Закон Био—Савара—Лапласа. 
Теоретические основы электротехники. 
Электромагнитное поле

Согласно известному из курса физики закону Био—Савара—Лапласа при отсутствии ферромагнитных сред отрезок линейного провода dl, по которому течет ток / в направлении dl, в точке, удаленной на расстояние Я от элемента тока, создает магнитную индукцию, определяемую следующим образом:

где Яо — единичный вектор, проведенный от dl к точке, в которой подсчитываем магнитную индукцию (рис. 21.22). Результирующая индукция в этой точке.

В этой формуле интегрирование производят по всей длине замкнутого контура с током.

Рис 21.22.

Формула (21.39) следует из (21.27), если учесть, что dB = rodA. Действительно, из (21.27) находим.

dB = rot] —1 Но — dl есть произведение ска- 4л {R) R

ляра VR на вектор dl, поэтому

Поскольку dl не зависит от положения точки, в которой определяется В, то rot dl =0, и первое слагаемое правой части последнего выражения выпадает. В соответствии с формулой (19.10).

Следовательно,.

Если в формуле (21.39) ток / как постоянную величину ввести в векторное произведение и заменить / dl на bdV, где dV — элемент объема проводника с плотностью тока 5, то.

Формула (21.41) — вторая форма записи закона. В формуле (21.42) интегрирование производят по объему, занятому током.

Обратим внимание на два положения.

• 1. Структура формул (21.39) и (21.41) в известной мере сходна со структурой формулы для напряженности электрического поля точечного заряда, полученной в § 19.4 из закона Кулона.
• 2. Полезно сопоставить закон полного тока с законом Био—Савара— Лапласа. Оба эти закона позволяют определять магнитную индукцию, создаваемую током. Однако закон полного тока применим только к замкнутым контурам с токами, тогда как закон Био—-Савара—Лапласа применим не только к замкнутым контурам с токами, но и к отрезкам проводников с токами (к элементам тока). Поэтому закон Био—Савара— Лапласа более универсален.

Пример 217. С помощью формулы (21.40) определить магнитную индукцию в точке от, создаваемую отрезком линейного провода с током I (рис. 21.23, а). Точка от удалена от провода на расстояние Ь.

Ре ше н ие. Угол между dl и й₀ обозначим а. Из геометрических соображений имеем.

Следовательно,.

При выбранном направлении тока вектор В направлен к читателю.

Рис. 21.23.

Если провод будет бесконечно длинный, то а, = 0, а₂=180°, cosa,-cosa₂ =2 и В = ц₀1/(2пЬ), что совпадает с результатом, получаемым по закону полного тока.

Индукция в центре квадратного витка с током 1 и стороной а (рис. 21.23, б) в четыре раза больше, чем от одной стороны, и равна В =

и / 2 V2 9 н /.

=—¹-. В центре треугольного витка (рис. 21.23, в) В =—-—.

к, а 2 па

Пример 218. Вывести формулу для определения напряженности магнитного поля на оси кругового витка с током I (рис. 21.24). Радиус витка принять равным а.

Решение. Выделим элемент тока /dl. Напряженность поля did', создаваемая этим элементом в точке Ь на оси витка, находящейся на расстоянии z от плоскости витка, равна / [dl ^,]/[4л (о² + z²)]; напряженность dH' перпендикулярна dl и Rq. От диаметрально противоположного элемента тока_ I dl в той же точке Ь будет напряженность did'. По модулю did' и did' одинаковы.

При геометрическом суммировании dH' и dH' будет получен вектор, направленный по оси витка: dl = a da;

Пример 219. Используя решение примера 218, вывести формулу для определения индукции на оси цилиндрической катушки с током / (рис. 21.25). Высота катушки А, средний радиус а, число витков w.

Рис. 21.24.

Рис. 21.25.

Рис 21.26.

Решение. В произвольной точке b на оси z от элемента тока dz возникает составляющая индукции.