Нестандартные задания для основной школы

Дидактический материал предназначен для учащихся и учителей математики основной школы. Он содержит нестандартные математические задачи, которые могут быть использованы на уроках и во внеурочной деятельности. Задачи структурированы по методам решения: алгебраический, арифметический, практический методы, метод перебора, рассуждений и предположений. Задачи представлены разных типов: математические развлечения; разнообразные числовые ребусы; логические задачи; задачи, решение которых основывается на соединении математического развития и практической смекалки: взвешивание и переливания при затруднительных условиях; математические софизмы; задачи-шутки; комбинаторные задачи. Ко всем задачам даны решения и ответы.

• · Реши задачи алгебраическим методом:
  • 1. Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили: «Какова её масса?», он ответил: «Масса хвоста — 1,5 кг, масса головы такая же, как масса хвоста и треть туловища. А масса туловища такая, как масса головы и хвоста вместе». Какова масса рыбы?
  • 2. У Данилы в двух карманах 20 руб. Когда из одного кармана в другой он переложил 6 руб., то в обоих карманах денег стало поровну. Сколько денег было первоначально в каждом кармане?
  • 3. В трёх ящиках 300 яблок. Число яблок первого ящика составляет половину числа яблок второго ящика и треть числа яблок третьего ящика. Сколько яблок в каждом ящике?
• · Реши задачи арифметическим методом:
  • 4. У двух рыбаков спросили: «Сколько рыбы в ваших корзинах?» «В моей корзине половина того, что в корзине у него, да ещё 10», — ответил первый. «А у меня в корзине столько, сколько у него, да ещё 20», — подсчитал второй. Мы сосчитали, а теперь посчитайте вы.
  • 5. Сапожник решил починить 3 пары ботинок. На каждый каблук сапожник набьет набойку, каждую набойку он прибьет 2 гвоздями. Сколько набоек и гвоздей понадобится сапожнику?
• · Реши задачи методом перебора:
  • 6. Есть краски красного, зелёного, синего, жёлтого, оранжевого цветов. Сколькими способами можно раскрасить трёхэтажные домики в три цвета, при условии, что цвета не должны повторяться.
  • 7. Как можно расположить цвета радуги в другом порядке, если 2 первых и 2 последних цвета оставить на своих местах. Сколько всего таких вариантов?
  • 8. В семье несколько детей. Один ребенок говорит, что у него есть 2 брата и одна сестра. Второй, что у него нет ни одной сестры. Сколько детей в семье? Сколько в семье девочек и мальчиков?
  • 9. Расставьте знаки действий и скобки так, чтобы получилось верное равенство: 1 2 3 4 5 = 100.
  • 10. Дан ряд цифр: 1 2 3 4 5 6 7. Не переставляя их, поставьте между ними знаки сложения так, чтобы получить сумму 100.
• · Реши задачи методом рассуждений:
  • 11. Расшифруй записи:
  • 12. Найди закономерность и вставь пропущенное число:
  • 57 16 41 48 23 71
  • 48 36 35 48
  • 13. Имеется бесконечный ряд: о, д, т, ч, п, … Найдите закономерность, по которой он составлен, и продолжите его.
  • 14. В соревнованиях по бегу Юра, Саша и Толя заняли 3 места. Какое место занял каждый ребенок, если Саша занял не 2 и не 3 место, а Толя — не 3 место?
• · Реши задачи практическим методом:
  • 15. Коля выше Васи, но ниже Сережи. Кто выше: Вася или Сережа?
  • 16. Один джентльмен, показывая своему другу портрет, нарисованный по его заказу одним художником, сказал: «У меня нет ни сестер, ни братьев, но отец этого человека был сыном моего отца». Кто был изображен на портрете?
  • 17. В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 9 кг?
• · Реши задачи методом предположения:
  • 18. Как поставить в комнате 4 стула так, чтобы у каждой из четырёх стен стояло по 2 стула?
  • 19. Расставьте 8 стульев у четырёх стен комнаты так, чтобы у каждой стены стояло по 3 стула. Расставьте 9, потом 11 стульев у четырёх стен комнаты, чтобы у каждой стены стояло по 3 стула.
  • 20. Как расставить 6 стульев у четырёх стен комнаты так, чтобы у каждой стены стояло одинаковое количество стульев.
  • 21. Вдоль стен квадратного бастиона требовалось поставить 16 человек. Комендант разместил их по 5 человек с каждой стороны. Как он это сделал?
  • 22. На столе лежат девять монет. Одна из них — фальшивая. Как при помощи двух взвешиваний можно найти фальшивую монету? (Фальшивая монета легче настоящих.)
  • 23. Человек живет на 17-м этаже. На свой этаж он поднимается на лифте только в дождливую погоду или тогда, когда кто-нибудь из соседей с ним едет в лифте. Если погода хорошая и он один в лифте, то он едет до 9-го этажа, а дальше до 17-го этажа идет пешком по лестнице… Почему?
  • 24. У вас есть два шнура, каждый из которых горит по часу, но горит неравномерно. Как при помощи этих двух шнуров и спичек отмерить 45 минут?
  • 25. На поверхности пруда плавает одна кувшинка, которая постоянно делится и разрастается. Таким образом, каждый день площадь, которую занимают кувшинки, увеличивается в два раза. Через месяц покрытой оказывается вся поверхность пруда. За сколько времени покроется кувшинками вся поверхность пруда, если изначально на поверхности будут плавать две кувшинки?
  • 26. Шла баба в Москву и повстречала трёх мужиков. Каждый нёс по мешку, в каждом мешке по коту. Сколько существ направлялось в Москву?
  • 27. Два человека подошли к реке. У пустынного берега стояла лодка, которая могла вместить только одного человека. Оба без всякой помощи переправились на этой лодке через реку и продолжили свой путь. Как они это сделали?
  • 28. Одно яйцо можно сварить за 5 мин. За какое наименьшее время можно сварить 3 яйца? (5 мин. Варить их вместе).
  • 29. Четверо играли в волейбол 40 мин. Сколько времени играл каждый?

