Движение электрона в скрещенных полях

Движение электрона в скрещенных полях

В электронной оптике для формирования электронных пучков различной конфигурации наряду с аксиально-симметричными электрическими и магнитными используются также и скрещенные электрические и магнитные поля.

Под скрещенными полями будем понимать наложенные друг на друга электрические и магнитные поля, перпендикулярные друг другу во всех точках континуального пространства. В таких полях заряженные частицы имеют сугубо криволинейные траектории, зависящие от их скорости и массы, и эта особенность движения используется практически не только для формирования, но и при анализе заряженных частиц в спектрометрах.

К первому типу скрещенных полей отнесем случай, когда оба поля однородны и их векторы взаимно перпендикулярны.

Второй тип скрещенных полей состоит из однородного магнитного поля и электрического поля, обладающего осевой симметрией. Такое электрическое поле образуется в зазоре между коаксиальными цилиндрами.

На рис. 1 показана траектория движения электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях.

Начальные условия запишем в виде:

.

.

.

В скрещенных полях на электрон действуют силы, определяемые соотношением:

(1.01).

и тогда электрон движется с ускорением:

.(1.02).

В декартовой системе координат ускорение можно записать:

(1.03).

где, , — единичные векторы.

Рис. 1. Движение электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях.

электрон скрещенный магнитный скорость Аналогично:

(1.04).

(1.05).

.(1.06).

Выражение для ускорения электрона (1.02) можно переписать в виде:

.

(1.07).

.

где .

Система уравнений (1.07) примет вид:

(1.08).

где — циклотронная частота.

(1.09).

.(1.10).

Решение уравнения (1.10) запишем в виде:

.

а это означает, что вдоль оси z электрон движется прямолинейно и равномерно.

Проинтегрируем уравнение (1.09):

.(1.11).

Подставим (1.11) в (1.08) и получим:

.(1.12).

Перепишем уравнение (1.12) в виде:

.

где .

Это выражение — известное уравнение колебаний с правой частью, решением которого является функция:

где — амплитуда колебаний, а величина является начальной фазой.

Для рассматриваемого случая решение запишем в виде:

.(1.14).

Анализ этого решения показывает, что смещение по оси имеет постоянную составляющую, которая зависит как от электрического, так и от магнитного полей, а переменная составляющая — это колебания, частота которых зависит от магнитного поля.

Скорость по оси периодически изменяется.

.(1.15).

Решая совместно уравнения (1.14) и (1.15) при, имеем:

Или.

.(1.16).

Возведя в квадрат и сложив оба уравнения, получим:

Или.

.

Разделив уравнения (1.16) одно на другое, имеем:

.(1.17).

Таким образом, мы получили амплитуду и начальную фазу колебательного уравнения. Теперь решим совместно уравнения (1.09) и (1.11):

.

.

Проинтегрируем уравнение (1.11) и, воспользовавшись соотношением (1.14), получим:

.

Проинтегрировав это уравнение, получим выражение для траектории электрона по оси :

Константа находится из начальных условий:

при.

Или.

.

Тогда.

.

Выпишем окончательные выражения для траектории электронов по координатам в систему параметрических уравнений:

(1.18).

(1.19).

.(1.20).

Для определения траектории по координатам и исключим параметр .

Итак, при.

.(1.21).

Это выражение — уравнение окружности с радиусом и координатами центра, которые описываются следующим образом:

.(1.22).

Анализ показывает, что траектория движения электронов в плоскости представляет собой окружность с центром, которая равномерно смещается по оси и одновременно перпендикулярна полям и .

Скорость смещения определяется таким образом:

.(1.23).

Графически проекция траектории на плоскость, которая перпендикулярна магнитному полю, изображена на рис. 2.

Рис. 2. Проекция траектории электрона, движущегося в скрещенных полях.

Эта линия напоминает циклоиду — кривую, описываемую какой-либо точкой колеса с радиусом.

(1.24).

катящегося без скольжения. В нашем случае траектория имеет вид удлиненной циклоиды, радиус которой зависит от напряженности электрического поля и индукции магнитного поля.

Величину часто называют скоростью переносного движения, или переносной скоростью. Максимальная скорость электрона соответствует вершине циклоиды и равна.

.

Необходимо отметить, что величина и направление скорости и циклотронная частота, которая соответствует угловой частоте вращения колеса, и, следовательно, радиус колеса, не зависят от начальной скорости электрона.

Магнитное поле, при котором вершина циклоиды касается анода, получило название критического магнитного поля. В этом случае радиус, где — межэлектродное расстояние плоского диода с анодным напряжением. Подставляя это значение в (1.24) и учитывая равенство, получим выражение для индукции критического поля.

.(1.25).

При все электроны, вышедшие из катода, попадут на анод, а при — они не достигают анода и двигаются вдоль катода, совершая циклоидальное движение.

Следует заметить, что уравнения циклоиды (1.18), (1.19), (1.20) являются частным решением системы уравнений (1.08), (1.09), (1.10). Если предположить, что в начальный момент времени составляющие скорости и равны не нулю, а некоторым постоянным значениям, то результатом решения системы станет более сложное уравнение траектории, называемой трохоидой.

При смене знака напряженности траектория движения также меняет знак. Параметры циклоиды можно изменять путем варьирования значений и .

Циклоида может превратиться в прямую линию, если в направлении начальная скорость отсутствует, а начальная скорость в отрицательном направлении по оси равна скорости сноса.

Другими словами, если сила Лоренца и электростатическая силы равны.

.

то смещение в направлении оси будет отсутствовать.

Исследуя движение электронов в скрещенных радиальном электрическом и однородном магнитном полях, экспериментально определяется удельный заряд электрона .

В данном эксперименте рассматривается диод, в котором катодом является проволока с радиусом, а анодом — соосный с нею полый цилиндр с радиусом. При термоэлектронной эмиссии из катода в пространстве вокруг него образуется облако электронов (пространственный заряд).

Диод помещается в соленоид так, чтобы вектор магнитной индукции поля, создаваемого соленоидом, был направлен вдоль оси диода. В таком случае на электроны, вылетающие из катода, помимо радиального электрического поля действует однородное магнитное поле. Можно показать, что при достижении индукцией магнитного поля значения.

электроны перестанут достигать анода вследствие искривления их траектории магнитным полем, и анодный ток диода резко упадет. Таким образом, определение величины критической индукции магнитного поля дает возможность вычислить удельный заряд электрона:

.

• 1. Щука А. А. Электроника. Учебное пособие / Под. ред. проф. А. С. Сигова. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. — 800 с.
• 2. Сушков А. Д. Вакуумная электроника: Физико-технические основы: Учебное пособие. — СПб.: Лань, 2004. — 464 с.
• 3. Козлов В. И. Удельный заряд электрона: Лабораторный практикум по общей физике (электричество и магнетизм). — М.: Физический факультет МГУ, 2006. — 5 с.
• 4. Федоров Н. Д. Электронные приборы СВЧ и квантовые приборы: Учебник для вузов. — Изд. 2-е, перераб. и доп. — М.: Атомиздат, 1979, — 288 с.