Таблица производных основных элементарных функций. 
Правила дифференцирования функций

Таблица производных основных элементарных функций.

() ' = · .

• () ' =
• () ' = -

• () ' = · lna
• () ' =

() ' =.

(lnx) ' =.

• () ' =
• () ' = -

(tgx) ' =.

(ctgx) ' = ;

(arcsinx) ' =.

• (arccosx) ' = -
• (arctyx) ' =

(аrcctgx) ' = ;

Правила дифференцирования функции.

• 1) C=0, Если c=const.
• 2) (u + v) ' = u' + v'
• 3) (u — v) ' = u' - v'
• 4) (u · v) = u' · v + u · v'
• 5) (c · v) ' = c · v'
• 6)

7) (f [?(x)]) ' = f ' [?(x)] · ?'(x).

Доказательство четвертого правила:

Пусть f (x) = u (x)· v (x), тогда.

f'(x) = lim = =.

=.

=.

· v (x+h) + u (x) = u'(x) · v (x) + u (x) · v (x) '.

Свойства дифференциала

1. Дифференциалы основных элементов функций. Так как дифференциал получается из производной умножением ее на дифференциал не зависимой переменной, то, зная производные основных элементов функций, можем составить без всяких затруднений таблицу дифференциалов этих функций. Так,.

d ()=ndx, d) = ln a dx.

• 2. Дифференциалы результатов арифметических действий. В соответствии с правилами отыскания производным, придем к аналогичным правилам для дифференциалов.
• а) так как
• (u +v + … + w) ' = u' + v ' + … + w',

то, обе части равенства на dx получим.

d (u + v +… + w) = du + dv + … + dw.

• б) так как
• (uv) ' = u’v + uv ',

то, умножая обе части равенства на dx, получим.

d (uv) = v du + u dv,.

в частности.

d (Cu) = C du.

• в) так как
• () ' = ,

то, умножая обе части равенства на dx, получим.

d () = .

3. Дифференциал сложной функции, свойство инвариантности. Рассмотрим свойство дифференциала функции, вытекающие из правила дифференцирования сложной функции.

Пусть y = f (u) и u = непрерывные функции своих аргументов, имеющие производные по этим аргументам f'(u) и '(x). Если обозначить F (x)= f [то,.

y' = F' (x) = f' (u) (x)(*).

Умножая обе части равенства на dx, получим.

dy= f' (u) (x) dx;

но (x) dx = du, и значит,.

dy = f' (u) du,.

т. е. дифференциал dy имеет такой же вид, как если бы величина u была независимой переменной.

Итак, Дифференциал функции y = f (u) сохраняет одно и то же выражение не зависимо от того, является ли ее аргумент u независимой переменной временной или функцией от независимой переменной.

Это свойство называется инвариантностью (т. е. неизменностью) формы дифференциала. Всегда можно, не интересуясь природой аргумента функции, записать ее дифференциал в одном и том же виде.

Из равенства dy = f' (u) du следует:

f' (u) = ;

значит, во всех случаях Скорость изменения функции относительно своего аргумента равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Равенство (*) теперь можно переписать так:

= .

Правая часть равенства (**) получается из левой просто умножением и делением на du (конечно, если du). Таким образом, оказывается возможным производить арифметические действия над дифференциалами, как над обыкновенными числами. Это и делает очень часто выгодной запись производной в виде отношения дифференциалов.

Вот, например, как просто при помощи такой записи выводится правило дифференцирования обратной функции:

= = = .

4. Дифференциал как главная часть приращения. Пусть в точке x производная функция y = f (x) отлична от нуля: f' (x) 0. Тогда.

y = f' (x) dx + = dy + ,.

где — бесконечно малая величина более высокого порядка, чем dx. При указанном условии она будет бесконечно малой величиной более высокого порядка и чем dy и y. Действительно, при dx 0.

имеем.

= 0,.

Ибо 0, а f' (x) 0. Значит, и dy отличаются друг от друга на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем они сами, и следовательно, они эквивалентны: dy.

В дальнейшем приращение функции y будет очень часто заменяться ее дифференциалом dy. В связи с этим коснемся общего вопроса о приближенном выражение одной переменной величины через другую при условии, что обе они стремятся к одному и тому же пределу.

Пусть функции u (x) и v (v) при x стремятся к одному и тому же пределу А, т. е. lim u = lim v = A. Тогда предел их разности равен нулю: lim (u-v)=0 и, следовательно, сама эта разность.

u (x) — v (x) =.

Есть бесконечно малая величина при x. Если теперь в окрестности точки заменять значения функции u (x) значения функции v (x), абсолютная ошибка.

будет бесконечно малой.

Если предел, А, то и относительная ошибка, по которой и оценивается точность приближения, также является бесконечно малой:

= =.

Но при, А = 0, т. е. когда обе функции u (x) и v (x) сами являются бесконечно малыми при x, относительная ошибка может и не быть бесконечно малой. Она будет бесконечно малой только тогда, когда u (x) и v (x) — эквивалентные бесконечно малые. В самом деле, из того, что.

следует, что разность u — v есть бесконечно малая более высокого порядка, чем v. Согласно теореме это и означает, что u и v эквивалентны. Итак, если две бесконечно малые величины эквивалентны, то значения одной из них являются приближенными значениями другой с бесконечно малой относительной ошибкой. Коротко говорят, что каждая из двух бесконечно малых есть главная часть другой.

Вернемся теперь к вопросу о замене приращения функции ее дифференциалом. При фиксированном значение x и приращение.

и дифференциал.

dy = f' (x).

зависят только от стремятся к нулю. Так как выше уже было доказано, что эквивалентны, то замена приводит к бесконечно малой относительной ошибке. По этому можно сказать, что Дифференциал функции есть главная часть приращения функции, пропорциональная дифференциалу (приращению) независимой переменной.

Заметим только, что если в данной точке f' (x) = 0, то дифференциал dy = 0, и он не сравнивается ни с какой другой бесконечно малой величиной, в том числе и с приращением функции.