. Чему равна эластичность по доходу на минеральную воду?

Решение

Тождество эластичности предполагает, что:

где Е_п и Е₁₂ — эластичность спроса по доходу соответственно на минеральную воду и сосиски; s, и s₂ — доли, в которых доход потребителя расходуется на первый и второй товар.

Подставляем исходные данные и получаем: 0, ЗЕ_п + 0,7 • 0,2 = 1, откуда Е_п = 2,87.

Спрос на минеральную воду довольно эластичен по доходу.

Задача № 3. Потребитель тратит половину своего дохода на хлеб и половину на вино. Ценовая эластичность хлеба равна (-0,5). Может ли ценовая перекрестная эластичность вина быть равной 0,8?

Решение

Для ответа используем еще одно тождество эластичности:

где Ej — ценовая эластичность хлеба; Е₂ — перекрестная ценовая эластичность вина; Sj и 5 — доли, которые потребитель тратит соответственно на хлеб и вино. Подставляем исходные данные и получаем: (-0,5) • 0,2 + 0,8 • 0,2 = -0,1 + 0,16 = = 0,06 < 1.

Тождество не выполняется, следовательно, перекрестная эластичность для вина не может составлять 0,8. Чтобы тождество имело место, перекрестная эластичность вина должна быть равной 5,5.