Максимизация общественного благосостояния

Проанализировав по отдельности целевую функцию (общественного благосостояния) и функцию ограничения (множество доступных потребителям благосостояний), можно теперь объединить их вместе.

Учитывая рассмотренную выше взаимосвязь границ возможных полезностей и производственных возможностей (трансформации), в качестве бюджетного ограничения можно использовать трансформационную функцию вида Т (С, F). Трансформационная функция специфическим образом представляет множество комбинаций выпуска двух товаров и принимает нулевое значение только тогда, когда некоторые комбинации из этого множества принадлежат самой границе производственных возможностей.

Итак, если распределению между двумя потребителями (Василием и Тимофеем) подлежит общее количество двух товаров (одежды и еды), задачу максимизации общего благосостояния можно сформулировать следующим образом:

Найдем условия максимизации общественного благосостояния посредством построения лагранжиана:

Взяв производную данной функции по каждой из четырех переменных, мы получаем следующие условия первого порядка, которые должны удовлетворяться в точке оптимального решения:

Произведя преобразования и поделив первое уравнение на второе, а третье на четвертое, получим.

Левые части последних уравнений представляют собой предельные нормы замещения, правые — предельные нормы продуктовой трансформации.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что точка максимума общественного благосостояния должна отвечать требованиям Паретооитимальности. Но это и неудивительно, ведь эта точка должна принадлежать кривой (или, но крайней мере, участку кривой) возможных благосостояний, все точки которой являются Парето-эффективными.

Графическое решение, как говорилось выше, предполагает касание одной из общественных кривых безразличия и границы возможных благосостояний.

Конкретное положение точки оптимума зависит от вида функции общественного благосостояния. Но для любого вида этой функции точка оптимума Е будет находиться на том участке (АС) границы благосостояний, которая отвечает требованиям Парето-оптимальности.

На рис. 23.9 представлена функция общественного благосостояния Нэша для двух потребителей W = 1/^г • 7/^в и множество доступных комбинаций полезностей этих же потребителей. Оптимум достигается в точке касания (Е) кривой равного общественного благосостояния (W₂) границы возможных благосостояний Тимофея и Василия (0^Т0^В).

Рис. 23.9. Оптимальный выбор в случае функции общественного благосостояния Нэша

Заметим, что комбинация благосостояний Д лежащая на границе возможных благосостояний, представляет собой явно худший вариант по сравнению с комбинацией в точке (7, которая находится внутри множества доступных благосостояний и в отношении которой потому не выполняются предельные равенства Парето-оптимальности.

Если множество возможных благосостояний двух потребителей выпукло вверх, то каждая точка на границе этого множества может быть точкой оптимума для какой-то бентамовской функции общественного благосостояния (рис. 23.10):

Рис. 23.10. Оптимальный выбор в случае бентамовской функции общественного благосостояния

Функция благосостояния бентамовского типа представляется картой прямых безразличия, каждая из которых — взвешенная сумма полезностей. Если «веса» всех потребителей одинаковы, то эти прямые имеют угловой коэффициент -1. Положение точки оптимума в этом случае будет зависеть от формы границы возможных благосостояний, иначе говоря, от того, одинаковыми или различными являются индивидуальные функции полезности обоих потребителей (см. рис. 23.4). Если эти функции являются одинаковыми, то точка общественного оптимума (Е) будет находиться на луче 45° (см. рис. 23.4, а) и соответствовать абсолютно равному распределению дохода (эгалитарный подход).

В случае максимаксной функции общественного благосостояния (функция Ницше) точка общественного оптимума (Е) будет находиться в самой высокой точке границы возможных благосостояний (рис. 23.11).

Графическая интерпретация критерия Роулза дает еще один пример определения максимума общественного благосостояния в случае прямоугольных линий безразличия (рис. 23.12).

Рис. 23.11. Оптимальный выбор в случае максимаксной функции общественного благосостояния.

Рис. 23.12. Оптимум по критерию благосостояния Роулза.

Итак, кривая ABCEDF характеризует все возможные комбинации доходов двух потребителей. Луч, исходящий из начала координат под углом 45°, отражает теоретическую возможность абсолютно равного распределения общего дохода. Перемещение по лучу вправо вверх (G —> С —" Я) означало бы переход на более высокий уровень благосостояния (W_x —> W₂ —" —> VK3). Увеличение благосостояния одного потребителя в случае перехода из точки G в точку В (Тимофея) при сохранении неизменным благосостояния другого (Василия) не увеличит общественного благосостояния (оно останется на уровне V_{).

Перераспределение возросшего дохода прежде всего в пользу Василия, но и при абсолютном росте дохода Тимофея будет улучшением по Роулзу. Общественное благосостояние поднимется на уровень W₂.

В точке С доходы Тимофея и Василия будут равными. Но и равное распределение не обеспечивает максимума общественного благосостояния. Хотя переход в точку Е и приведет к неравенству в распределении дохода (теперь в пользу Василия), он все же будет означать рост общественного благосостояния (W₃ > W₂), так как благосостояние Тимофея при этом также возрастет. А вот дальнейший рост благосостояния Василия (при переходе из Е в D) будет означать уменьшение общественного благосостояния, так как одновременно падает благосостояние Тимофея.