Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентамизаписывается в виде

где a₁, a₂,…, a_n? постоянные числа, которые могут быть действительными или комплексными. Используя линейный дифференциальный оператор L (D), данное уравнение можно представить в виде.

Для каждого дифференциального оператора с постоянными коэффициентами можно ввестихарактеристический многочлен.

Алгебраическое уравнение

называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения. Согласно основной теореме алгебры, многочлен степени n имеет ровно n корней с учетом их кратности. При этом корни уравнения могут быть как действительными, так и комплексными (даже если все коэффициентыa₁, a₂,…, a_n действительные). Рассмотрим более детально различные случаи корней характеристического уравнения и соответствующие формулы общего решения дифференциального уравнения.

Случай 1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные Предположим, что характеристическое уравнение L (л) = 0 имеет n корней л₁, л₂,…, л_n. В этом случае общее решение дифференциального уравнения записывается в простом виде:

где C₁, C₂,…, C_n? постоянные, зависящие от начальных условий.

Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и кратные Пусть характеристическое уравнение L (л) = 0 степени n имеет m корней л₁, л₂,…, л_m, кратность которых, соответственно, равна k₁, k₂,…, k_m. Ясно, что выполняется условие.

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид.

Видно, что в формуле общего решения каждому корню л_i кратности k_i соответствует ровно k_i членов, которые образуются умножением x в определенной степени на экспоненциальную функцию exp (л_i x). Степень x изменяется в интервале от 0 до k_i? 1, где k_i? кратность корня л_i.

Случай 3. Корни характеристического уравнения комплексные и различные Если коэффициенты дифференциального уравнения являются действительными числами, то комплексные корни характеристического уравнения будут представляться в виде пар комплексно-сопряженных чисел:

В этом случае общее решение записывается как.

Случай 4. Корни характеристического уравнения комплексные и кратные Здесь каждой паре комплексно-сопряженных корней б ± iв кратности k соответствует 2k частных решений.

Тогда часть общего решения дифференциального уравнения, соответствующая данной паре комплексно-сопряженных корней, конструируется следующим образом:

В общем случае, когда характеристическое уравнение имеет как действительные, так и комплексные корни произвольной кратности, общее решение строится в виде суммы рассмотренных выше решений вида 1−4.