Ответы и решения

1. Пусть, х кг — масса туловища; тогда (1,5 + 1/3х) кг — масса головы;

Так как по условию масса туловища равна сумме масс головы и хвоста, составляем уравнение:

х = 1,5 + 1/3х + 1,5,.

х — 1/3х = 3,.

2х/3 = 3,.

х = 4,5.

4,5 кг — масса туловища, тогда 1,5 +1/3 • 4,5 = 3 (кг) — масса головы и 3 + 4,5 + 1,5 =9 (кг) — масса всей рыбы;

Ответ: 9 кг.

• 2. 16 р и 4 р.
• 3. 50 яблок, 100 и 150.
• 4. Построим схему к задаче. Обозначим первым отрезком схемы количество рыбы у первого рыбака. Вторым отрезком обозначим, сколько рыбы было у 2 рыбака.
• 5. 6 набоек, 12 гвоздей.
• 6. Проведём рассуждения для домика, верхний этаж которого покрасили зелёной краской. Итак, если верхний этаж зелёный, то второй этаж можно покрасить в любой из оставшихся четырёх цветов, т. е. от верхней точки проводим четыре отрезка. Если верхний этаж зелёный, а второй, например, красный, то третий этаж может быть одним из оставшихся трёх цветов, т. е. от точки «к» второго этажа вниз проводим три отрезка. Таким образом, если верхний этаж дома покрашен в зелёный цвет, то имеющимися красками его этажи можно покрасить 12 способами. Если же верхний этаж дома покрасим, например, красным цветом, то все дальнейшие рассуждения будут такими же, как и в предыдущем случае, т. е. дом также можно будет покрасить 12 способами. Поэтому можно ограничиться построением графиком только для случая покраски верхнего этажа дома каким — либо одним цветом. Если при покраске верхнего этажа определённым цветом получается 12 вариантов, а верхний этаж, в свою очередь, можно покрасить 5 способами, то всего имеющимися красками дом можно раскрасить 60 способами.
• 7. На первом месте стоит полоса красного цвета, на втором — оранжевого. Поскольку синий и фиолетовый цвета будут располагаться на последних местах, то на третьем месте может быть жёлтый, зелёный и голубой цвета, следовательно, от точки О вниз проводим три отрезка. А так по условию задачи цвета не повторяются, то от каждой точки, обозначающей цвет третьей полосы, проводим вниз два отрезка. По графу видно, что всего можно получить 6 вариантов, которые легко восстановить, рассматривая все пути происхождения по этому «дереву».
• 8. В семье 4 ребёнка: 3 мальчика, 1 девочка.
• 9. 1 • (2 + 3) • 4 • 5 = 100.
• 10. 1 + 23 + 4 + 5 + 67 = 100.
• 11. а)
• 8 1 2 6
• 8 1 2 6
• 1 6 2 5 2

Д = 1, тогда, А = 2 или 3 (если есть переход через разряд), но должно быть чётным (Р + Р = А), значит, А = 2, а Р = 1 или 6. Р > 1, так как Д = 1, значит Р = 6. Теперь ясно, что К = 5, а У = 8. В итоге слово УДАР расшифровывается как 8126, а слово ДРАКА как 16 252.

