Ускорение. 
Механика

При движении объекта его скорость, вообще говоря, изменяется. Если точка движется вдоль кривой, скорость изменяется по крайней мере по направлению, но может изменяться и по величине. Изменение скорости характеризуется вектором ускорения.

Пусть за время Д/ изменение скорости равно Ду (рис 1.3). Отношение Ду/Д/ при стремлении Д/ к нулю называется ускорением:

или.

Смысл вектора ускорения состоит в том, что если в момент времени / объект имеет скорость у (/), то через достаточно малый промежуток времени Д/ его скорость будет.

Если ускорение постоянно, формула (1.13) будет верна для любых Д/.

Выражая вектор скорости через его компоненты, для вектора ускорения получим.

Задача 1.8. В условиях задачи 1.2 найти ускорение движущейся точки в момент времени Л.

Решение. Учитывая выражение для скорости, полученное в задаче 1.4, будем иметь.

Формула определяет ускорение в любой момент времени. В частности, при / = 0 ускорение равно

Задача 1.9. В условиях предыдущей задачи найти вектор ускорения в заданной точке траектории. Иными словами, найти ускорение как функцию координат.

Рис. 1.4.

Решение. Мы знаем ускорение в любой момент времени. Поэтому достаточно найти момент времени, в который координаты точки принимают заданное значение, и подставить это время в выражение для ускорения. В нашем случае достаточно бросить взгляд на выражение для ускорения и заметить, что выражение в скобках в правой части есть радиус-вектор движущейся точки. Таким образом, а (г) = —со²Я. Это любопытный результат. Как видим, ускорение направлено вдоль радиуса-вектора к началу координат (рис. 1.4).

Внимание! Вектор скорости «привязан» к траектории — он направлен по касательной. Направление вектора ускорения с траекторией жестко не связано. Модуль вектора скорости имеет простой кинематический смысл: он определяет длину пути, проходимого объектом за малое время Д/. Модуль вектора ускорения не имеет простого кинематического смысла (но, как увидим далее, имеет динамический смысл).

Задача 1.10. Точка движется по законуНайти ускорение.

Решение. Имеем для вектора скорости:

Далее для ускорения получаем Как видим, вектор ускорения оказывается постоянным.

Задача 1.11. В условиях предыдущей задачи найти траекторию движущейся точки.

Решение. Из условия задачи имеем: . Это уже уравнение траектории в параметрическом виде. Если исключить параметр /, получим уравнение траектории в явном виде. Выразим t через х из первого уравнения и подставим во второе. Получим у (х) = (В/А²)х². Это уравнение параболы.

Таким образом, если точка движется так, как описано в задаче 1.10, ее траектория — парабола и ускорение постоянно. Верно и обратное: если ускорение постоянно, точка движется так, как описано в задаче 1.10, и ее траектория — парабола. Если? Ну, так движется свободно брошенное тело в поле тяжести (при этом В = - я/2, g — ускорение свободного падения) или заряженная частица в однородном электрическом поле.

Задача 1.12. Стержень длиной I верхним концом касается вертикальной стены, а его нижний конец скользит по полу так, что стержень не выходит из вертикальной плоскости. Найти траекторию, скорость и ускорение середины стержня.

Решение. Совместим плоскость хОу с плоскостью, в которой движется стержень. Пусть х — координата нижнего конца стержня, и он движется по закону х = *(/).

Для координаты у верхнего конца будем иметь Координаты X, У центра стержня будут, очевидно, X — х/2, У —у/2 и X² + У² = (//2)². Таким образом, траектория центра стержня — окружность радиусом ½. Радиус-вектор центра стержня будет.

Для скорости центра стержня имеем:

где КО = (1х/с1г — скорость нижнего конца стержня. Из этой формулы видно, что при / (стержень приближается к горизонтальному положению) скорость V направлена вниз и стремится к бесконечности, если КО отлична от нуля. Это означает, что для реального стержня скорость КО в рассмотренном пределе должна стремиться к нулю. Ускорение найдем, дифференцируя выражение для скорости по времени:

Здесь д (0 = с! х/(1/ — ускорение нижнего конца стержня.