Полный факторный эксперимент типа 2k

Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан на варьировании на двух уровнях. В этом случае, при известном числе факторов, можно найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если число уровней факторов равно двум, то имеем ПФЭ типа 2k. Условия эксперимента удобно записывать в виде таблицы, которую называют матрицей планирования эксперимента.

Таблица 1.1.

3. Матрица планирования эксперимента.

Матрица планирования для двух факторов приведена на табл. 1.1. При заполнении матрицы планирования значения уровней факторов, в целях упрощения, обозначают соответствующими знаками, а цифру 1 опускают. С учетом взаимодействия факторов х1 и х2 таблицу 1.1 можно переписать следующим образом:

Таблица 1.2 Матрица планирования.

Каждый столбец в матрице планирования называют вектор-столбцом, а каждую строку — вектор-строкой. Таким образом, в табл. 1.1. мы имеем два вектора-столбца независимых переменных и один вектор-столбец параметра оптимизации. То, что записано в алгебраической форме, можно изобразить графически. В области определения факторов находится точка, соответствующая основному уровню, и проводят через нее новые оси координат, параллельные осям натуральных значений факторов. Далее выбирают масштабы по новым осям так, чтобы интервал варьирования для каждого фактора равнялся единице. Тогда условия проведения опытов будут соответствовать вершинам квадрата, при k=2, и вершинам куба, при k=3. Центрами этих фигур является основной уровень, а каждая сторона равна двум интервалам (рис. 1.2). Номера вершин квадрата и куба соответствуют номерам опытов в матрице планирования. Площадь, ограниченная этими фигурами, называется областью эксперимента. По аналогичному принципу располагаются экспериментальные точки при k>3.

Расположение точек в факторном пространстве для ПФЭ при k=2 и k=3.

Рисунок 1.2.

Если для двух факторов все возможные комбинации уровней легко найти перебором, то с ростом числа факторов возникает необходимость в некотором приеме построения матриц. Обычно используются три приема, основанные на переходе от матриц меньшей размерности к матрицам большей размерности. Рассмотрим первый прием. При добавлении нового фактора каждая комбинация уровней исходного фактора встречается дважды, в сочетании с верхним и нижним уровнями нового фактора. Отсюда естественно появляется прием: записать исходный план для одного уровня нового фактора, а затем повторить его для другого уровня. Этот прием можно применить для матриц любой размерности. Во втором приеме вводится правило перемножения столбцов матрицы. При построчном перемножении уровней исходной матрицы получаем дополнительный столбец произведения х1×2, далее повторим исходный план, а у столбца произведений знаки поменяем на обратный. Этот прием применим для построения матриц любой размерности, однако он сложнее, чем первый. Третий прием основан на чередовании знаков. В первом столбце знаки меняются поочередно, во втором столбце они чередуются через два раза, в третьем — через четыре, в четвертом — через восемь и т. д. по степеням двойки. Пример построения матриц планирования р3 см. табл. 1.2.

Таблица 1.3 Матрица планирования эксперимента.

3. Свойства полного факторного эксперимента типа 2k.

Полный факторный эксперимент относится к числу планов, которые являются наиболее эффективными при построении линейных моделей. Эффективность, иначе оптимальность, полного факторного эксперимента достигается за счет ниже перечисленных его свойств. Два свойства следуют непосредственно из построения матрицы.

Первое из них — симметричность относительно центра эксперимента — формулируется следующим образом: алгебраическая сумма элементов вектора-столбца каждого фактора равна нулю, или.

где i = 1, 2, …, k — номер фактора,.

N — число опытов.

Второе свойство — так называемое условие нормировки — формулируется следующим образом: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, или.

Это следствие того, что значения факторов в матрице задаются +1 и -1. Мы рассмотрели свойства отдельных столбцов матрицы планирования. Рассмотрим свойства совокупности столбцов. Сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, или.

при i? u, а также i, u = 0,1,…, k. Это важное свойство называется ортогональностью матрицы планирования.

Последнее, четвертое свойство называется ротатабельностью, т. е. точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказаний значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления. Выполнение этих условий обеспечивает минимальную дисперсию коэффициентов регрессии, но и равенство дисперсии.