б) Рассмотрим вначале условие; получим: 2Ы: Ы = 2, следовательно, Ы = 2. Запишем пример столбиком:

ТРИ ТРИ ТРИ ДЫРА Так как складываем три числа, то Д может быть равно 1 или 2, но Ы = 2, поэтому Д = 1. Получаем, что Т • 3 = 12, а значит, Т может быть равно только 4. Тогда Р + Р + Р меньше 10 и 3 • Р = Р, следовательно, Р = 0. И • 3 < 10, а это значит, что И? 3, но цифры 1 и 2 уже заняты. Получается, что… И = 3, А = 9. Ребус разгадан: 403 + 403 + 403 = 1209.

• в)
• 1 0 4 5 7
• 8
• 8 3 6 5 6

Судя по первой букве суммы 1), Д = 1 или 2. Предположим, что Д = 1. Тогда, У? 5. У = 5 исключаем, т.к. Р не может быть равно 0. У? 6, т.к. 6 + 6 = 12, т. е. Р = 2. Но такое значение Р при дальнейшей проверке не подходит. Аналогично, У? 7. Предположим, что У = 8. Тогда, Р = 6, А = 2, К = 5, Д = 1.

• 12. Из первого числа первой строчки вычитаем последнее, получаем среднее. Аналогично со второй строчкой. Во втором столбце из последнего числа вычитаем первое, получаем неизвестное число.
• 13. Записаны первые буквы чисел один, два, три, четыре, пять. Следующими будут буквы: ш, с, в, д, …

Саша.	Юра.	Толя.
1 место.		;	;
2 место.	;	;
3 место.	;		;

• 14. Серёжа.
• 15. На портрете изображен сын этого джентльмена.
• 16. Раскладываем гвозди поровну, получаем две части по 12 кг. Делим одну из частей пополам, получаем части по 6 кг. Вновь делим одну часть, получаем части по 3 кг и добавляем её к части из 6 кг.
• 17. Поставить стулья по углам комнаты.
• 18. Способы расположения стульев:
• 19. На 4 делится число 8, следовательно, не хватает двух стульев. Значит, по углам ставим 2 стула. Задача имеет два решения.
• 20. Первое взвешивание: на каждую чашку весов кладем по три монеты. Если весы уравновешены, то для второго взвешивания берутся две из трех оставшихся монет. Если фальшивая монета на весах, то ясно, на какой она чашке весов. Если же весы уравновешены, то фальшивой является оставшаяся не взвешенная монета. Если при первом взвешивании одна из чашек перевешивает другую, то фальшивая монета находится среди монет, вес которых оказывается меньше. Тогда вторым взвешиванием устанавливаем, какая из монет фальшивая.
• 21. Этот человек — лилипут, и до кнопки 17-го этажа дотягивается только зонтиком или просит кого-нибудь нажать на эту кнопку.
• 22. Необходимо поджечь первый шнур одновременно с обоих концов — получаем 30 минут. Одновременно с первым шнуром поджигаем второй шнур с одного конца, и когда первый шнур догорит (30 минут), — поджигаем второй шнур с другого конца (оставшиеся 15 минут).
• 23. Две кувшинки покроют озеро за месяц минус один день.
• 24. В Москву шла одна баба.
• 25. Подошли к разным берегам реки.
• 26. 5 мин. Варить яйца сразу все.
• 27. 40 мин.

Данные дидактические материалы могут быть полезны учителям начальных классов, математики и студентам педагогического колледжа при подготовке к урокам, организации самостоятельной работы учащихся в классе и дома. Представленные задания способствуют формированию умений решать нестандартные задачи разными методами. При постоянной тренировке и с течением времени у школьников накапливается опыт решения нестандартных задач.