Физический смысл производной

Физический смысл производной Чтобы понять, что такое производная, проведем аналогию с мгновенной скоростью. Рассмотрим материальную точку, которая движется по прямой с переменной скоростью. Поскольку скорость точки все время меняется, мы можем говорить о ее скорости только в данный момент времени. Чтобы найти скорость точки в момент времени, рассмотрим маленький промежуток времени? t. За этот промежуток времени точка пройдет расстояние? S .

Тогда скорость точки будет примерно равна. Чем меньше промежуток времени? t мы будем брать, тем точнее значение скорости мы получим. В пределе, при? t 0, мы получим точное значение мгновенной скорости в момент времени.

Аналогичным образом введем понятие производной.

Рассмотрим произвольную функцию f (x) и зафиксируем точку. Значение функции в этой точке равно f.

Возьмем приращение аргумента? x.

Значение функции в этой точке равно f?(+.Получим приращение функции.

).

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Физический смысл производной. Итак, мы видим, что по аналогии с мгновенной скоростью, производная функции в точке. показывает скорость изменения функции в этой точке.

Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию S (x), то, чтобы найти скорость тела в момент времени, нужно найти значение производной функции S (x) в точке.

Пример 1 мгновенный скорость приращение аргумент Материальная точка движется прямолинейно по закону, где x (t) — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9c .

Решение.

• 1. Найдем производную функции
• 2. Найдем значение производной в точке t=9:

Ответ: 60 м/с.

Пример 2.

Материальная точка движется прямолинейно по закону.

.

где x (t) — расстояние от точки отсчета в метрах, t— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.

Если нам известна скорость точки в некий момент времени, следовательно нам известно значение производной в точке .

Найдем производную функции По условию, скорость точки равна 3 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 3.

Получаем уравнение:

Отсюда.

Ответ: 8.

Пример 3.

Материальная точка движется прямолинейно по закону, где x (t) — расстояние от точки отсчета в метрах, t— время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Решение.

Найдем производную функции.

По условию, скорость точки равна 2 м/с, значит, значение производной в момент времени равно 2.

Получаем уравнение:

Решим его:

— не подходит по смыслу задачи: время не может быть отрицательным.

Ответ :7.